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编程问答

线性代数基本公式结论简要总结(2)

發布時間:2023/12/31 编程问答 35 豆豆
生活随笔 收集整理的這篇文章主要介紹了 线性代数基本公式结论简要总结(2) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

本文主要總結矩陣代數(運算、逆、分塊矩陣、LU分解、子空間、秩)和行列式相關內容。

矩陣乘積AB的每一列都是A各列的線性組合,且以B中對應的列的元素作為權重。

矩陣的冪
只有方陣可以乘冪,冪的計算可以利用矩陣對角化(特征值分解)實現:
A=PΛP?1A=PΛP?1
Ak=PΛkP?1Ak=PΛkP?1
其中ΛΛ是對角矩陣,且主對角線上的元素為A的特征值,P的各列為對應的特征向量。當然,A可以對角化的充要條件是A(n×n)存在n個線性無關的特征向量。
特別地,A0=IA0=I,為單位陣

矩陣轉置:
(AT)T=A(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT(A+B)T=AT+BT
(AB)T=BTAT(AB)T=BTAT
(A1A2...Am?1Am)T=ATmATm?1...AT2AT1(A1A2...Am?1Am)T=AmTAm?1T...A2TA1T

矩陣的逆:
只有方陣才可能存在逆(其他矩陣存在偽逆),n階方陣A可逆的充要條件是det(A) != 0,此時的方陣A稱為非奇異矩陣,若n階方陣A滿足det(A) = 0,則不可逆,稱為奇異矩陣(sigular matrix)。

性質:
AA?1=IAA?1=I
(AT)?1=(A?1)T(AT)?1=(A?1)T
(AB)?1=B?1A?1(AB)?1=B?1A?1
(A1A2...Am?1Am)?1=A?1mA?1m?1...A?12A?11(A1A2...Am?1Am)?1=Am?1Am?1?1...A2?1A1?1

可逆矩陣和矩陣行變換有著重要聯系,借此可以計算矩陣的逆。且可逆矩陣行等價于單位矩陣。

初等矩陣:把單位矩陣進行一次行變換,就得到了初等矩陣

逆矩陣A?1A?1算法
法1.把增廣矩陣[AA II]進行行化簡,若A行等價于I,則[AA II]行等價與[II A?1A?1],否則A沒有逆。

法2. 根據公式:A?1=A?det(A)A?1=A?det(A) ,其中A?A?為A的伴隨矩陣,每一元素均為A中各元素的代數余子式。

考慮Ax=[e1,e2...en]Ax=[e1,e2...en],可以看成n個方程,逐個解方程,對應的每個解就是A?1A?1中對應的各列。

可逆矩陣定理:
設A為n×n矩陣,則下列命題等價(同時為真或同時為假):
1.A是可逆矩陣
2.A等價于n×n單位矩陣
3.A有n個主元位置
4.方程Ax=0僅有平凡解
5.方程Ax=b至少有一個解
6.A的各列線性無關
7.映射x->Ax為單射(一對一)
8.A的各列可生成空間RnRn
9.ATAT是可逆矩陣
10.存在n×n矩陣C滿足CA=ICA=I
11.存在n×n矩陣D滿足AD=IAD=I

分塊矩陣
運用一種“整體”思想,將矩陣按行和列分塊,有助于突出矩陣的一些本質結構,最主要作用是便于計算機進行計算,即把矩陣分塊后再進行矩陣運算更有效。分塊后的矩陣運算法則和原矩陣完全相同。

矩陣的偽逆
偽逆矩陣是廣義的逆矩陣,針對不存在逆矩陣的奇異矩陣和非方陣的矩陣,利用SVD來計算,用matlab中的pinv(A)表示A的偽逆。

設A為m×n矩陣,r為矩陣A的秩:
若A列滿秩,列向量線性無關,r=n,Ax=b為超定方程組,存在0個或1個解,則pinv(A)=(ATA)?1ATpinv(A)=(ATA)?1AT,滿足pinv(A)?A=Ipinv(A)?A=I,稱為左逆

若A行滿秩,行向量線性無關,Ax=b為欠定方程組,存在0個或無窮個解,則pinv(A)=AT(AAT)?1pinv(A)=AT(AAT)?1,滿足A?pinv(A)=IA?pinv(A)=I,稱為右逆

若無行列滿秩,即秩虧損,則先做奇異值分解A=UDVTA=UDVT,U、V為正交矩陣,D為對角矩陣。然后取對角矩陣陣S,若D(i,i)=0,則S(i,i)=0,若D(i,i) != 0,則S(i,i)=1/D(i,i),有pinv(A)=VSUTpinv(A)=VSUT

將左逆右乘A得到的是在A矩陣列空間(A矩陣各列構成的子空間)的投影矩陣,將右逆左乘A得到的是在A矩陣行空間(A矩陣各行構成的子空間)的投影矩陣

矩陣的因式分解:
矩陣因式分解是把矩陣分為多個矩陣的乘積,矩陣乘法是數據的綜合,因式分解是數據的分解,因式分解相當于對矩陣中的數據做預處理,分成多個有用的部分,便于觀察、分析和計算。最常見的分解方法是LU分解。

LU分解
設A為m×n矩陣,可行化簡為行階梯形矩陣,則A可寫成A=LUA=LU的形式,L是m×m的單位下三角矩陣,主對角線元素均為1,可逆;U是A的一個等價的m×n階梯形矩陣,這樣的分解稱為LU分解。也就是說,通過這樣的分解,將一個復雜的矩陣A分解成了兩個具有較好性質的矩陣L和U,便于對A進行計算。

簡單講,LU分解的思想是:根據對一個矩陣(A)作行化簡為階梯形矩陣(U)的步驟,可以產生一個由單位矩陣按照完全相同的化簡步驟得到的一個矩陣L(其恰為下三角矩陣且對角元素為1),而LU乘積恰為原矩陣A。

LU分解算法:
1.盡可能地用一系列的行倍加變換將A化為階梯形,作為最終的矩陣U
2.然后,填充L的元素,使上述1中相同的行變換把L變為I,得到最終的矩陣L

數值計算:
若A為n×n的稠密矩陣(大部分元素非零)且n很大,則有(均在浮點運算下):
1.計算A的LU分解,時間復雜度: O(n3)O(n3)
2. 計算A的逆A?1A?1,時間復雜度: O(n3)O(n3)

RnRn的子空間:
def:RnRn中的一個子空間是RnRn中的集合H,具有以下三個性質:
1.零向量屬于H
2.對H中任意的向量u和v,u+v 屬于H
3.對H中任意向量u和c,cu屬于H

即子空間是*RnRn的一個向量子集,子空間對加法和標量乘法運算是封閉的。例如:三維空間中一個通過原點的平面是三維空間的一個子空間。(不過平面則不是子空間)

矩陣的列空間零空間
def:矩陣A的列空間是A的各列的線性組合的集合,記作Col A
  矩陣A的零空間是齊次方程Ax=0的所有解的集合,記作Nul A

子空間的
def:RnRn中的子空間H的一組基是H中的一個線性無關集,它生成H(即H中的任意一個向量均可被這組基的線性組合唯一表示)
其中,單位陣II的各列的集合稱為RnRn的標準基。針對矩陣:矩陣的主元列構成列空間的基(零子空間無基)

顯然:若子空間H有一組基包含p個向量,則H的每個基都正好包含p個向量

矩陣的和空間的維度
子空間維度def:非零子空間H的維數dim H,是H的任意一個基的向量個數,零子空間{0}的維數定義為零(因此,RnRn空間的維數為n,且每個基由n個向量組成)

矩陣的秩
def:矩陣AA的秩(rankAA)是A的列空間的維數

秩定理:若一個矩陣A有n列,則 rankA + dim NulA = n

可逆矩陣定理(續):
設A是一個n×n矩陣,以下命題與A是可逆矩陣等價
12.A的列向量構成RnRn的一個基
13.Col A = RnRn
14.dim ColA = n
15.rankA = n
16.NulA = {0}
17.dim NulA = 0

計算機數值計算時,通常用SVD分解來求矩陣的秩,而不是用手算是用的行化簡法(數據精度問題的取舍可能導致計算機求出的秩出錯)

行列式:
只有方陣才有行列式
行列式A中某元素[aijaij]的代數余子式
Cij=(?1)i+jdetAijCij=(?1)i+jdetAij
其中,AijAij為該元素[aijaij]的余子式,即在原矩陣中,去除該元素所在的行和列后余下元素構成的矩陣。矩陣AA伴隨矩陣adjAadjA(或A?A?)中的每個元素即為原矩陣對應位置的代數余子式。

以代數余子式的形式可以做行列式展開:即將矩陣中的某一列或某一行上的各個元素與其對應的代數余子式乘積的和,就是行列式的值。

若矩陣AA為對角陣,則行列式等于AA主對角線上元素的乘積

行列式性質:
行變換:
倍加:前后矩陣行列式不變
倍乘:行列式也乘以同樣的常數
行互換:行列式變成相反數

方陣A可逆當且僅當detA != 0
detAT=detAdetAT=detA
detAB=(detA)(detB)detAB=(detA)(detB)

Cramer法則:
設A是一個可逆的n×n矩陣,對RnRn中任意向量b,方程Ax=b的唯一解可有下式給出:
xi=detAi(b)detA,i=1,2...,nxi=detAi(b)detA,i=1,2...,n
Ai(b)Ai(b)表示A中第i列由向量b替換得到的矩陣

行列式幾何意義:n×n矩陣的行列式相當于是在RnRn空間中對應(由該矩陣各列向量構成)的n維幾何體體積

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数基本公式结论简要总结(2)的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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