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Karplus-Strong Algorithm[1，2] ，由Alex Strong和Kevin Karplus提出并對其實現(xiàn)進行了分析，兩人共同研制了應用該算法的軟件和硬件。是一種用于數(shù)字音樂合成的算法，具有實現(xiàn)成本低，易于控制，合成音好聽入耳等特點。

1 Wavetable Synthesis Algorithm

在講解Karplus-Strong Algorithm前，首先插入講解一下波表合成算法（Wavetable Synthesis Algorithm），它是一種標準的合成技術，它將一段采樣信號一遍遍重復，從而產(chǎn)生一組純粹的周期信號，我們定義Yt是第t個采樣信號值，則波表合成算法的數(shù)學表達式可寫為：

Yt=Yt?p,(1)

其中，參數(shù)p被稱為波表長度（Wavetable length ）或者周期性參數(shù)（Periodicity parameter）。信號循環(huán)的初始條件完全決定了最終的音色。通常來說，輸入的簡單波形信號，例如sine wave，triangle wave，square wave等，當輸入采樣頻率是fs時，音調(diào)的頻率為fs/p。

波表合成算法非常簡單，但是因為產(chǎn)生的是完全周期性的音調(diào)，而略顯無聊。傳統(tǒng)的樂器產(chǎn)生的聲音是隨著時間變化而變化的，人們所想要的就是這樣一個較為符合現(xiàn)實情況的函數(shù)模型，波表合成算法之后，相繼有FM synthesis，additive synthesis，subtractive synthesis， waveshaping等算法提出，這些全都是基于波表合成算法進行進一步的修整處理。

為此，究竟什么樣的修整對于波表合成算法是真正有效的呢？如果沒有修整，那么必然導致產(chǎn)生的音樂是單純周期性的，和弦部分也是固定不變的。同時，為了產(chǎn)生近似周期的輸出，從一個階段到另一個階段對于信號的修正變化必須較小。（考慮到計算機的計算水平和內(nèi)存大小限制，當時對于算法的計算量和內(nèi)存占用也進行了要求，現(xiàn)在這些限制早已不是問題。）

2 Karplus-Strong Algorithm

基于上面的知識，我們再來看Karplus-Strong Algorithm算法，這是一種簡單的修整方法，原論文中針對撥弦（Plucked-String）和擊鼓（Drum）進行了算法描述。Fig 1是該算法的簡單示意圖，從中可以看出，這種修整方法就是對連續(xù)的兩個采樣信號進行求平均。

對于撥弦算法（Plucked-String Algorithm, invented by Alex Strong in 1978）：

Yt=12(Yt?p+Yt?p?1),(2)

實驗顯示這種平均處理，能夠基于原波形產(chǎn)生緩慢的衰減，并且傾向于具有 p+1/2的采樣周期和fs/(p+1/2)的采樣頻率，算法非常簡單高效。為了產(chǎn)生一個現(xiàn)實的聲音，需要初始時輸入較多高的諧波，通常的在每一新的小節(jié)開始部分被填入隨機數(shù)值，由于重復的在波表中采樣，這種隨意數(shù)值并不會產(chǎn)生噓聲和噪聲。這種利用隨機數(shù)初始化，具有最明顯的優(yōu)勢就是：每個重復的片段中和弦波形結(jié)構(gòu)都會具有細微的差異，從而聽起來就像來自于同一樂器，但卻不是簡單機械的重復。

在沒有衰減的情況下，按照上述方法產(chǎn)生的隨機波表本質(zhì)上等價于具有Nyquist頻率（Nyquist frequency）的諧波，聽起來就像簧風琴（Reed Organ）。而具有衰減時，較高的諧波會很快衰減，產(chǎn)生跟吉他撥弦聲（ plucked-string sound）很像的聲音。

對于擊鼓算法（Drum Algorithm, discovered by Kevin Karplus in 1979）:

Yt={+12(Yt?p+Yt?p?1);?12(Yt?p+Yt?p?1);probability?bprobability?1?b,(3)

其中，b被稱為融合因子（blend factor），不難發(fā)現(xiàn)，當b=1時，算法就簡化為了Plucked-String Algorithm。其它就不在做過多介紹。

3 Karplus–Strong String Synthesis

讓我們來看看，Karplus–Strong Algorithm是如何合成聲音的，如Fig 2所示。

• 1 激勵波形產(chǎn)生（Noise burst）：即產(chǎn)生一段長度為L的樣波，在原始的算法中，使用強烈白噪聲（White noise），例如捶打音（hammered），撥弦音（plucked-string）以及其他形式的敲打音（percussion），其中除了雜亂的窄頻帶信號（narrowband signal）外，還含有一些寬頻帶信號（wideband signal），例如快速變化的正弦波、掃描波、鋸齒波和方形波等；

• 2 延遲（Delay）：將輸入信號反饋為具有延時長度L的樣波；

• 3 濾波（Filter）：在原算法中，使用的是相鄰的采樣信號求均值法，此處為了維持穩(wěn)定的正反饋循環(huán)（Positive feedback），并且使各個頻率的信號增益（Gain）不超過1，因此采用了一階低通濾波（low-pass filter）；

• 4 遞歸（Recursion）：濾波后輸出的數(shù)據(jù)，同時被混合到輸出結(jié)果中，并繼續(xù)進行延遲和濾波。

參考文獻：

• Kevin Karplus, Alex Strong, “Digital Synthesis of Plucked String and Drum Timbres”, Computer Music Journal (MIT Press) 7(2), 1983.
• David A. Jaffe, Julius O. Smith, “Extensions of the Karplus-Strong Plucked-String Algorithm”, Computer Music Journal (MIT Press), 7(2), 1983.
• https://ccrma.stanford.edu/~jos/pasp/Karplus_Strong_Algorithm.html
• https://en.wikipedia.org/wiki/Karplus%E2%80%93Strong_string_synthesis
• http://crypto.stanford.edu/~blynn/sound/karplusstrong.html

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的The Karplus-Strong Algorithm的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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