實(shí)驗(yàn)一

分別利用變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式、變步長(zhǎng)復(fù)化Simpson公式和復(fù)化Guass-Legendre I型公式計(jì)算下列式子，要求絕對(duì)誤差限為$0.5?10^{?7}$，并比較每種算法的計(jì)算時(shí)間。
（1）$\ln 2?\ln 3=?2{\int }_2^3\frac{1}{x^2?1}dx$
（2）$\pi =4{\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx$
（3）$\frac{2}{\ln 3}={\int }_0^1{3}^{x}dx$
（4）$e^2={\int }_1^{2}x{e}^{x}dx$

1、思路

1.1、變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式和變步長(zhǎng)Simpson公式，是在實(shí)際計(jì)算時(shí)，將區(qū)間逐次分半計(jì)算（每分一次就進(jìn)行一次計(jì)算），并利用結(jié)果來(lái)判斷誤差的大小。
對(duì)于變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式，有

• $I\approx T_{2n}+\frac{1}{3}(T_{2n}?T_n)$
  若$|T_{2n}?T_n|<{\epsilon }^{\prime }=3\epsilon$，并取$T_{2n}$為積分的近似值。
• 對(duì)于變步長(zhǎng)Simpson公式，有 $I\approx S_{2n}+\frac{1}{15}(S_{2n}?S_n)$
  若$|S_{2n}?S_n|<{\epsilon }^{\prime }=15\epsilon$，并取$S_{2n}$為積分的近似值。

1.2、以上兩種，實(shí)際上限定了求積公式的精度。若以求公式的代數(shù)精度達(dá)到最大值的原則去選取求積節(jié)點(diǎn)和求出相應(yīng)的求積系數(shù)，那就是Gauss求積公式。以Gauss-Legendre I型求積公式為例子，在區(qū)間[a,b]的復(fù)化積分公式為：
${\int }_b^{a}f(x)dx=\frac{h}{2}{\sum }_{k=0}^{n?1}[f(x_{k+\frac{1}{2}}?\frac{h}{2\sqrt{3}})+f(x_{k+\frac{1}{2}}+\frac{h}{2\sqrt{3}})]$

2、程序

function test_4_1 %分別利用變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式、變步長(zhǎng)復(fù)化Simpson公式、復(fù)化Gauss-Legendre I型公式計(jì)算。 % 絕對(duì)誤差限為1/2*10^(-7) % 將計(jì)算結(jié)果與精確解作比較，并比較各種算法的運(yùn)行時(shí)間 promps={'選擇積分公式，若用變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式，輸入T；用復(fù)化Simpson公式，輸入S；用復(fù)化Gauss_Legendre，輸入GL'}; Nb=char(inputdlg(promps,'text_4_1',1,{'T'})); if (Nb~='T'& Nb~='S'& Nb~='GL')errordlg('積分公式選擇錯(cuò)誤！');return; end Nb_f=str2num(char(inputdlg('輸入積分式子題號(hào)1-4:','text_4_1',1,{'1'}))); if(Nb_f<1'&&Nb_f>4)errordlg('沒(méi)有該積分式子');return; end switch Nb_fcase 1fun=@(x)-2./(x.^2-1);a=2;b=3;case 2fun=@(x)4./(1+x.^2);a=0;b=1;case 3fun=@(x)3.^x;a=0;b=1;case 4fun=@(x)x.*exp(x);a=1;b=2; end r=0.5e-7;%誤差 if (Nb=='T')%變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式tic;t=(fun(a)+fun(b))*(b-a)/2;t0=0;k=1;while abs(t-t0)>=3*r%用區(qū)間逐次分半求積分，T2n-Tn<3rh=(b-a)/(2^k);t0=t;t=(fun(a)+fun(b))*h/2+h*sum(fun(a+h:h:b-h));k=k+1;endtime=toc; elseif (Nb=='S')%變步長(zhǎng)復(fù)化Simpson公式tic;[t,iter]=quad(fun,a,b,r);%quad()函數(shù)是MATLAB自帶的Simpson自適應(yīng)函數(shù)time=toc; elseif (Nb=='GL')%復(fù)化Gauss-Legendre I型公式tic;promps={'請(qǐng)輸入用復(fù)化Gauss-Legendre I型公式應(yīng)取的步長(zhǎng)：'};h=str2num(char(inputdlg(promps,'test 4-1',1,{'0.01'})));N=(b-a)/h;t=0;for k=1:N-1xk=a+k*h+h/2;t=t+fun(xk-h/(2*sqrt(3)))+fun(xk+h/(2*sqrt(3)));endt=t*h/2;time=toc; end fprintf('方程(%s)的計(jì)算結(jié)果：%.10f\n',Nb,t); switch Nb_fcase 1result=log(2)-log(3);fprintf('精確解：ln2-ln3=%.10f\n',result);disp(['絕對(duì)誤差：',num2str(abs(t-result))]);disp(['運(yùn)行時(shí)間：',num2str(time)]);case 2result=pi;fprintf('精確解：Π=%.10f\n',result);disp(['絕對(duì)誤差：',num2str(abs(t-result))]);disp(['運(yùn)行時(shí)間：',num2str(time)]);case 3result=2/log(3);fprintf('精確解：2/log(3)=%.10f\n',result);disp(['絕對(duì)誤差：',num2str(abs(t-result))]);disp(['運(yùn)行時(shí)間：',num2str(time)]);case 4result=exp(2);fprintf('精確解：exp(2)=%.10f\n',result);disp(['絕對(duì)誤差：',num2str(abs(t-result))]);disp(['運(yùn)行時(shí)間：',num2str(time)]); end

3、運(yùn)行結(jié)果

從結(jié)果可看出，精度最高的是Guass-Legendre I型公式，且步長(zhǎng)取得越小，絕對(duì)誤差越小，但是相應(yīng)所花費(fèi)的時(shí)間越長(zhǎng)。而計(jì)算時(shí)間最短的是變步長(zhǎng)梯形公式，但是其絕對(duì)誤差三者中最大。
絕對(duì)誤差：Guass-Legendre I型公式<變步長(zhǎng)Simpson公式<變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式
計(jì)算時(shí)間：變步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式<變步長(zhǎng)Simpson公式<Guass-Legendre I型公式

實(shí)驗(yàn)二

利用復(fù)化Simpson公式和變步長(zhǎng)復(fù)化Simpson公式計(jì)算下列定積分，并比較這兩種算法所需的節(jié)點(diǎn)數(shù)和計(jì)算時(shí)間，要求絕對(duì)誤差限為$0.5?10^{?7}$。
（1）${\int }_0^2((\frac{x^6}{10}?x^2+x)dx$
（2）${\int }_0^{1}x\sqrt{x}dx$
（3）${\int }_5^{200}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

1、思路

復(fù)化Simpson公式：
$S_n=\frac{h}{6}[f(a)+4{\sum }_{k=0}^{n?1}[f(x_{k+\frac{1}{2}})+2{\sum }_{k=1}^{n?1}f(x_k)+f(b)]$
變步長(zhǎng)復(fù)化Simpson公式如實(shí)驗(yàn)一，在MATLAB中可以調(diào)用庫(kù)函數(shù)quad()

2、程序

function test_4_1 promps={'選擇積分公式，用復(fù)化Simpson公式，輸入S；用變步長(zhǎng)復(fù)化Simpson公式，輸入VS'}; Nb=char(inputdlg(promps,'text_4_2',1,{'S'})); if (Nb~='S'& Nb~='VS')errordlg('積分公式選擇錯(cuò)誤！');return; end Nb_f=str2num(char(inputdlg('輸入積分式子題號(hào)1-3:','text_4_2',1,{'1'}))); if(Nb_f<1 &&Nb_f>3)errordlg('沒(méi)有該積分式子');return; end switch Nb_fcase 1fun=@(x)(x.^6/10)-x.^2+x;a=0;b=2;case 2fun=@(x)x.*sqrt(x);a=0;b=1;case 3fun=@(x)1./sqrt(x);a=5;b=200; end r=0.5e-7;%誤差 if (Nb=='S')%復(fù)化Simpson公式tic;promps={'請(qǐng)輸入用復(fù)化Simpson公式應(yīng)取的步長(zhǎng)：'};h=str2num(char(inputdlg(promps,'test 4-2',1,{'0.01'})));N=(b-a)/h;t1=0;t2=0;for k=0:N-1xk=a+k*h+h/2;t1=t1+fun(xk);endfor k=1:N-1xk=a+k*h;t2=t2+fun(xk);endt=(1+fun(b)+4*t1+2*t2)*h/6;n=2*N+1;time=toc; elseif (Nb=='VS')%變步長(zhǎng)復(fù)化Simpson公式tic;[t,iter]=quad(fun,a,b,r);n=2*iter+1;time=toc; end fprintf('方程(%s)的計(jì)算結(jié)果：\n',Nb); if (Nb=='S')fprintf('用復(fù)化Simpson公式，所需的節(jié)點(diǎn)數(shù)：%d，求得的近似值：%.10f，運(yùn)行時(shí)間：%.5f\n',n,t,time); elseif(Nb=='VS')fprintf('用變步長(zhǎng)復(fù)化Simpson公式，所需的節(jié)點(diǎn)數(shù)：%d，求得的近似值：%.10f，運(yùn)行時(shí)間：%.5f\n',n,t,time); end

3、運(yùn)行結(jié)果

總結(jié)

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