第四講 向量代數、多元函數微分與空間解析幾何

一、理論要求 1.向量代數 理解向量的概念(單位向量、方向余弦、模) 了解兩個向量平行、垂直的條件 向量計算的幾何意義與坐標表示

理解二元函數的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質 理解偏導數、全微分概念 能熟練求偏導數、全微分

熟練掌握復合函數與隱函數求導法

理解多元函數極值的求法，會用Lagrange乘數法求極值 掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法 會求平面、直線方程與點線距離、點面距離 2.多元函數微分

3.多元微分應用 4.空間解析幾何

二、題型與解法 A.求偏導、全微分

1.f(x)有二階連續(xù)偏導，z?f(exsiny)滿足zxx?zyy?ez，求

''''2xf(x)

解：f''?f?0?f(u)?c1eu?c2e?u

1?2z2.z?f(xy)?y?(x?y)，求

x?x?y3.y?y(x),z?z(x)由z?xf(x?y),F(x,y,z)?0決定，求dz/dx

B.空間幾何問題

4.求和。 解：x/2x?y?z?a上任意點的切平面與三個坐標軸的截距之

x0?y/y0?z/z0?a?d?a

225.曲面x?2y?3z?21在點(1,?2,2)處的法線方程。

C.極值問題

2226.設z?z(x,y)是由x?6xy?10y?2yz?z?18?0確定的函數，求z?z(x,y)的極值點與極值。

三、補充習題(作業(yè))

xy?2z1.z?f(xy,)?g(),求

yx?x?y2.z?f(xy,xy?z?g()),求 yx?x3.z?u,u?lnx?y,??arctan?22y,求dz

x第五講 多元函數的積分

一、理論要求 1.重積分

2.曲線積分

3.曲面積分

二、題型與解法 A.重積分計算 熟悉

二、三重積分的計算方法(直角、極、柱、球)

?b2(x)??f(x,y)dxdy????adx?yy1(x)f(x,y)dy D????2?r2(?)?1d?r1(?)f(r,?)rdr?by2??(x)z2(x,y)adx?y1(x)dy?z1(x,y)f(x,y,z)dz???f(x,y,z)dxdydz???V??z2z1dz??2(z)r2(z,?)?1(z)d??r1(z,?)f(r,?,z)rdr ?????2(?)r2(?,?),?)r2?d???1(?)d??r1(?,?)f(r,?sin?dr會用重積分解決簡單幾何物理問題(體積、曲面面積、重心、轉動慣量)z?f(x,y)?A???1?z'22Dx?z'ydxdy

理解兩類曲線積分的概念、性質、關系，掌握兩類曲線積分的計算方法

?L:y?y(x)??bf(x,y(x))1?y'2?axdx?Lf(x,y)dl???L:???x?x(t)?y?y(t)????f(x(t),y(t))x'2t?y'2tdt

??L:r?r(?)????f(rcos?,rsin?)r2?r'2d?熟悉Green公式，會用平面曲線積分與路徑無關的條件

理解兩類曲面積分的概念(質量、通量)、關系 熟悉Gauss與Stokes公式，會計算兩類曲面積分

??S:z?z(x,y)f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))1?z'22x?z'ydxdyGauss:????Dxy?SE?dS??????EdV(通量，散度) Stokes:???V?LF?dr???S(??F?)?dS(旋度)22?y21.I?????(x?y)dV,?為平面曲線??2z0繞z軸旋轉一周與z=8

?x?的圍域。 解：I??82282?2z0dz??x2?y2?2z(x?y)dxdy??0dz?0d??0r2rdr?1024?3

2.I???x2?y24a2?x2?y22Ddxdy,D為y??a?a2?x2(a?0)與y??x圍域。(I?a(?21?) 162?x2y,1?x?2,0?y?x3.f(x,y)??，

?0,其他求

??Df(x,y)dxdy,D:x2?y2?2x

(49/20) B.曲線、曲面積分 4.I?(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy

?L L從A(2a,0)沿y?2ax?x2至O(0,0)

解：令L1從O沿y?0至A

I?L?L1??????(b?a)dxdy??(?bx)dx?(L1D02a?2?2)a2b??2a3

5.I?xdy?ydx?L4x2?y2,L為以(1,0)為中心，R(?1)為半徑的圓周正向。

解：取包含(0,0)的正向L1:?

?2x?rcos?，

?y?rsin?LL?L1?????LL1?0????L1??

6.對空間x>0內任意光滑有向閉曲面S， ??Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0，且f(x)在x>0有連續(xù)一

x??0?階導數，limf(x)?1,求f(x)。

???0???F?dS??????FdV????(f(x)?xf'(x)?xf(x)?e2x)dV 解：

s??112xexx(e?1)

y'?(?1)y?e?y?xxx第七講 無窮級數

一、理論要求

1.收斂性判別 級數斂散性質與必要條件

常數項級數、幾何級數、p級數斂散條件 正項級數的比較、比值、根式判別法 2.冪級數

3.Fourier級數 交錯級數判別法

冪級數收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法

冪級數在收斂區(qū)間的基本性質(和函數連續(xù)、逐項微積分) Taylor與Maclaulin展開

了解Fourier級數概念與Dirichlet收斂定理 會求[?l,l]的Fourier級數與[0,l]正余弦級數

篇一：高數下冊總結

高數(下)小結

一、微分方程復習要點

解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解. 一階微分方程的解法小結：

二階微分方程的解法小結：

非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y?

主要: 量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數齊次線性微分方程的求解；

二、多元函數微分學復習要點

1、顯函數的偏導數的求法 在求

?z?x 量，對x求導，在求

?z?y 量，對y求導，所運

求導法則與求導公式. 2數的求法

u???x,y?，v???x,y?，則

?z?x ?z?u ?u?x ?z?v ?v?x ?z?y ?

的形式為：

一階

1、可分離變、二階常系數非齊次線性微分方程的特解

一、偏導數的求法 時，應將y看作常時，應將x看作常用的是一元函數的、復合函數的偏導設z?f?u,v?，， 3 ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 幾種特殊情況：

1u???x?，v???x?，則2)z?f?x,v?，v???x,y?，則

?z?x dzdx???f?vdzdu???u?x ??z?v ?dvdx ?v?y ? ?f?x ?v?x ?z?y ? ?f?u ? 3則

3、隱函數求偏導數的求法 1)一個方程的情況

?z?x ? dzdu ? ?u?x ?z?y ? dzdu ? ?u?y 設z?z?x,y?是由方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數，則

?z?x fxfz ??

)z?f?u,v?，， )z?f?u?，u???x,y?， ?fz ?0?， ?z?y ?? fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時對x(或y)求導解出

2)方程組的情況 ?z?x (或 ?z?y ). ?f?x,y,u,v??0?z?z )即可. 由方程組?兩邊同時對x(或y)求導解出(或

?x?y??gx,y,u,v?0?

二、全微分的求法 方法1：利用公式du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z dz 方法2：直接兩邊同時求微分，解出du即可.其中要注意應用微分形式的不變性：

??z du???u? dz?? ?z?dx??x?? ?z?v?z?y dv dy

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1)設空間曲線г的參數方程為 ?y???t?，則當t?t0時，在曲線上對應點 ?z???t??p0?x0,y0 ? ,z0?處的切線方向向量為t???t0?,? ?

?t0?,??t0??，切線方程為

x?x0 ??t0? ? y?y0 ? ?t0? ? z?z0 ? ?t0?

法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2)若曲面?的方程為f? x,y,z??0，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

?n? ?f x ,fy,fz ? p0 ，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為 x?x0 fx?x0,y0,z0? ? y?y0 fy?x0,y0,z0? ? z?z0 fz?x0,y0,z0? 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1

四、多元函數極值(最值)的求法 1 無條件極值的求法

在點p0?x0,y0?的某鄰域內具有二階連續(xù)偏導數，由fx?x,y??0， fy ?x,y??0點? x0,y0 ? a?fxx ?x0 ,y0 ? b?fxy ?x0 ,y0 ? c?fyy ?x0,y0?. 2 c?b1 ?x ,y?取得極值，且當a?0時有極大值，當a?0 2則f?x,y?在點?x0,y0?處無極值. 3) 若ac?b 2 ?0 ?x ,y?是否取得極值.

設函數z?f?x,y?，解出駐，記 ， ， )若a?0，則f 在點?x0,y0?處時有極小值.

) 若ac?b2?0，，不能判定f 在點?x0,y0?處 2 條件極值的求法

函數z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1)化為無條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數z?z(x,y)成為一元函數無條件的極值問題. 2)拉格朗日乘數法

作輔助函數f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數，解方程組

篇二：高數下冊總結(同濟第六版) 高數(下)小結

一、微分方程復習要點

解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解. 一階微分方程的解法小結：

二階微分方程的解法小結：

? 非齊次方程y???py??qy?f(x)的特解y的形式為：

主要: 一階

1、可分離變量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數齊次線性微分方程的求解；

3、二階常系數非齊次線性微分方程的特解

二、多元函數微分學復習要點

一、偏導數的求法

1、顯函數的偏導數的求法 在求

?z?z時，應將y看作常量，對x求導，在求時，應將x看作常量，對y求導，所運?x?y 用的是一元函數的求導法則與求導公式.

2、復合函數的偏導數的求法

設z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，則

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v ， ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 幾種特殊情況： 1)z?f?u,v?，u???x?，v???x?，則2)z?f dzdz?u?zdv dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?則?x??x??v??x，

?z?f ?z?f?v?? ?y?u?y 3則

3、隱函數求偏導數的求法 1)一個方程的情況

?zdz?u?zdz?u， ?xdu?x?ydu?y 方程f?x,y,z??0唯一確定的隱函數，則

f?z ??x ?xfz ?fz ?z ?0? ?y fyfz ?fz ?0? 或者視z?z?x,y?，由方程f?x,y,z??0兩邊同時對x(或y)求導解出 2由方程組? ?z?z( ?f?x,y,u,v??0?z?z 求導解出(或)即可. ?x?y?g?x,y,u,v??0 方法1：利用公式du? ?u?u?u

，v???x,y?，)z?f?u?，u???x,y?設z?z?x,y?是由， ?? )方程組的情況 或). ?x?y 兩邊同時對x(或y)

二、全微分的求法 dx?dy?dz ?x?y?z 方法2：直接兩邊同時求微分，解出du即可.其中要注意應用微分形式的不變性：

?z??z du?dv??v??u dz?? ?z?z?dx?dy ?y???x

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

?x???t? ? 1)設空間曲線г的參數方程為 ?y???t?，則當t?t0時，在曲線上對應點

?z???t?? ? p0?x0,y0,z0?處的切線方向向量為t???t0?,??t0?,??t0?，切線方程為

?? x?x0y?y0z?z0 ?? ?t0?t0?t0法平面方程為 ??t0??x?x0t0??y?y0t0??z?z0??0 2)若曲面?的方程為f?x,y,z??0，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx,fy,fz? p0 ，切平面方程為

fx?x0,y0,z0??x?x0??fy?x0,y0,z0??y?y0??fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0,z0fyx0,y0,z0fzx0,y0,z0 若曲面?的方程為z?f?x,y?，則在點p0?x0,y0,z0?處的法向量

? n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程為

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法線方程為

x?x0y?y0z?z0 ?? fxx0,y0fyx0,y0?1

四、多元函數極值(最值)的求法 1 無條件極值的求法

設函數z?f?x,y?在點p0?x0,y0?的某鄰域內具有二階連續(xù)偏導數，由fx?x,y??0，

fy?x,y??0，解出駐點?x0,y0? ，記a?fxx?x0,y0?，b?fxy?x0,y0?，

c?fyy?x0,y0?. c?b1)若a 時有極小值. 2) 若ac?b2?0，則f?x,y?在點?x0,y0?處無極值. 3) 若ac?b?0，不能判定f?x,y?在點?x0,y0?處是否取得極值. 2 2 ?0，則f?x,y?在點?x0,y0?處取得極值，且當a?0時有極大值，當a?0 2 條件極值的求法

函數z?f?x,y?在滿足條件??x,y??0下極值的方法如下：

1)化為無條件極值：若能從條件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，則使函數z?z(x,y)成為一元函數無條件的極值問題. 2)拉格朗日乘數法

作輔助函數f?x,y??f?x,y?x,y?，其中?為參數，解方程組 篇三：高數下冊公式總結

第八章 向量與解析幾何

第十章 重積分

第十一章曲線積分與曲面積分

篇四：高數下冊積分方法總結

積分方法大盤點

現(xiàn)把我們學了的積分方法做個大總結。

1、二重積分

1.1 x型區(qū)域上二重積分(必須的基本方法)

(1)后x先y積分，d往x軸上的投影得區(qū)間[a,b]； (2)x [a,b]，x=x截d得截線y1(x)＃yy2(x)(小y邊界y=y1(x) 大y邊界y=y2(x))；

(3)b y(x)蝌f(x,y)dxdy= 蝌dx 2f(x,y)dya yd 1(x) 1.2 y型區(qū)域上二重積分(必須的基本方法)

(1)后y先x積分，d往y軸上的投影得區(qū)間[c,d]； (2)y [c,d]，y=y截d得截線x1(y)＃xx2(y)(小x邊界x=x1(y) 大x邊界x=x2(y))；

(3)d x蝌f(x,y)dxdy= 蝌dy 2(y)f(x,y)dxc x d 1(y) 1.2 極坐標二重積分(為簡單的方法)

(1)總是后q先r積分； (2)b r蝌f(x,y)ds= 蝌dq 2(q)f(rcosq,rsinq)rdra r(q) d 1其中，在d上a是最小的q，b是最大的q；q [a,b]，射線q=q截d得截線r1(q)＃r r2(q)(小r邊界r=r1(q)大r邊界r=r2(q))。用坐標關系

x=rcosq，y=rsinq和面積元素ds=dxdy=rdqdr代入(多一個因子r)。

當積分區(qū)域d的邊界有圓弧，或被積函數有x2+y2 時，用極坐標計算二重

積分特別簡單。

離 散

數 學

2、三重積分 2.1 二套一方法(必須的基本方法) (1)幾何準備

(i) 將積分區(qū)域w投影到xoy面，得投影區(qū)域dxy；

(ii) 以dxy的邊界曲線為準線，作一個母線平行于z軸的柱面．柱面將閉區(qū)域w的邊界曲面分割為上、下兩片曲面s2:z=z2(x,y()大z邊界)；

s 1 :z=z1(x,y()小z邊界)

((x,y) dxy，過(x,y)點平行于z軸的直線截w得截線z1(x,y)＃z z2(x,y))

； (2)z蝌蝌 f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dzz。

w d1(x,y) xy 還有兩種(w往xoz或yoz面投影)類似的二套一方法(舉一反三)。 2.2 一套二方法(為簡單的方法) (1)幾何準備

(i)把w往z投影得輊犏臌 c,d； (ii)任意給定z?輊犏臌

c,d，用平面z=z截w得截面(與z有關)dz； (2)d蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=dz f(x,y,z)dxdy， c 蝌 w dz 還有兩種(w往x或y軸投影)類似的一套二方法(舉一反三)。 2.3 柱面坐標計算三重積分(為簡單的方法)

(1)把積分寫成二套一zx,y)蝌蝌

f(x,y,z)dxdydz=蝌

dxdy2(f(x,y,z)dzz,y) w d1(xxy (2)用極坐標計算外層的二重積分

z蝌蝌f(x,y,z)dv= 蝌

dxdy2(x,y)f(x,y,z)dz zw d1(x,y) xyb r2(q)zrcosq,rsinq) = 蝌dqrdr f(rcosq,rsinq,z)dz a r 2(1(q) z 1 (rcosq,rsinq) (注意：里層的上下限也要用x=rcosq，y=rsinq代入)。(當用極坐標計算

外層二重積分簡單時。)

還有兩種(w往xoz或yoz面投影的二套一)類似的極坐標計算方法(舉

第1章

集 合

離 散

數 學

2.3 三重積分(為簡單的方法)

x=rcosqsinjy,=rsiqn sjinz=,r jc dv=dxdydz=r 2 sinjdrdqdj個因子r 2 sinj

蝌

f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdrdqdj w w 下限變成三次積分(總是先r后j最后q積分)

f(x,y,z)dvw b jr dq2(q)dj 2(q,j)

一反三)。

球面坐標計算(1)用坐標關系和o體積元素 (多一)代入

蝌蝌f(x,y,z)dv=； (2)三種情況定上蝌

=蝌f(rcosqsinj,rsinqsinj,rcosj)r 2 sinjdr a j 1(q) r 1 (q,j) 當w是課堂講的三種情況或被積函數有x2+y2+z2時用球面坐標計算簡單。 第1章

集 合

3曲線積分 3.1 平面情形

(1)準備 ?l:?x=x(t), ?y=y(t)(t?[a,b])ds=

；

?? ,f(x,y)ds= f(x(t),y(tt l a l:?l:y=y(x)(x [a,b])時用x作?í

x=x ?(x?[a,b])當??y=y(x)ì?l:x= x(y)( y [c,數l:?í

x=x(y) ??? y=y(y?[c,d])3.2 空間情形

、第一類對弧長的ì

í

，(2)代入b蝌。 ì

當參數；時用d]y作參。 ì??x=x(t)

(1)準備 l:? ? íy=y(t)(t [a,b? ])，ds=

；

z=z(t)蝌f(x,y,z)ds= f(x(t),y(t),z(tt l a y=y(x)??x=x ?(x?[a,b])作參數l:?x)x( ab[,；??z=z(x)í?y=y( ] ?? z=z(x) l:?? x=x(y) ?z=z(y(y?[c,d])時用y作參數

l:?? )? y=y(y [c,d]) z=z(y)ì?x=x(??x=x(z) l:? z) ?(z?[c,d])作參數l:??í?? y=y(z)? y=y(z)(z [c,d])。 z=z 間的特例。

篇五：高數下冊復習知識點總結

下冊復習知識點總結：

(2)代入b。ìì 當l:???í時用x當?? ìì??x=x(y) í í?? ；當 ìí 時用z平面是空高數 8空間解析幾乎與向量代數

1. 給定向量的坐標表達式，如何表示單位向量、方向數與方向余弦、投影。

2. 向量的數量積、向量積的定義式與坐標式，掌握兩個向量垂直和平行的條件。 3. 了解常用二次曲面的方程及其圖形，以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面方程。空間曲線在坐標平面上的投影方程。

4. 平面方程和直線方程及其求法。

5. 平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，利用平面、直線的相互關系(平行、垂直、相交等)解決有關問題。

6. 點到直線以及點到平面的距離。

9 多元函數微分法及其應用

1. 有關偏導數和全微分的求解方法，偏導要求求到二階。

2. 復合函數的鏈式法則，隱函數求導公式和方法。

3. 空間曲線的切線和法平面方程，空間曲面的切平面與法線方程；函數沿著一條直線的方向導數與梯度。 4. 利用充分條件判斷函數的極值問題；利用拉格朗日乘子法(即條件極值)分析實際問題或給定函數的最值問題。

10 重積分

1. 二重積分直角坐標交換積分次序；選擇合適的坐標系計算二重積分。

2. 選擇合適的坐標系計算三重積分。

3. 利用二重積分計算曲面的面積；利用三重積分計算立體體積；

4. 利用質心和轉動慣量公式求解問題。

11曲面積分與曲線積分

1. 兩類曲線積分的計算與聯(lián)系；

2. 兩類曲面積分的計算與聯(lián)系；

3. 格林公式和高斯公式的應用。

高數同濟版下 高數(下)小結

一、微分方程復習要點

解微分方程時，先要判斷一下方程是屬于什么類型，然后按所屬類型的相應解法 求出其通解. 一階

微分方程的解法小結：

高數同濟版下 二階微分方程的解法小結：

非齊次方程的特解的形式為：

高數同濟版下 主要 一階

1、可分離變量方程、線性微分方程的求解；

2、二階常系數齊次線性微分方程的求解；

3、二階常系數非齊次線性微分方程的特解

二、多元函數微分學復習要點

一、偏導數的求法

1、顯函數的偏導數的求法 時，應將看作常量，對求導，在求時，應將看作常量，對求導，所運 用的是一元函數的求導法則與求導公式

2、復合函數的偏導數的求法 設，，，則 ， 幾種特殊情況： 1)，，，則2) ，，則 3)，則

3、隱函數求偏導數的求法 1)一個方程的情況 ， 設是由方程唯一確定的隱函數，則 ，

高數同濟版下 或者視，由方程兩邊同時對 2)方程組的情況 由方程組 . 兩邊同時對求導解出即可

二、全微分的求法 方法1：利用公式 方法2：直接兩邊同時求微分，解出即可.其中要注意應用微分形式的不變性：

三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法 1)設空間曲線Г的參數方程為 ，則當時，在曲線上對應 處的切線方向向量為，切線方程為 法平面方程為 2)若曲面的方程為，則在點處的法向 ，切平面方程為 法線方程為 高數同濟版下 若曲面的方程為，則在點處的法向 ，切平面方程為 法線方程為

四、多元函數極值(最值)的求法 1 無條件極值的求法 設函數在點的某鄰域內具有二階連續(xù)偏導數，由 ，解出駐點 ，記， 1)若 時有極小值 2) 若，則在點處無極值 3) 若，不能判定在點處是否取得極值 ，則在點處取得極值，且當時有極大值，當 2 條件極值的求法 函數在滿足條件下極值的方法如下： 1)化為無條件極值：若能從條件解出代入中，則使函數成為一元函數無條件的極值問題 2)拉格朗日乘數法 作輔助函數，其中為參數，解方程組 高數同濟版下 求出駐點坐標，則駐點可能是條件極值點 3 最大值與最小值的求法 若多元函數在閉區(qū)域上連續(xù)，求出函數在區(qū)域內部的駐點，計算出在這些點處的函數值，并與區(qū)域的邊界上的最大(最小)值比較，最大(最小)者，就是最大(最小)值. 主要

1、偏導數的求法與全微分的求法；

2、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法

3、最大值與最小值的求法

三、多元函數積分學復習要點 七種積分的概念、計算方法及應用如下表所示：

高數同濟版下 高數同濟版下 *定積分的幾何應用 定積分應用的常用公式： (1)面積 (2)體積 (型區(qū)域的面積) (橫截面面積已知的立體體積) (所圍圖形繞 的立體體積) (所圍圖形繞 體體積) (所圍圖形繞軸 的立體體積)

綜述：高數下冊，共有如下幾類積分：二重積分，三重積分，第一類線積分，第二類線積分，第一類面積分，第二類面積分。其中，除線積分外，個人認為，拿到題后，首先應用對稱性把運算簡化，線積分的對稱性，不太常用，可以參照面積分的對稱性，將積分曲面換成積分曲線即可，恕不贅述。另外要注意線積分和面積分的方向性，線積分以逆時針為正方向，面積分以坐標軸正向為正方向。 二重積分 對稱性：

積分區(qū)間D關于X軸對稱：被積函數是關于Y的奇函數，則結果為0：

被積函數是關于Y的偶函數，則結果為在一半區(qū)間上積分的2倍 方法：分別對x、y積分，將其中一個變量寫成另一個的表達形式||極坐標換元 三重積分 對稱性：

積分區(qū)間Ω關于xy面對稱：被積函數是關于z的奇函數，則結果為0；

被積函數是關于z的偶函數，則結果為在一半區(qū)間上積分的2倍 方法：先重后單||先單后重(極坐標)||柱坐標||球坐標

第一類線積分

x,y,z型：具有關于參數t的表達試，用基本公式，轉化成關于t的積分

x,y型：排除上一種條件的話，通常將y表示為關于x的函數，轉化成關于x的積分

第二類線積分 方法：

1、用曲線的切線的方向角余弦，轉化成第一類線積分

2、有參數t，可以轉化成關于t的積分

3、將y表示為關于x的函數，轉化成關于x的積分

4、封閉曲線，通常自己構造，可采用格林公式轉化為二重積分 另：注意與路徑無關的積分

第一類面積分 對稱性：

積分曲面關于XY面對稱：被積函數是關于z的奇函數，則結果為0：

被積函數是關于z的偶函數，則結果為在一半曲面上積分的2倍

計算方法：常規(guī)的話，只有一種，轉化為關于x或y或z的積分。詳見書本上的公式。

第二類面積分 對稱性:

積分曲面關于XY面對稱：被積函數是關于z的偶函數，則結果為0：

被積函數是關于z的奇函數，則結果為在一半曲面上積分的2倍 (注意區(qū)別于第一類) 計算方法：

1、用曲面的切線的方向角余弦，轉化成第一類面積分

2、轉化為二重積分，直接在前面添正負號即可

3、封閉曲面，可以用高斯公式，轉化為三重積分，一般封閉曲面都是人為構造的，所以注意減掉構造面，并注意方向

4、斯托克斯公式，轉化為第二類線積分，不常用

PS：用函數表達式，可以化簡線面積分的被積函數，另有積分相關考點，旋度，散度，質量，質心，轉動慣量，求曲面?zhèn)让婷娣e，頂面面積，曲頂柱體體積~~~多多復習，牢記公式，一定可以渡過積分這個難關~

高等數學下冊公式總結

1、N維空間中兩點之間的距離公式：p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距離

PQ?(x1?y1)2?(x2?y2)2?...?(xn?yn)2

2、多元函數z?f(x,y)求偏導時，對誰求偏導，就意味著其它的變量都暫時

看作常量。比如，就可以了。 ?z表示對x求偏導，計算時把y 當作常量，只對x求導 ?x?2z?2z

3、二階混合偏導數在偏導數連續(xù)的條件下與求導次序無關，即。 ??x?y?y?x

4、多元函數z?f(x,y)的全微分公式： dz??z?zdx?dy。 ?x?y

5、復合函數z?f(u,v),u??(t),v??(t)，其導數公式：

dz?zdu?zdv??。 dt?udt?vdt?FXdy?,Fy?分別表示對x,y

6、隱函數F(x,y)=0的求導公式： ，其中Fx???dXFy求偏導數。

方程組的情形：{F(x,y,u,v)?0的各個偏導數是： G(x,y,u,v)?0FFxvGG?u?vxv，?????x?xFFuvGGuvFFuxGG?uux??，?yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv，

?v??。 ?yFFuvGGuvFFyuGGuy

7、曲線?的參數方程是：x??(t),y??(t),z??(t)，則該曲線過點

M(x0,y0,z0)的法平面方程是：

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0

切線方程是：(x?x0)(y?y0)(z?z0)。 ??????(t0)?(t0)?(t0)

8、曲面方程F(x,y,z)＝0在點M(x0,y0,z0)處的 法線方程是： (x?x0)(y?y0)(z?z0)， ????FxFyFz??(x?x0)?Fy?(y?y0)?Fz?(z?z0)?0。 切平面方程是：Fx

9、求多元函數z=f(x , y)極值步驟：

第一步：求出函數對x , y 的偏導數，并求出各個偏導數為零時的對應的x,y的值 第二步：求出fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C

第三步：判斷AC-B2的符號，若AC-B2大于零，則存在極值，且當A小于零是極大值，當A大于零是極小值；若AC-B2小于零則無極值；若AC-B2等于零則無法判斷

10、二重積分的性質： (1)(2)(3) ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?

DD??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d?

DDDDD1D2??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?

(4)若f(x,y)?g(x,y)，則(5)

??f(x,y)d????g(x,y)d?

DD??d??s，其中s為積分區(qū)域D的面積

D(6)m?f(x,y)?M，則ms?(7)積分中值定理：

??f(x,y)d??Ms

D??f(x,y)d??sf(?,?)，其中(?,?)是區(qū)域D中的點

DdP2(y)

11、雙重積分總可以化簡為二次積分(先對y，后對x的積分或先對x，后對y的積分形式)bP2(x)??f(x,y)d???dx?DaP1(x)f(x,y)dy??dycP1(y)?f(x,y)dx，有的積分可以隨意選擇積分次序，但是做題的復雜性會出現(xiàn)不同，這時選擇積分次序就比較重要，主要依據通過積分區(qū)域和被積函數來確定

12、雙重積分轉化為二次積分進行運算時，對誰積分，就把另外的變量都看成常量，可以按照求一元函數定積分的方法進行求解，包括湊微分、換元、分步等方法

13、曲線、曲面積分：

(1)對弧長的曲線積分的計算方法：設函數f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數方程為?x??(t)y??(t)，(??t??)，則

?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt

??(2)格林公式：??(D?Q?P?)dxdy??Pdx??Qdy ???x?yLL???

14、向量的加法與數乘運算：a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)，則有ka?(kx1,ky1,kz1)， ????xyz?a??b?(?x1??x2,?y1??y2,?z1??z2)，若a?b，則1?1?1

x2y2z2???

15、向量的模、數量積、向量積：若a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)，則向量a的模長???222a?x1?y1?z1；數量積(向量之間可以交換順序，其結果是一個數值)a?b＝

????????????b?a?x1x2?y1y2?z1z2＝b?a?abcos?a,b?，其中?a,b?表示向量b,a的夾角，且????若a?b，則有a?b＝0；向量積(向量之間不可以交換順序，其結果仍是一個向量)???ijk????????a?b?x1y1z1?(y1z2?y2z1)i?(x2z1?x1z2)j?(x1y2?x2y1)k，其中i,j,k是x軸、x2y2z2y軸、z軸的方向向量

16、常數項無窮級數?un?u1?u2?u3?...?un?...，令sn?u1?u2?u3?...?un稱為無n?1?窮級數的部分和，若limsn?s，則稱改級數收斂，否則稱其為發(fā)散的。其中關于無窮級數x??的一個必要非充分地定理是：若?un收斂，則必有l(wèi)imun?0

n?1x???

17、三種特殊的無窮級數： (1)調和級數??1是發(fā)散的，無須證明就可以直接引用 n?1n?n(2)幾何級數?aq，當q?1時收斂，當q?1時發(fā)散

n?1(3)p級數?1，當p?1時收斂，當p?1時發(fā)散 pn?1n??n?1

18、正項級數?un的判斂方法：

(1)比較判斂法：若存在兩個正項級數?un，?vn，且有vn?un，若un收斂，則vn收

n?1n?1??斂；若vn發(fā)散，則un發(fā)散

(2)比較判斂法的極限形式：若limun?l,(l?0)，則un和vn具有相同的斂散性

x??vnun?1?l，若l?1，則原級數收斂，若l?1，則原級

x??un(3)比值判斂法：對于?un， limn?1?數發(fā)散

19、交錯級數?(?1)n?1?n?1un的判斂方法：同時滿足un?un?1及l(fā)imun?0，則級數收斂，否

x??則原級數發(fā)散

20、絕對收斂和條件收斂：對于?un，若?un收斂，則稱其絕對收斂；若?un發(fā)散，

n?1n?

1n?1

??

?但是?un收斂，則稱其條件收斂

n?1?

21、函數項無窮級數形如：?un(x)?u1(x)?u2(x)?u3(x)?...?un(x)?...，通常討論的是

n?1?冪級數形如：?anx?a0?a1x?a2x?a3x?...?anx?...，

n?0?n23n(1)收斂半徑及收斂區(qū)間：liman?11??,則收斂半徑R?，收斂區(qū)間則為(?R,R)，但

x??a?n是要注意的是，收斂區(qū)間的端點是否收斂需要用常數項級數判斂方法驗證

(2n?1)?xnn-1x(2)幾種常見函數的冪級數展開式：e??，sinx??，(-1)n?0n!n?1(2n?1)!x???11x2nn??x，??(?1)nxn ，cosx??(?1)n?01?xn?0(2n)!1?xn?0?n

22、常微分方程的類型及解題方法：

(1)可分離變量的微分方程：y??f(x,y)，總是可以分離變量化簡為式，然后等式兩邊同時積分，即可求出所需的解

(2)齊次方程：y??f(x,y)，不同的是，等式右端的式子總是可以化簡為f()的形式，令

dydx?的形f(y)f(x)yxy?u，則原方程化簡為可分離變量方程形式u?xu??f(u)來求解 x(3)一階線性微分方程：形如y??p(x)y?f(x)的方程，求解時首先求出該方程對應的齊次方程y??p(x)y?0的解y?cQ(x)，然后使用常熟變易法，令c?u(x)，把原方程的解y?u(x)Q(x)帶入原方程，求出u(x)，再帶入y?u(x)Q(x)中，即求出所需的解

(4)全微分方程：形如p(x,y)dx?Q(x,y)dy?0的方程，只要滿足

xy?p(x,y)?Q(x,y)?，?y?x則稱其為全微分方程，其解為u??0p(x,y)dx??Q(x,y)dy

0(5)二階微分方程的可降階的三種微分方程：

第一種：y???f(x)的形式，只需對方程連續(xù)兩次積分就可以求出方程的解

第二種：y???f(x,y?)的形式，首先令y??z，則原方程降階為可分離變量的一階微分方程z??f(x,z)的形式，繼續(xù)求解即可

第三種：y???f(y,y?)的形式，同樣令y??z，由于y???z??dzdzdydz??y?，所以dxdydxdy原方程轉化為一階微分方程

dzz?f(y,z)的形式，繼續(xù)求解即可 dy(6)二階常系數齊次微分方程：y???py??qy?0，求解時首先求出該方程對應的特征方

r1x程r2?pr?q?0的解r1,r2，若實根r?c2er2x；若實根r1?r2，則解1?r2，則解為y?c1e為y?(c1?c2x)e1；若為虛根a?bi，則解為y?eax(c1cosbx?c2sinbx)

rx(8)二階常系數非齊次微分方程：y???py??qy?Pm(x)e，求解時先按(7)的方法求其rx對應的齊次微分方程的通解y1，然后設出原方程的特解y?＝xQm(x)erx，其中Qm(x)是和P含有相應的未知系數，而k根據特征方程的解r1,r2與r的關系取值，m(x)同次的多項式，若r與特征根不相等，則k取0；若r和一個特征根相等，則k取1；若r和特征根都相等，則k取2，將特解代入原方程求出相應的未知系數，最終原方程的解即通解加上特解，即

ky?y1?y?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高数七重积分的总结_高数下册总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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