程序猿遇上量子計算 - 從0到1入門量子計算

量子力學需要復數

歷史起源-薛定諤方程

量子力學的發展于20世紀，量子計算則興起于21世紀。

1900年，普朗克在研究黑體輻射的實驗，分析電磁輻射能量是一份一份的，離散而不可再分的，提出的量子化的概念，這也是量子概念的初見世面。1905年愛因斯坦在研究光電效應時，進一步闡述了“量子化”，提出光電效應數學公式，光析出每個電子的動能Ek，Ek可表示為：Ek=hv-Φ。v-頻率，h-普朗克常數，Φ-功函數。

1925年，一戰已經結束，歐洲大陸恢復了和平，理論學術重新活躍，微觀尺度粒子特性一直是科學家們研究的重點，包括“量子”。瑞士蘇黎世，奧地利理論物理學家薛定諤在物理學術研討會中精彩闡述了波粒二象性，物理學家-德拜指出：“既然粒子具有波動性，應該有一種能夠正確描述這種量子性質的波動方程”。這給了薛定諤極大的啟發與思考，關于定義粒子的波動方程成為薛定諤新的研究方向。

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1926年，薛定諤參考德布羅意論文的相對論性理論，推導出一個相對論性波動方程，他嘗試將方程應用于氫原子，計算出束縛電子的波函數，計算結果與物理實驗測量的結果一致，達到精度要求。薛定諤發表了論文，正式提出薛定諤波動方程。

這篇論文給以量子學術界的地震，將其帶入下一個時代。愛因斯坦稱贊“這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才。”

薛定諤方程是描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律，是含時方程，時間作為變量。

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細心的讀者會發現薛定諤方程是二階線性偏微分方程，函數值是復數的，現今量子力學中也習慣用復數來表示，道理何在？

復數必要性的證明

復數包括實數和虛數，實數包括有理數和無理數，定義是數軸上一一對應的數值；虛數則是偶數次方是復數的數，例如(a+b*i)將偶指數冪是負數的數定義為純虛數。

1926年薛定諤建立薛定諤波動方程時，寫下二階偏微分方程，將復數i引入了量子力學的世界。后面，量子領域的科學家久久思索，復數/虛數真的是量子力學中必要的嗎，能不能構建實數方程，在可理解性上更佳，計算速度上更好。薛定諤、馮諾依曼、厄恩斯特·斯蒂克爾堡等科學家均嘗試構建實數的量子力學，一度認為復數在量子力學里只是方便計算的手段，而不是必需的存在，似乎我們完全可以只用實數去描述量子的世界。

歐拉公式：

2021年1月，奧地利、西班牙和瑞士等歐洲國家的科研團隊提出 一種利用確定性糾纏交換驗證復數必要性的貝爾不等式類型的檢驗方法，在實驗上證明復數在量子力學中的必要性。

2022年，中國科學技術大學潘建偉、陸朝陽團隊和南方科技大學范靖云團隊獨立地實驗排除了實數形式的標準量子力學。潘建偉院士團隊進行了完整貝爾態測量，嚴格證明了復數的必要性。

復數的概念 形式

定義

量子力學需要復數，歐洲科學家利用確定性糾纏交換，驗證復數必要性，中國潘建偉院士亦進行了完整貝爾態的測量。

復數，包括實數和虛數，屬于數域的擴充；虛數的提出是因為復數開偶次方根沒有意義，為了閉環負數的開根，例如 i2= -1，則提出了虛數的概念。

代數定義

學術上將 z=a+bi (a,b為實數，i為虛數) 稱之為復數，其中a是實部，b是虛部。

當 a=0，b=! 0時，z=bi，則為純虛數。

當 a!=0，b=0時，z=a，則為實數。

當 a!=0，b!=0時，z=a+bi，有實部和虛部，則為復數。

幾何表示

對于虛數 z=a+bi，在實數幾何坐標中無法表示，因此，引入復平面，即復數幾何坐標軸，橫軸是實數，縱軸是虛數。

z = a+bi 即可在幾何坐標中表示

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復數的三角函數表示

已知z=a+bi,? 是z和x實數軸的夾角。

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復數的模

把復數實部和虛部的平方和開算術平方根則稱之為 復數的模，記住|z|

常用公式

虛數的平方等于-1

i的n次冪

i的n次冪是周期函數，周期為4

歐拉公式

定義

數學世界的海洋中，著名公式燦若星河，其中歐拉公式則是最為燦爛的珍珠，他把三角函數和復數聯系在一起。數學中有很多歐拉命名的常數、公式和定理，得名于瑞士數學家萊昂哈德·歐拉 。

e是自然常數，i是虛數單位，sin是正旋函數，cos是余弦函數

歐拉恒等式中包括了圓周率，自然常數e，虛數單位i，重要實數1，0

這個恒等式也叫做歐拉公式，它將數學里最重要的幾個數字聯系到了一起，數學家們評價它是“上帝創造的公式”。

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練手習題

題1

題2

題3

文獻索引

[1] The Principles of Quantum Mechanics P.M.Dirac

[2] 物理學修訂版 Lett. 129， 140401 （2022） - 嚴格局部條件下實值量子力學的實驗反駁 (aps.org)

[3] 簡明量子力學 吳飆

總結

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