高數下部分公式及部分知識點整理

• 偏導
• 全微分及偏導的應用
• 空間向量
• 空間幾何
• 二重積分
• 三重積分
• 第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）
• 第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）
• 第一類曲面積分（對面積的曲面積分）
• 第二類曲面積分（對坐標的曲面積分）
• 判斷級數的斂散性
• 冪級數(${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x+b{)}^n$)
• 微分方程
• 純公式：
• • 三角函數相關公式
  • 積分變限函數求導
  • 泰勒及麥克勞林公式
  • 積分表

偏導

1.多元隱函數的偏導

• 令F=…
• $\frac{?z}{?x}=?\frac{\frac{?F}{?x}}{\frac{?F}{?z}}$ …
  注意：在求多元隱函數的二次偏導時，要注意z是x的函數，z可能是x與y的函數

全微分及偏導的應用

1.多元函數的全微分：
eg：$W=x+2y^2+3z^2$
$dw=\frac{?w}{?x}dx+\frac{?w}{?y}dy+\frac{?w}{?z}dz$

2.多元復合函數的全微分
eg:$Z=u^3+v^3$
$u=x+y$
$v=3x+5y$
求dz
$dz=\frac{?z}{?u}du+\frac{?z}{?v}dv$
再把du和dv求出來，直接帶進去就好，不用化簡

3.已知全微分，求未知數
eg：已知$(x^2+axy)dx+(x^2+3y^2)dy$為某函數全微分，確定a的值
解法：$\frac{{?}^{2}z}{?x?y}=\frac{{?}^{2}z}{?y?x}$
再求二次偏導相等就好

4.多元函數求極值或極值點

• 求出滿足$\frac{?z}{?x}=0,\frac{?z}{?y}=0$的x，y
• 設A=$\frac{{?}^{2}z}{?x^2},C=\frac{{?}^{2}z}{?y^2},B=\frac{{?}^{2}z}{?x?y}$,將第一步的結果帶入，算出A,B,C。
• 算$AC?B^2$,若>0有極值，A<0有極大值，A>0有極小值
• 若=0，不確定
• 若<0,不是極值點

5.條件極值
$作拉格朗日函數L=原函數+\lambda 條件函數$
$L_x=0L_y=0L_z=0L_{\lambda =0}$求解，一般列出三個即可。
6.一些注意點：
偏導連續$\to$函數可微$\to$偏導存在以及函數連續，偏導存在和函數連續不能互推

空間向量

1.求一個向量$a$在另一個向量$b$方向上的投影

• 投影大小：$\frac{ab}{|b|}$
• 純投影：要乘$b$的單位向量

2.向量叉乘
用矩陣算

• $若c=a\times b,c垂直于a,b$
• 若兩向量平行，叉乘為0

空間幾何

1.求過三個點的平面方程
設$Ax+By+Cx+D=0$
帶入三個點結果有D，把D約掉就行
2.判斷面與面，面與向量的關系

• 向量間點乘為0則是垂直，叉乘為0是平行
• $n=(A,B,C)是平面的法向量$

3.已知一個面的法向量和一個點，求面
$A(x?x_0)+B(y?y_0)+C(z?z_0)=0$
4.求點($x_0,y_0,z_0$)到面的距離
$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\surd A^2+B^2+C^2}$
5.求兩個面的交線方程

• 一個大括號，里面是兩個面的方程，表示兩個面的交線方程

6.線與線，線與面的關系
若L：$\{\begin{array}{l}{A}_{1}X+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$
則$s=(A_1,B_1,C_1)\times (A_2,B_2,C_2)//L$

換而言之：用此方法可以求出相交直線的方向向量
7.已知線過一點和方向向量$s=(l,m,n)$，求線
L=$\frac{x?x_0}{l}\frac{}{}=\frac{y?y_0}{m}=\frac{z?z_0}{n}$
提示：已知向量c垂直于a，b，用矩陣可以直接算出c
8.求點到直線的距離

• 求點在直線上的投影點，再用距離公式
• 如何求點在直線上的投影點
  聯立直線方程和過該點以直線為法向量的方程，即可求出投影點。（兩個方程）

9.求$?\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$形式的曲線在某點處的切線與法平面
切線的方向向量$(x^{,}(t_0),y^{,}(t_0),z^{,}(t_0))$

10.求x,y,z寫在一起的曲線在某點處的切線與法平面

• 還是求導，但是兩個導數可能要連立方程求出
• 自變量的個數為字母的個數減方程的個數

11.求曲線在某點處的法線與切平面
$法向量：（F_x^{,}（x_0,y_0,z_0）,F_y^{,}（x_0,y_0,z_0）,F_z^{,}（x_0,y_0,z_0）,）$
其他步驟與上述雷同

二重積分

1.交換積分次序
如求積分${\int }_0^{2}dx{\int }_x^2{e}^{?y^2}dy$的值
普通求求不出來
交換次序
${\int }_0^{2}dy{\int }_0^y{e}^{?y^2}dx$
2.計算$\int {\int }_{D}d\sigma$格式的二重積分

• 把區域寫出來，$d\sigma$變成dx，dy

3.積分區域與圓有關的二重積分

• $x=rcos\theta$
  $y=rsin\theta$
  $dxdy=rdrd\theta$
• 寫出r的上下限，$\theta$的上下限

4.積分區域對稱的二重積分

• 關于y軸對稱，若為x的奇函數，積分為0；若為x的偶函數，積分為雙倍的一半區域的積分值
• 關于x軸對稱同理
• 關于原點對稱，$若f(?x,?y)=?f(x,y),則積分為0；若f(?x,?y)=f(x,y),則為雙倍$
• 關于y=x對稱
  $\int \int f(x,y)d\sigma =\int \int f(y,x)d\sigma$
  若f(x,y)=f(y,x),則為雙倍
  若f(x,y)=-f(y,x),則為0
  5.應用
  可計算曲頂柱體的體積，平面薄片的質量，質心。

三重積分

1.先一后二法
eg：$\int \int {\int }_{\Omega }xdxdydz$,$\Omega$為三個坐標面和x+2y+z=1所圍成的閉區域。

=${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{(1?x)/2}dy{\int }_0^{1?x?2y}xdz$
2.先二后一
$\int \int \int z^{2}dxdydz$,$\Omega$是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1所圍成的空間閉區域$
=$\int z^{2}dz\int {\int }_{D}dxdy=\pi ab{\int }_{?c}^c{z}^2(1?z^2/c^2)dz$
3.柱坐標

• x=$\rho cos\theta$
  y=$\rho sin\theta$
  z=z
  dv=$\rho d\rho d\theta dz$
  也是先一后二，先dz，再d$\rho$,$d\theta$

第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）

被積函數的x與y都在曲線上
1.${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[?(t),\psi (t)]\sqrt{{?}^{,2}(t)+{\psi }^{,2}t}dt$
有時候t可以是x，t可以是y
2.有時候積分是幾段的拼接，就正常算極端加起來就好了，不用管順序什么的。
3.性質

• 曲線積分的函數是1，積分就是L的長度
• L關于x軸對稱，積分函數是y的奇函數，結果是0…
• …

第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）

是有方向的
1.${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$,轉換成一個未知數即可
2.利用性質計算

• 若$\frac{?P}{?y}=\frac{?P}{?x}$,則積分與路徑無關
• 格林公式（不封閉的補充成封閉）：若L為逆時針,無交叉，閉合曲線，
  則，${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int (\frac{?Q}{?x}?\frac{?P}{?x})dxdy$
  若L為順時針，${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=?\int (\frac{?Q}{?x}?\frac{?P}{?x})dxdy$
  3.關于對稱性比較復雜，需要分類討論

第一類曲面積分（對面積的曲面積分）

$\Sigma$為積分曲面
1.z=z(x,y)(在積分曲面上的Z)
$\int {\int }_{}f(x,y,z)ds=\int \int f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}dxdy$（區域是投影面）
2.x=x(y,z),z=z(x,y)同理
3.如果有幾個面，拆開算
4.如果f=1，求的是曲面的面積

第二類曲面積分（對坐標的曲面積分）

都在面的表面
標志為：dxdy
1.從正面（坐標軸正向）看過去如果看得見面，則取正號，如果看不見，則取負號，如果是一條線，則為0
2.將三個未知量化成兩個，注意正負號，作出投影面Dxy
3.第幾卦限是按逆時針旋轉的

判斷級數的斂散性

1，判斷正項級數的斂散性

• 正項級數每一項都是正的，并且是和的形式
• 首先看$li{m}_{n\to \infty }{u}_n=0$,不是就發散，是的話繼續判斷，再看$u_n中能否提出n次方，可以的話柯西判別法，看li{m}_{n\to \infty }\sqrt[n]{u_n},結果等于1，不能確定，小于1是收斂，大于1發散，如果不能提出n次方，就比值審斂法（達朗貝爾判別法），li{m}_{n\to \infty },\rho 的值的判別法與上述相同，最后是比較審斂法，可以是極限形式$
• 比較基準：（等比級數看的是絕對值，p級數不帶絕對值）
  等比級數：$a{q}^n$，|q|<1時收斂，|q|>=1時發散
  p級數（p=1時為調和級數）：$\frac{a}{p^n}$,當p>1時收斂，p<=1時發散
  （比較時注意a+b，ab，$a^2+b^2$，的關系以及x>0時，x>sinx）

2.判斷交錯級數的斂散性（提到的Un均為正數部分）

• 正負或者負正交替
• 萊布尼茨定理判斷：首先${\lim }_{n\to \infty }{u}_n是否趨近于0，否的話發散，若u_n>=u_{n+1},收斂$

3.判斷絕對收斂/條件收斂（條件收斂這個名詞值針對交錯級數）

• 正項級數：發散就是發散，收斂就是絕對收斂
• 交錯級數：發散就是發散，收斂若去掉符號仍舊收斂就是絕對收斂，反之為條件收斂

冪級數(${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x+b{)}^n$)

1.已知冪級數在某點收斂/發散，判斷在另一個點是收斂還是發散
eg：若級數在x=$x_0$時收斂，$|x+b|<|x_0+b|$,在該點也是絕對收斂
若級數在x=$x_0$時發散，$|x+b|>|x_0+b|$,在該點就發散
2.求冪級數的收斂域/收斂區間（收斂域是帶邊界值的）

• b=0的情況
  $li{m}_{n\to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$
  R=$1/\rho$($\rho 不等于0$)
  R=正無窮（$\rho 等于0$）
  R=0($\rho =正無窮$)
• b不等于0
  令t=x+b
  算出收斂半徑
  收斂區間為|t|<2,即算出x的范圍，再算收斂域
• 級數缺少奇次冪或偶次冪時，上述定理不能直接使用，使用比值審斂法求收斂半徑$lim|\frac{u_{n+1}}{u_n}|<1$

3.求冪級數在收斂域內的和函數S（x）（冪級數s（0）一般等于0或1,有時候不是，需要算一下）

• 求和函數一定要求收斂域
• 當an是分式形式時，先求導，再積分，
  $s(x{)}^{,}=.....$
  $s(x)={\int }_0^{x}s(x{)}^{,}dx$
• an不是分式形式時，先積分，再求導

微分方程

符合$y^{,}+P(x)y=Q(x)$的格式，求通解
1.Q（x）=0，則為一階齊次線性微分方程
通解為$y=c{e}^{?\int p(x)dx}$
2.Q（x）不為0，只用常數變易法，將c換成u（x），求導，帶入原式，求出$u^{,}(x)$，再求出u（x），得結果，
$y=e^{?\int p(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c)$
3.遇到y/x類型的，將u設為y/x

純公式：

三角函數相關公式

1.點火公式
${\int }_0^{\pi }si{n}^n\theta d\theta =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^n\theta \text{d}\theta$

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^n\theta \text{d}\theta$=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^n\theta \text{d}\theta$
n為偶數：=$\frac{n?1}{n}\frac{n?3}{n?2}\frac{n?5}{n?4}...\frac{1}{2}\frac{\pi }{2}$
n為奇數：=$\frac{n?1}{n}\frac{n?3}{n?2}\frac{n?5}{n?4}...\frac{2}{3}$
2.三角變換
$cos2\theta =cos{\theta }^2?sin{\theta }^2$

積分變限函數求導

泰勒及麥克勞林公式

（此為麥克勞林公式，即為特殊的泰勒公式）

積分表

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高数下部分公式及部分知识点整理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。