定義

一個矩陣 A? 的列秩是 A 的線性無關(guān)的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是 A 的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣 A 的秩。通常表示為 r(A)，rank(A) 或 rk(A)。

可替代定義

用行列式定義

設(shè) A 為 m*n 矩陣，若 A 至少有一個 r 階非零子式，而其所有 r+1 階子式全為零，則稱 r 為 A 的秩。

性質(zhì)

• m × n 矩陣的秩不大于m且不大于n的一個非負(fù)整數(shù)，表示為 rk(A) ≤ min(m, n)。有盡可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為“欠秩”）的。
• 只有零矩陣有秩 0。
• A的秩最大為 min(m,n)。
• 如果方塊矩陣 A 是可逆的，當(dāng)且僅當(dāng) A 有秩 n（也就是 A 有滿秩）。
• A 的秩等于 r，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個可逆的 m*m 矩陣 X 和一個可逆的 n*n 矩陣 Y 使得 。
• 西爾韋斯特不等式：如果 A 是一個 m*n 的矩陣，且 B 是 n*k 的矩陣，則 。
• 如果 AB，ABC 和 BC 有定義，則 。
• 。
• 如果 A 是實(shí)數(shù)上的矩陣，那么 。
• 如果 A 是復(fù)數(shù)上的矩陣，那么 。

舉例

計算矩陣 A 的秩最容易的方法就是高斯消元法，即利用矩陣的初等變換生成一個行階梯形矩陣，由于矩陣的初等變化不會改變矩陣的秩。

，可以看到第 2 縱列是第 1 縱列的兩倍，而第 4 縱列-等于第 1 和第 3 縱列的總和。第 1 和第 3 縱列是線性無關(guān)的，所以 A 的秩是 2。這可以用高斯算法驗(yàn)證。它生成下列A的行階梯形矩陣：，它有兩個非零的橫行。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵的秩（Rank）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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