本文指出了有限元法分析結果的誤差影響存在于其每一操作步驟，并對這些誤差進行了歸類分析。隨后，結合工程實例，通過改變單元類型（形狀和精度）、調整單元尺寸大小和應用多種分網方式，顯示理想化誤差和離散化誤差對計算結果的影響。最后，提出建議和今后的研究方向。

引言

有限元法分析起源于50年代初桿系結構矩陣的分析。隨后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。其基本思想是利用結構離散化的概念，將連續介質體或復雜結構體劃分成許多有限大小的子區域的集合體，每一個子區域稱為單元（或元素），單元的集合稱為網格，實際的連續介質體（或結構體）可以看成是這些單元在它們的節點上相互連接而組成的等效集合體；通過對每個單元力學特性的分析，再將各個單元的特性矩陣組集成可以建立整體結構的力學方程式，即力學計算模型；按照所選用計算程序的要求，輸入所需的數據和信息，運用計算機進行求解。

當前，有限元方法/理論已經發展的相當成熟和完善，而計算機技術的不斷革新，又在很大程度上推進了有限元法分析在工程技術領域的應用。然而，如此快速地推廣和應用使得人們很容易忽視一個前提，即有限元分析軟件提供的計算結果是否可靠、滿足使用精度的前提，是合理地使用軟件和專業的工程分析。只有這兩者很好地結合，我們才能得到工程上切實可信的計算結果，否則只會在工程上造成極大的浪費，甚至帶來嚴重的工程事故。

誤差分析題

有限元法分析一般包括四個步驟：物理模型的簡化、數學模型的程序化、計算模型的數值化和計算結果的分析。每一個步驟在操作過程中都或多或少地引入了誤差，這些誤差的累積最終可能會對計算結果造成災難性的影響，進而蒙蔽我們的認識和判斷。

第一步，物理模型的簡化，主要有幾何實體、連接/裝配關系、環境邊界條件和材料特性的簡化，進而構建數學模型。這些簡化或者說假設，是必要的，也是必須的，但是也由此在模型中引入了理想化誤差（idealization error）。

有些理想化誤差是非良性奇異的，比如幾何實體簡化時細節部位上忽略小的圓/倒角，連接/裝配關系簡化時忽略焊縫和螺栓連接等，往往導致模型發生結構方面（諸如L形截面的角點）的奇異，即結構奇異（奇異的數學定義是在某一點處導數無窮）；

有些理想化誤差是良性奇異的，比如邊界條件簡化時添加集中載荷和孤立點約束，導致模型發生邊界條件的奇異，即邊界奇異；

其它理想化誤差，比如幾何實體簡化時三維殼/面體簡化為二維殼/面、三維梁簡化為一維梁，邊界條件簡化時非均勻溫度場和壓力場簡化為均勻溫度場和壓力場等，只會影響計算結果的準確度，不會引發計算結果方面的數值奇異，即應力奇異和位移奇異等。

理想化誤差是在有限元法分析開始之前引入的，因此我們不可能通過改進有限元分析技術來達到消除其的目的，而只能通過修改數學模型本身來實現消除其的目的。

第二步，數學模型的程序化，主要有幾何實體的單元離散、單元網格的裝配連接、模型環境邊界條件的添加，進而構建計算模型。幾何實體的離散，和單元類型（形狀和精度）、單元尺寸以及分網方式的選擇有關，不可避免地會引入離散化誤差（discretization error）。

離散化誤差，是根植于有限元法分析本身的，因此只能通過改進有限元分析技術或者技巧來盡力消除/減小這方面的誤差，比如采用規則化的單元形狀避免單元在形狀上產生奇異（即單元奇異）、提高單元精度和增加網格密度減小計算方面的誤差等方法。

單元網格的裝配連接一般采用MPC多點約束法，因而會引入人為誤差（artificial error），這方面誤差的消除更多是需要長期計算經驗的積累。模型環境邊界條件的添加，其誤差影響依賴于第一步的理想化簡化。

第三步，計算模型的數值化，主要是用數值計算方法（程序求解器）求解、逼近真實的解析值，因而必然存在數值化誤差（numerical error）。

數值計算方法的精度（非人為可控）越高，計算結果的誤差就越小，但計算的工作量也越大。實際考慮到計算精度和計算資源的利用，必然要做一個適當的統一。

第四步，計算結果的分析，主要是利用數值計算結果來分析、評判，或預知真實的物理模型，由此也存在著認知誤差（recognized error）。

認知誤差的消除，一方面需要真實物理試驗的指導，另一方面依賴于分析人員的工程經驗和認知能力。同時，不要忘記了我們的前提假設，即第一步物理模型的簡化，或假設。

下文，將通過一個簡單的例子來說明理想化誤差和離散化誤差對有限元法分析結果的影響。計算時，采用有限元數值分析軟件ANSYS11.0版本，32位操作系統軟件WindowsXP版本，HP xw4200服務器硬件平臺，保證了程序求解器及其運行環境的統一，以消除數值化誤差。

實例分析

圖1 起豎支耳模型

圖1中所示為工程上最常見的起豎支耳模型，其包括兩個部分：橫板和豎耳。工藝生產上，即可以將橫板和豎耳做成一個整體鑄件（如圖1.a），也可以將二者作為兩個單獨的部件焊接而成（如圖1.b）。

有限元分析時，一般會忽略鑄件上小的過渡圓角，也經常忽略焊接件上的焊縫，即而簡化為適于分析的幾何實體（如圖1.c）。工程使用中，起豎機構通過銷軸作用于豎耳銷孔以推動橫板連接機構完成起豎，具體壓力載荷P的數學形式可表示為：

上式(1)中，P0為最大壓力載荷幅值，θ為載荷作用面上某點的周向角度，F為真實的載荷力，R為銷孔半徑，L為銷孔縱向長度。數學建模時，僅為滿足工程簡單計算的需求，材料模型通常取為線性彈性模型。

為了顯示計算結果的誤差影響，這里選用三種評估方法：智能化自由網格劃分、規則化網格劃分和自適應P改進，見表1。

表1 三種評估方法

智能化自由網格劃分，利用SMRTSIZE選項控制單元尺寸大小，分割幾何實體為四面體單元，單元形狀較差，計算效率低；規則化網格劃分，利用線段分割數參數NSize控制網格單元大小，保證幾何實體規則劃分，以避免單元奇異，進而消除離散化帶來的誤差影響；自適應P改進在規則化網格劃分的基礎上，通過提高單元精度以展示所關心位置處節點的應力收斂過程，進而顯示理想化誤差帶來的影響。

關心位置包括：幾何簡化引起結構奇異的位置，豎耳根部左下角LUGDL、右下角LUGDR、左上角LUGUL和右上角LUGRL，這些位置的節點應力通常不會收斂，即應力奇異；邊界約束引起邊界奇異的位置，橫板約束根部左下角PLATEDL、右下角PLATEDR、左上角PLATEUL和右上角PLATEUR，這些位置受剛性約束限制了其橫向位移（泊松比效應）從而導致應力不收斂；實體離散可能引起單元奇異的位置，銷孔左下角PINDL、右下角PINRL、左上角PINUL和右上角PINUL，這些位置若網格規則其應力集中，若網格不規則其應力奇異。

1. 智能化自由網格劃分

按照有限元分析軟件前處理步驟，首先定義了單元類型（三維十節點四面體結構單元SOLID187）、實常數和材料模型參數；然后，采用智能化自由網格劃分技術對幾何實體圖1.c進行分網（見圖2所示），單元尺寸大小由SMRTSIZE參數控制；最后，對模型進行檢查，確保無誤后退出前處理模塊。

圖2 有限單元模型

進入有限元分析軟件計算模塊，首先給計算模型添加環境邊界條件：橫板左、右面固定約束，豎耳銷孔位置施加式(1)形式的載荷，其合力沿水平正Z軸方向；隨后，設置求解環境參數，靜態分析；最后，對模型進行檢查，確保無誤后求解退出計算模塊。

圖3 銷孔上下邊緣應力變化曲線

圖4 豎耳根部角點應力變化曲線

圖5 橫板約束角點應力變化曲線

由圖3-圖5所示，可以發現：

1) 豎耳根部、銷孔上下緣和橫板約束根部的節點應力具有比較明顯的網格敏感特性，當網格密度達到一定程度時其整體趨勢是隨著網格密度的增加（SMRTSIZE越小）應力值無限增加，即不收斂；

2) 由于網格不太規則，使得載荷和位移邊界條件偏離對稱特性，因而對稱位置的應力數值有明顯偏差。

眾所周知，特定工況下結構的真實應力，其數值只能有一個，具有唯一性。考慮到數值計算的精度問題，其應力計算值可能是一個圍繞真實應力在一定精度范圍內波動的數值，而隨著數值精度的不斷提高，應力計算值將會逐漸趨于一個有限數值，即真實應力。由此看來，圖3~圖5所示關心位置處應力并非真實的應力，而是計算得到的虛假應力。

2. 規則化網格劃分

采用三維二十節點六面體實體單元SOLID186，利用線段分割數參數NSize控制網格單元大小，掃略劃分圖1.c幾何實體，見圖6所示。

圖6 有限單元模型

由圖7~圖8所示，可以看出：

1) 由于網格規則，使得載荷和位移邊界條件滿足對稱特性，因而對稱位置的應力數值基本完全重合；

2) 豎耳根部和橫板約束根部的節點應力仍具有比較明顯的網格敏感特性，其整體趨勢是隨著網格密度的增加（NSize越大）應力值無限增加，即不收斂；

3) 銷孔上下邊緣的節點應力在4.45~4.50MPa范圍內波動，且有收斂態勢，因而其應力計算值為真實應力。

以上分析表明，銷孔上下邊緣的應力結果誤差為離散化誤差，而豎耳根部角點和橫板約束角點的應力結果誤差為理想化誤差。

圖7 銷孔上下邊緣應力變化曲線

圖8 豎耳根部角點應力變化曲線

圖9 橫板約束角點應力變化曲線

3. 自適應P改進

采用三維二十節點六面體實體P單元SOLID147（其位移模式中形函數的階次可以在2~8之間自適應選擇），設置線段分割數參數NSize=3控制網格單元大小，掃略劃分圖1.c幾何實體，見圖10所示。

圖10 有限單元模型

由圖11~圖13所示，可以看出：

1) 豎耳根部和橫板約束根部的節點應力隨單元精度的提高無限增加，不收斂；

2) 銷孔上下邊緣的節點應力隨單元精度的提高逐漸收斂于4.39MPa左右。

由此再次表明，銷孔上下邊緣的應力結果誤差為離散化誤差，而豎耳根部角點和橫板約束角點的應力結果誤差為理想化誤差。

圖11 銷孔上下邊緣應力變化曲線

圖12 豎耳根部角點應力變化曲線

圖13 橫板約束角點應力變化曲線

本文轉載自e-works網，原文來自于安亞世太（http://peraglobal.com），作者：商霖。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的有限单元法基本原理和数值方法_有限元法分析结果的四类误差，你知道吗？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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