當前位置：首頁 > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

高等数学下——平面与直线

發布時間：2023/12/31 编程问答 28 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了高等数学下——平面与直线小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

題目

設平面 $П ： x ? 4 y + 2 z + 9 = 0$ ，直線L： ${2x?2y+z+9=0x?2y+2z+11=0\left\{\begin{matrix}2x-2y+z+9=0\\x-2y+2z+11=0\end{matrix}\right.$ ，求在平面 $П$ 上，通過直線L與平面 $П$ 的交點，且與直線L垂直的直線方程。

解答

$∵{2x?2y+z+9=0x?2y+2z+11=0\because\left\{\begin{array}{l} 2 x-2 y+z+9=0 \\ x-2 y+2 z+11=0 \end{array}\right.$
$∴x?z?2=0（1）\therefore x-z-2=0 （1）$
???????????? ? $即： x = z + 2$
?? $2x?3z?13=0（2）即：y=13+3z2\begin{aligned} 2 x-3 z-13 &=0（2） \\ 即：y &=\frac{13+3 z}{2} \end{aligned}$

代入平面 $П ： x ? 4 y + 2 z + 9 = 0$ 得:
??? $2+z?2(13+3z)+2z+9=0z=?5\begin{array}{r} 2+z-2(13+3 z)+2 z+9=0 \\ z=-5 \end{array}$
可得， ${x=?3y=?1\left\{\begin{array}{l} x=-3 \\ y=-1 \end{array}\right.$
即：直線 L 與平面 $П$ 交點為 $(? 3, ? 1, ? 5)$

設：直線L的方向向量為 $s→\overrightarrow{s}$
$s?=n1→×n2→=∣i?j?k?2?211?22∣=?{2,3,2}\vec{s}=\overrightarrow{n_{1}} \times \overrightarrow{n_{2}}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{array}\right|=-\{2,3,2\}$
易知： $? 2 (? 3 ? x) ? 3 (? 1 ? y) ? 2 (? 5 ? z) = 0$
??? ? 即， $2 x + 3 y + 2 z + 19 = 0$

故，直線方程為： ${x?4y+2z+9=02x+3y+2z+19=0\left\{\begin{array}{c} x-4 y+2 z+9=0 \\ 2 x+3 y+2 z+19=0 \end{array}\right.$

知識點（平面與直線方程）

一、平面方程的各種形式

1. 平面的點法式方程

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量.

$已知平面的法向量為?n?={A,B,C},且過點?M0(x0,y0,z0),設平面上的任一點為?M(x,y,z)必有?\begin{aligned} &\text { 已知平面的法向量為 } \vec{n}=\{A, B, C\}, \text { 且過點 } M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right),\\&\text { 設平面上的任一點為 } M(x, y, z) \text { 必有 } \end{aligned}$

例1 、求過三點 $A (2, ? 1, 4), B (? 1, 3, ? 2) 和 C (0, 2, 3)$ 的平面方程。
解： $AB→={?3,4,?6},AC→={?2,3,?1}\quad \overrightarrow{A B}=\{-3,4,-6\} , \quad\overrightarrow{A C}=\{-2,3,-1\}$
取： $n?=AB→×AC→={14,9,?1}\vec{n}=\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}=\{14,9,-1\}$
所求平面方程為：
$14 (x ? 2) + 9 (y + 1) ? (z ? 4) = 0$
化簡得： $14 x + 9 y ? z ? 15 = 0$
?

2. 平面的一般方程

由平面的點法式方程
$A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0?Ax+By+Cz?(Ax0+By0+Cz0)=0令：?(Ax0+By0+Cz0)=D故：Ax+By+Cz+D=0\begin{array}{c} A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 \\ \Rightarrow A x+B y+C z-\left(A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}\right)=0 \\ \\ 令：-\left(A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}\right)=\boldsymbol D \\ 故：\qquad A x+B y+C z+D=0 \end{array}$

法向量 $n?={A,B,C}\vec{\boldsymbol n}=\{A, B, C\}$ .

?

平面一般方程的幾種特殊情況：

D=0\boldsymbol D=0

, 平面通過坐標原點 ;

A=0,{D≠0平面平行于x軸?D=0平面通過?x軸?\boldsymbol A=0,\left\{\begin{array}{ll}D \neq 0 & \text { 平面平行于}\boldsymbol x\text { 軸 } \\ D=0 & \text { 平面通過 } \boldsymbol x\text { 軸 } \end{array}\right.

類似地可討論

B=0,C=0\quad {B}={0}, C=0

A=B=0,{D≠0平面平行于xoy坐標面D=0xoy坐標面?;\mathbf{A=B=0},\left\{\begin{array}{l}D \neq 0 \quad \text { 平面平行于}\mathbf{xoy}{坐標面 } \\ D=0 \quad\mathbf{xoy}\text {坐標面 } ;\end{array}\right.

類似地可討論

\quad

情形

?
?

二、直線方程的各種形式

1. 空間直線的一般方程

空間直線可看成不平行兩平面的交線

三、平面直線間的夾角及相互關系

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学下——平面与直线的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。

上一篇： EAGLE layout 拼板方法
下一篇：高等数学下册考研