在數學中，同倫（Homotopy）的概念在拓撲上描述了兩個對象間的“連續變化”。
兩個拓撲空間如果可以通過一系列連續的形變從一個變到另一個，那么就稱這兩個拓撲空間同倫。

同倫等價的概念

$f,g:X\to Y給定的兩個拓撲空間X和Y。考慮兩個連續函數，若存在一個連續映射H：X\times 【0，1】\to Y使得$
$$\begin{gathered} ?x\in X,H(x,0)=f(x), \\ ?x\in X,H(x,1)=g(x). \end{gathered}$$
$則稱f,g(在Y里)同倫。$

在所有的X到Y的映射組成的集合X^Y中， 同倫等價是個拓撲空間之間的等價關系，

https://www.knowpia.cn/pages/%E5%90%8C%E5%80%AB%E7%AD%89%E5%83%B9
等價關系就能做商集合，Y^X/~ : X到Y 的映射的同倫類集記為[X,Y]，

兩個空間之間的映射有幾個同倫的等價類

問:對于兩個給定的空間，有幾個同輪等價類？
$$\begin{gathered} [S^n,S^n]=Z \\ [S^3,S^2]=Z \\ [S^4,S^3]=Z/2(只有兩個元素) \end{gathered}$$
但是低維到高維只有一個元素 常值映射 因為總是映不滿的

（ps：同輪類之間還能定義運算）

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  例1：
  $$\begin{gathered} 設X是拓撲空間,S^n為n維球面，映射f,g:X\to S^n \\ s.t.?x\in X,f(x)=?g(x) \\ 則f～g(對徑點變換的路徑就不確定了，不好定義了) \end{gathered}$$
  

如果X到S^n的映射不滿，則它一定等價與常值映射C_x
如果映到球面不滿，則至少球面有一個孔，球就“爆了”
$比如說?x_0點映不到，?x\in X,f(x)=?x_0$

$考慮映射C_{x_0}:X\to S?x\in X，C_{x_0}(x)=x_0$
$滿足f(x)=C_{x_0}(x)$
$所以f～C_{x_0}$

空間偶：

拓撲空間X和其子空間A,記為(X,A)，是一個空間偶

空間偶之間的映射：

$$\begin{gathered} 如果一個連續映射f:X\to Y還滿足f(A)?B, \\ 即限制在A上時可以認為f:A\to B, \\ 那么我們也稱這是一個空間偶之間的映射，記為f:(X,A)\to (Y,B). \end{gathered}$$

$對f,g:(X,A)\to (Y,B)如果存在F：X\times I\to Ys.t.$
$$F(x,0)=f(x),F(x,1)=g(x).$$
$$\begin{gathered} 且對任意a\in A,t\in I有F(a,t)\in B,則稱空間偶的映射f與g同倫等價 \\ 記為f?g(X,A)\to (Y,B) \end{gathered}$$

… … -…- -…- .---- … -…- – … -.
特別地，A={x_0},B={y_0},稱X,Y為帶有基點的空間。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的映射同伦等价（一般的+空间偶的）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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