矩陣的秩

• 1 k階子式和秩的定義
• 2 矩陣的秩的定理
• 3 有關秩的性質

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1 k階子式和秩的定義

給定一個矩陣，任取k行和k列交叉元素，組成的行列式，就成為k階子式，比如$A_{3X4}$取2階子式，可以取前兩行和后兩列，結果如下:(由于只有3行，所以最多有3階子式)
$$A=?\begin{array}{c}2,2,2,2\\ 3,3,3,2\\ 1,1,1,1\end{array}?k_2=\left|\begin{array}{c}2,2\\ 3,2\end{array}\right|$$然后查看一下示例的這個矩陣可以取得的各階子式的值

• 1階子式的值：方陣中各個元素的值
• 2階子式的值：0,0,-2（選擇前兩行，第一列和其余列的行列式值）；0,0,0（取一三行，第一列和其余列的行列式值）；0,0,1（取二三行，第一列和其余列的行列式值）
• 3階子式的值：0,0,0,0（只有三行，任意取三列，共有四種取法，最后結果都是0）

那么規定非零子式的最高階數稱作：矩陣的秩。比如剛剛的示例矩陣，其3階子式全為0，所以最高的非零子式只有2階，故矩陣的秩為2。

規定和性質：

• 零矩陣的秩為0，也就是r(0) = 0
• 若矩陣$A_{mXn}$，則矩陣的秩取值范圍為：$0<=r(A)<=min\{m,n\}$，若$r(A)=m$取所有的行，被稱為行滿秩矩陣；若$r(A)=n$即是取到了所有的列，被稱作為列滿秩矩陣；這兩種情況都是稱作滿秩，說明$r(A)=min\{m,n\}$
• 若$r(A)<min\{m,n\}$，說明矩陣是降秩矩陣
• 若A為方陣，$A滿秩?A可逆?|A|=0$

2 矩陣的秩的定理

定理1： $r(A)=r?有一個r階子式不為0，所有的r+1階均為0$（可以通過行列式的展開定理實現證明）

階梯型矩陣：
1）若有零行，零行在非零行的下面；
2）左起首非零元左邊零的個數隨行數增加而嚴格增加
$$A=?\begin{array}{c}1,1,1,1,1\\ 0,1,1,1,1\\ 0,0,0,1,1\\ 0,0,0,3,4\\ 0,0,0,0,0\end{array}?這里的A就不屬于階梯型矩陣，不滿足第二點$$
行簡化階梯型：
1）非零行的首非零元是1
2）首非零元所在列的其余元素都是0

$$A=?\begin{array}{c}1,0,0,0,1\\ 0,1,0,0,1\\ 0,0,0,1,1\\ 0,0,0,0,0\\ 0,0,0,0,0\end{array}?$$

由此可以得出一個結論：矩陣的秩還可以用非零行的行數表示，非零行有幾行，那么秩就為幾

定理2：初等變換不改變矩陣的秩。一般使用初等行變換化為階梯型

$$A=?\begin{array}{c}1,?1,2,1,0\\ 2,?2,4,?2,0\\ 3,0,6,?1,1\\ 0,3,0,0,1\end{array}???\begin{array}{c}1,?1,2,1,0\\ 0,0,0,?4,0\\ 0,3,0,?4,1\\ 0,3,0,0,1\end{array}???\begin{array}{c}1,?1,2,1,0\\ 0,3,0,?4,1\\ 0,0,0,?4,0\\ 0,0,0,0,0\end{array}??r(A)=3$$

3 有關秩的性質

• $r(A)=r(A^T)$
• 矩陣乘以可逆矩陣，秩不變
• $A_{mXn}$，$P$是m階可逆方陣，$Q$是n階可逆方陣 $?r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$，這里使用大白話說就是：矩陣左乘可逆矩陣、右乘可逆矩陣、左右乘可逆矩陣，矩陣的秩不變

哈哈哈，宋老師很皮~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【线性代数（9）】矩阵的秩的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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