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详解2020数学建模国赛A题炉温曲线

發(fā)布時間：2024/1/1 编程问答 32 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了详解2020数学建模国赛A题炉温曲线小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

詳解2020數(shù)學(xué)建模國賽A題爐溫曲線

問題描述

在集成電路板等電子產(chǎn)品生產(chǎn)中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上。在這個生產(chǎn)過程中，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對產(chǎn)品質(zhì)量至關(guān)重要。目前，這方面的許多工作是通過實驗測試來進行控制和調(diào)整的。本題旨在通過機理模型來進行分析研究。

回焊爐內(nèi)部設(shè)置若干個小溫區(qū)，它們從功能上可分成4個大溫區(qū)：預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)、冷卻區(qū)（如圖1所示）。電路板兩側(cè)搭在傳送帶上勻速進入爐內(nèi)進行加熱焊接。

某回焊爐內(nèi)有11個小溫區(qū)及爐前區(qū)域和爐后區(qū)域（如圖1），每個小溫區(qū)長度為30.5 cm，相鄰小溫區(qū)之間有5 cm的間隙，爐前區(qū)域和爐后區(qū)域長度均為25 cm。

回焊爐啟動后，爐內(nèi)空氣溫度會在短時間內(nèi)達到穩(wěn)定，此后，回焊爐方可進行焊接工作。爐前區(qū)域、爐后區(qū)域以及小溫區(qū)之間的間隙不做特殊的溫度控制，其溫度與相鄰溫區(qū)的溫度有關(guān)，各溫區(qū)邊界附近的溫度也可能受到相鄰溫區(qū)溫度的影響。另外，生產(chǎn)車間的溫度保持在25oC。

在設(shè)定各溫區(qū)的溫度和傳送帶的過爐速度后，可以通過溫度傳感器測試某些位置上焊接區(qū)域中心的溫度，稱之為爐溫曲線（即焊接區(qū)域中心溫度曲線）。附件是某次實驗中爐溫曲線的數(shù)據(jù)，各溫區(qū)設(shè)定的溫度分別為175oC（小溫區(qū)1-5）、195oC（小溫區(qū)6）、235oC（小溫區(qū)7）、255oC（小溫區(qū)8-9）及25oC（小溫區(qū)10~11）；傳送帶的過爐速度為70 cm/min；焊接區(qū)域的厚度為0.15 mm。溫度傳感器在焊接區(qū)域中心的溫度達到30oC時開始工作，電路板進入回焊爐開始計時。

實際生產(chǎn)時可以通過調(diào)節(jié)各溫區(qū)的設(shè)定溫度和傳送帶的過爐速度來控制產(chǎn)品質(zhì)量。在上述實驗設(shè)定溫度的基礎(chǔ)上，各小溫區(qū)設(shè)定溫度可以進行±10oC范圍內(nèi)的調(diào)整。調(diào)整時要求小溫區(qū)1-5中的溫度保持一致，小溫區(qū)8-9中的溫度保持一致，小溫區(qū)10-11中的溫度保持25oC。傳送帶的過爐速度調(diào)節(jié)范圍為65~100 cm/min。

在回焊爐電路板焊接生產(chǎn)中，爐溫曲線應(yīng)滿足一定的要求，稱為制程界限（見表1）。詳情看官網(wǎng)題目數(shù)據(jù)。

請你們團隊回答下列問題：

問題1 請對焊接區(qū)域的溫度變化規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型。假設(shè)傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為173oC（小溫區(qū)1-5）、198oC（小溫區(qū)6）、230oC（小溫區(qū)7）和257oC（小溫區(qū)8~9），請給出焊接區(qū)域中心的溫度變化情況，列出小溫區(qū)3、6、7中點及小溫區(qū)8結(jié)束處焊接區(qū)域中心的溫度，畫出相應(yīng)的爐溫曲線，并將每隔0.5 s焊接區(qū)域中心的溫度存放在提供的result.csv中。

問題2 假設(shè)各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為182oC（小溫區(qū)1-5）、203oC（小溫區(qū)6）、237oC（小溫區(qū)7）、254oC（小溫區(qū)8~9），請確定允許的最大傳送帶過爐速度。

問題3 在焊接過程中，焊接區(qū)域中心的溫度超過217oC的時間不宜過長，峰值溫度也不宜過高。理想的爐溫曲線應(yīng)使超過217oC到峰值溫度所覆蓋的面積（圖2中陰影部分）最小。請確定在此要求下的最優(yōu)爐溫曲線，以及各溫區(qū)的設(shè)定溫度和傳送帶的過爐速度，并給出相應(yīng)的面積。

問題4 在焊接過程中，除滿足制程界限外，還希望以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217oC的爐溫曲線應(yīng)盡量對稱（參見圖2）。請結(jié)合問題3，進一步給出最優(yōu)爐溫曲線，以及各溫區(qū)設(shè)定的溫度及傳送帶過爐速度，并給出相應(yīng)的指標(biāo)值。

分析

拿到題目首先分析得知此類型屬于熱傳導(dǎo)題目（即PDE類型)。給定的數(shù)據(jù)有：傳送帶速度、已知回流焊設(shè)定溫度后的一次測試數(shù)據(jù)，回流焊結(jié)構(gòu)(各個溫區(qū)的長度)。其實拿到題目前就要將這些變量關(guān)系弄明白，是設(shè)定好傳送帶速度、各個溫區(qū)的溫度后，印刷版的受熱情況也就確定、爐溫曲線就確定了，因此，核心就是找到變量對應(yīng)的關(guān)系：
傳送帶速度+各個溫區(qū)的溫度------ $^f$ -------->爐溫曲線
而其中 $f$ 是由于回焊爐內(nèi)的熱傳導(dǎo)參數(shù)確定的模型(這個參數(shù)我們也是不知道的)

這樣子題目就清晰多啦！
第一問其實說白了就是根據(jù)最小二乘的思想進行擬合，在先驗數(shù)據(jù)測試數(shù)據(jù)下優(yōu)化回焊爐內(nèi)的熱傳導(dǎo)參數(shù)，來確定模型，也就是確定 $f$ ，從而可以在問題一中給定的傳送帶速度+各個溫區(qū)的設(shè)定溫度下，去計算整個受熱狀態(tài)，這樣小溫區(qū)3、6、7中點及小溫區(qū)8結(jié)束處焊接區(qū)域中心的溫度，相應(yīng)的爐溫曲線都出來啦！！

數(shù)學(xué)模型

問題一

最小化數(shù)據(jù)誤差:
$(hcm,D,λ)=arg?hc,D,λmin?∑i=1N[T(d2,ti;hc,D,λ)?T?(ti)]2,m=1,2,3.(h_{cm},D,\lambda)=\mathop{\arg}\limits_{h_{c},D,\lambda}\min\sum_{i=1}^{N}[T(\fracze8trgl8bvbq{2},t_{i};h_{c},D,\lambda)-T^{\ast}(t_{i})]^{2},m=1,2,3.$
熱力學(xué)控制方程：
$?u(y,t)?t∣y∈(0,d)=D?2u(y,t)?y2∣y∈(0,d).\frac{\partial u(y,t)}{\partial t}|_{y\in(0,d)}=D\frac{\partial^{2}u(y,t)}{\partial y^{2}}|_{y\in(0,d)}.$
這個方程是熱傳導(dǎo)方程的核心，它屬于拋物型PDE，利用傅里葉熱傳導(dǎo)定律和能量守恒推出來的熱傳導(dǎo)方程。
第三類邊界條件
${?λ?u(y,t)?y∣y=d=hcm(u(d,t)?Tqi.)?λ?u(y,t)?y∣y=0=hcm(Tqi?u(0,t)).\begin{cases}-\lambda \frac{\partial u\left( y,t \right)}{\partial y}|_{y=d}=h_{cm}\left( u\left( d,t \right) -T_{qi}. \right)\\ -\lambda \frac{\partial u\left( y,t \right)}{\partial y}|_{y=0}=h_{cm}\left(T_{qi} -u\left( 0,t \right) \right).\\ \end{cases}$
利用熱對流密度的定義推出來的，作為邊界條件。
初值條件
$u(y,0)∣y∈(0,d)=Tori.u(y,0)|_{y\in(0,d)}=T_{ori}.$
初始溫度設(shè)定好，也就是印刷版剛進入回流焊區(qū)域時的溫度。

有了PDE方程和初邊值條件，就可以求解啦！！！如有限差分、有限元、有限體積等等，一般我們采用有限差分法，相對簡單：

有限差分

先對熱傳導(dǎo)方程進行離散化，主要是有限差分格式的選取，方法比較多，自圓其說即可，這里提供自適應(yīng)的差分格式：
$ujn?ujn?1τ?a[θuj+1n?2ujn+uj?1nh2+(1?θ)uj+1n?1?2ujn?1+uj?1n?1h2]=0.\frac{u_{j}^{n}-u_{j}^{n-1}}{\tau}-a\left[ \theta \frac{u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^2}+\left( 1-\theta \right) \frac{u_{j+1}^{n-1}-2u_{j}^{n-1}+u_{j-1}^{n-1}}{h^2} \right] =0.$
引入 $θ\theta$ 后，也就是將前后差分結(jié)合。

對其進行泰勒展開得到截斷誤差即為：
$ΔE=a(12?θ)τ[?3u?y2?t]jn+O(τ2+h2).\Delta E=a\left( \frac{1}{2}-\theta \right) \tau \left[ \frac{\partial ^3u}{\partial y^2\partial t} \right] _{j}^{n}+O\left( \tau ^2+h^2 \right).$
令 $θ=12\theta=\frac{1}{2}$ 則得到更高精度。

追趕法

對離散化的線性方程組進行LU分解，根據(jù)系數(shù)矩陣特點，采用追趕法求解，這里講一講追趕法，追趕法是剛好適用于離散化后的線性方程組的形式，其分為兩部分————“追”和“趕”，對于線性方程組：
$(b1c1a2b2c2???aibici???an?1bn?1cn?1anbn)(x1x2?xi?xn)=(d1d2?di?dn)\left(\begin{array}{ccccccc} b_{1} & c_{1} & & & & & \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & & \\ & & a_{i} & b_{i} & c_{i} & & \\ & & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1} \\ & & & & & a_{n} & b_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{i} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} d_{1} \\ d_{2} \\ \vdots \\ d_{i} \\ \vdots \\ d_{n} \end{array}\right)$
其中系數(shù)矩陣 $A$ 滿足對角占優(yōu)的三對角線矩陣則可用，即滿足：
(1) $∣b1∣>∣c1∣>0;\left|b_{1}\right|>\left|c_{1}\right|>0 ;$
(2) $∣bi∣?∣ai∣+∣ci∣,ai,ci≠0,i=2,3,?,n?1\left|b_{i}\right| \geqslant\left|a_{i}\right|+\left|c_{i}\right|, a_{i}, c_{i} \neq 0, i=2,3, \cdots, n-1$
(3) $∣bn∣>∣an∣>0\left|b_{n}\right|>\left|a_{n}\right|>0$
通過高斯消元后得到：
$(1u11u2??1un?11)(x1x2?xn?1xn)=(q1q2?qn?1qn)\left(\begin{array}{cccccc} 1 & u_{1} & & & \\ & 1 & u_{2} & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & u_{n-1} \\ & & & & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} q_{1} \\ q_{2} \\ \vdots \\ q_{n-1} \\ q_{n} \end{array}\right)$
其中系數(shù)為：
${u1=c1/b1q1=d1/b1ui=ci/(bi?ui?1ai),i=2,3,?,n?1qi=(di?qi?1ai)/(bi?ui?1ai),i=2,3,?,n\left\{\begin{array}{l} u_{1}=c_{1} / b_{1} \\ q_{1}=d_{1} / b_{1} \\ u_{i}=c_{i} /\left(b_{i}-u_{i-1} a_{i}\right), \quad i=2,3, \cdots, n-1 \\ q_{i}=\left(d_{i}-q_{i-1} a_{i}\right) /\left(b_{i}-u_{i-1} a_{i}\right), \quad i=2,3, \cdots, n \end{array}\right.$
此時就可以回帶啦！先算 $x_n$ 再算 $x_{n-1}$ 一步步的解出 $x$ 。回帶方程為：
${xn=qnxi=qi?uixi+1,i=n?1,n?2,?,2,1\left\{\begin{array}{l} x_{n}=q_{n} \\ x_{i}=q_{i}-u_{i} x_{i+1}, \quad i=n-1, n-2, \cdots, 2,1 \end{array}\right.$

最終得到溫度的分布圖：

問題二

解決了問題一，那問題二就so easy啦！因為問題二只需要優(yōu)化一個參數(shù)，也就是速度的最大值，此時加上制程界限的約束，放入問題一已經(jīng)得到的熱力學(xué)模型即可，這里貼一下其中的一種方案：

問題三

問題三其實就是通過調(diào)整各溫區(qū)的設(shè)定溫度和傳送帶的過爐速度，在滿足制程界限的條件下，使陰影部分面積最小。這里有兩個問題，怎么去根據(jù)離散數(shù)據(jù)求面積，第二，如何去優(yōu)化這個最小。方法很大，對于面積問題，我們可以用數(shù)值積分的方式，可以采用辛普森等等；對于優(yōu)化算法，可以用啟發(fā)式的智能算法，或者將問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化等等，這是建模都會的。

問題四

為了衡量對稱性可以從兩個方面去衡量，第一是從數(shù)據(jù)的冗余角度去衡量，也即：
$min?Υ=∑i=1nΔd2n\min\varUpsilon=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{\varDelta d^2}}{n}}$
第二就是一般人都會想的面積之差：
$min?Sdark=Sn?Tk×(tO?t3)\min S_{dark}=S_{n}-T_{k}\times(t_{O}-t_{3})$

總結(jié)

問題的關(guān)鍵就是去求解熱傳導(dǎo)方程，以及去優(yōu)化整個模型的 $f$ ，這是本題的重點。想要程序和論文的同學(xué)可以私聊我(有償)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的详解2020数学建模国赛A题炉温曲线的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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