最值定理和介值定理共有前提：函數(shù) $f(x)$ 在閉區(qū)間 $[a,b]$ 上是連續(xù)函數(shù)。這個(gè)前提下面不再贅述。

1. 最值定理

只要前提滿足，則必存在實(shí)數(shù) $m$ 和 $M$，使得

$$m leq f(x) leq M$$

$m$ 為函數(shù)在區(qū)間上的最小值，$M$ 為最大值。換句話說：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是一個(gè)有界函數(shù)，必定存在最大值和最小值。

2. 介值定理

函數(shù) $f(x)$ 在區(qū)間的端點(diǎn)取函數(shù)值 $f(a)=A,f(b)=B$，且 $A
eq B$，那么當(dāng) $C in (A,B)$ 時(shí)，至少存在一點(diǎn)$xi in (a,b)$，使

$$f(xi) = C$$

為什么需要指明 $A
eq B$ 呢？因?yàn)榧偃?$A = B$，那這個(gè)點(diǎn)在開區(qū)間內(nèi)不一定存在，可以這樣改：

當(dāng) $C in [A,B]$ 時(shí)，至少存在一點(diǎn)$xi in [a,b]$，使

$$f(xi) = C$$

注：第一種定義明確了 $xi$ 會(huì)在區(qū)間內(nèi)部，而第二種定義 $xi$ 可能會(huì)出現(xiàn)在區(qū)間端點(diǎn)。

將介值定理和最值定理結(jié)合起來：

1）對(duì)閉區(qū)間先使用最值定理，因?yàn)殚]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有界并且能取得最大值和最小值。

2）再對(duì)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)所在的子閉區(qū)間使用介值定理，即當(dāng)$m leq C leq M$ 時(shí)，該子閉區(qū)間上至少存在一點(diǎn) $xi$，使得 $f(xi) = C$。

既然子區(qū)間有這個(gè)性質(zhì)，那擴(kuò)展到整個(gè)區(qū)間，就得到一個(gè)關(guān)于介值定理的推論：

閉區(qū)間 $[a,b]$ 上連續(xù)的函數(shù) $f(x)$，函數(shù)最大值 $M$，最小值 $m$，則當(dāng) $C$ 滿足$m leq C leq M$，在閉區(qū)間上必存在一點(diǎn) $xi$ 滿足

$$f(xi) = C,xi in [a,b]$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的介值定理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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