ECC(Elliptic Curves Cryptography)加密算法是一種公鑰加密算法，與主流的RSA算法相比，ECC算法可以使用較短的密鑰達到相同的安全程度。近年來，人們對ECC的認識已經不再處于研究階段，開始逐步進入實際應用，如國家密碼管理局頒布的SM2算法就是基于ECC算法的。下面我們來認識一下ECC的工作原理。

橢圓曲線

定義

在引入橢圓曲線之前，不得不提到一種新的坐標系-------射影平面坐標系，它是對笛卡爾直角坐標系的擴展，增加了無窮遠點的概念。在此坐標系下，兩條平行的直線是有交點的，而交點就是無窮遠點。兩者的變換關系為：

笛卡爾坐標系中的點a(x,y)，令x=X/Z，y=Y/Z，則射影平面坐標系下的點a的坐標為(X,Y,Z)，如點(2,3)就轉換為(2Z,3Z,Z)。

橢圓曲線定義：一條橢圓曲線在射影平面上滿足方程：Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3的所有點的集合，且曲線上每個點都是非奇異的。

該方程有名維爾維斯特拉斯方程，橢圓曲線的形狀不是橢圓，只是因為其描述的方程類似于計算一個橢圓周長的方程。轉換到笛卡爾坐標系下的方程為：

y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6

加法法則

運算法則：任意取橢圓曲線上兩點P、Q (若P、Q兩點重合，則做P點的切線)做直線交于橢圓曲線的另一點R’，過R’做y軸的平行線交于R。我們規定P+Q=R。(如圖)

此處+不是簡單的實數相加，是抽象出來的

O∞+P=P，O∞為零元

曲線上三個點A,B,C處于一條直線上，則A+B+C=O∞

下面，我們利用P、Q點的坐標(x1,y1)，(x2,y2)，求出R=P+Q的坐標(x4,y4)。

P,Q,R'共線，設為y=kx+b，

若P≠Q，k=(y1-y2)/(x1-x2)

若P=Q，k=(3x2+2a2x+a4?-a1y) /(2y+a1x+a3)

解方程組得到：

x4=k2+ka1-a2-x1-x2;

y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;

密碼學中的橢圓曲線

定義

在有限域Fp中定義一個橢圓曲線，常用y2=x3+ax+b

Fp中只有p個元素，p為素數

Fp中，a+b≡c (mod p)，a×b≡c (mod p)，a/b≡c (mod p)

4a3+27b2≠0　(mod p)? a，b是小于p的非負整數

x，y屬于0到p-1間的證書，曲線標記為Ep(a，b)

階：橢圓曲線上一點P，存在正整數n，使得nP=O∞，則n為P的階，若n不存在，則P是無限階的，有限域上定義的橢圓曲線上所有點的階都存在。

橢圓曲線難題

K=kG，其中K,G為Ep(a,b)上的點，k為小于n的整數，n是點G的階，給定k和G，計算K容易，但是給定K和G，求k就很難了！

因此，設K為公鑰，k為私鑰，G為基點。

加密過程

A選定一條橢圓曲線Ep(a,b)，并取曲線上一點作為基點G

A選擇一個私鑰k，并生成公鑰K=kG

A將Ep(a,b)和k，G發送給B

B收到后將明文編碼到Ep(a,b)上一點M，并產生一個隨機數r

B計算點C1=M+rK，C2=rG

B將C1，C2傳給A

A計算C1-kC2=M+rkG-krG=M

A對M解碼得到明文

攻擊者只能得到Ep(a,b)，G，K，C1，C2，沒有k就無法得到M。

簽名驗簽流程

A選定一條橢圓曲線Ep(a，b)，并取曲線上一點作為基點G

A選擇一個私鑰k，并生成公鑰K=kG

A產生一個隨機數r，計算R(x,y)=rG

A計算Hash=SHA(M)，M‘=M(modp)

A計算S=(Hash+M'k)/r(modp)

B獲得S和M'，Ep(a,b)，K，R(x,y)

B計算Hash=SHA(M)，M'=M(modp)

B計算R'=(Hash*G+M'*K)/S=(Hash*G+M'*kG)*r/(Hash+M'k)=rG=R(x,y)，若R'=R，則驗簽成功。

以上加解密和簽名驗簽流程只是一個例子，具體應用時可以利用K=kG這一特性變幻出多種加解密方式。

總結

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