我們知道高中解析幾何或立體幾何題中時常需要知道點到線的距離或點到面的距離。下面我們給出這兩個公式以及它們的巧妙證明。

點到線的距離

已知直線

的方程為，平面上任意一點到該直線的距離的公式為：

證明的方法非常之多，我們這里給出一種巧妙的做法，設(shè)從

做的垂線得到垂足的坐標為，則很顯然為的法向量，也為的法向量（后有證明），那么我們有：

又因為

在上，因此有，代入上式即得：

點到面的距離

已知平面

的方程為，空間任意一點到該平面的距離的公式為：

利用同樣的做法，設(shè)從

做的垂線得到垂足的坐標為，則很顯然為的法向量，也為的法向量（后有證明），那么我們有：

又因為

在上，因此有，代入上式即得：

線和面的法向量

對直線

，為其法向量；對平面，為其法向量。我們以面為例給出證明，設(shè)，為面上的任意兩點，則有：

由

得到

由于兩點選擇的任意性，我們得到

為平面的法向量。

可以看到這兩個距離公式非常方便記憶，掌握這兩個公式也能加塊對一些題目的求解。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的点到面距离公式向量法_点到线或面的距离公式的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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