卐 4-3D图形的数学
目錄
- Vectors（向量）
- Common Vector Operators（常用的向量操作）
- Dot Product（點(diǎn)積）
- Cross Product（叉積）
- Length of a Vector（向量的長(zhǎng)度）
- Reflection and Refraction（反射和折射）
- Matrices（矩陣）
- Matrix Construction and Operators（矩陣的構(gòu)建與操作）
- Understanding Transformations（理解變換）
- Coordinate Spaces in OpenGL（OpenGL中的坐標(biāo)空間）
- Object Coordinates（對(duì)象坐標(biāo)系）
- World Coordinates（世界坐標(biāo)系）
- View Coordinates（視圖坐標(biāo)系）
- Clip and Normalized Device Space（裁剪與歸一化設(shè)備空間）
- Coordinate Transformations（坐標(biāo)轉(zhuǎn)換）
- The Identity Matrix（單位矩陣）
- The Translation Matrix（平移矩陣）
- The Rotation Matrix（旋轉(zhuǎn)矩陣）
- Euler Angles（歐拉角）
- The Scaling Matrix（縮放矩陣）
- Concatenating Transformations（串聯(lián)變換）
- Quaternions（四元數(shù)）
- The Model-View Transform（模型-視圖變換）
- The Lookat Matrix（Lookat矩陣）
- Projection Transformations（投影變換）
- Perspective Matrices（透視矩陣）
- Orthographic Matrices（正交矩陣）
- Interpolation,Lines,Curves,and Splines（插值、直線、曲線和樣條曲線）
- Curves（曲線）
- Splines（樣條曲線）
- Summary（總結(jié)）
Vectors（向量）
一個(gè)xyz三元組可以用一個(gè)向量來(lái)表示（事實(shí)上，對(duì)于數(shù)學(xué)上純粹的心來(lái)說(shuō)，一個(gè)位置實(shí)際上也是一個(gè)向量）。當(dāng)涉及到操作三維幾何體時(shí)，向量可能是需要理解的最重要的基礎(chǔ)概念。這三個(gè)值（x、y和z）組合表示兩個(gè)重要值：方向和幅值。
向量是OpenGL操作的基礎(chǔ)，因此各種大小的向量都是GLSL中的一級(jí)類(lèi)型，并被命名為vec3和vec4（分別表示三元素向量和四元素向量）。向量可以表示的第二個(gè)量是大小。向量的大小是向量的長(zhǎng)度。對(duì)于x軸向量(1, 0, 0)，向量的長(zhǎng)度是1。長(zhǎng)度為1的向量稱(chēng)為單位向量。如果一個(gè)向量不是一個(gè)單位向量，我們想把它縮放成一個(gè)，我們稱(chēng)之為歸一化。對(duì)向量進(jìn)行歸一化會(huì)對(duì)其進(jìn)行縮放，使其長(zhǎng)度變?yōu)?，然后稱(chēng)該向量為歸一化向量。當(dāng)我們只想表示一個(gè)方向而不是一個(gè)大小時(shí)，單位向量很重要。
此外，如果向量長(zhǎng)度出現(xiàn)在我們將要使用的方程中，當(dāng)這些長(zhǎng)度為1時(shí)，它們會(huì)變得簡(jiǎn)單得多！幅值也很重要；例如，它可以告訴我們?cè)诮o定的方向上需要走多遠(yuǎn)，我們需要離鱷魚(yú)多遠(yuǎn)。向量（和矩陣）是3D圖形中非常重要的概念，它們是GLSL語(yǔ)言（編寫(xiě)著色器的語(yǔ)言）中的頭等公民。然而，在C++語(yǔ)言中，情況并非如此。為了允許你在C++程序中使用它們，vmath庫(kù)，它包含可以表示類(lèi)似于它們的GLSL對(duì)應(yīng)的向量和矩陣的類(lèi)。例如，vmath::vec3可以表示三分量浮點(diǎn)向量(x, y, z)，vmath::vec4可以表示四分量浮點(diǎn)向量(x, y, z, w)，依此類(lèi)推。添加w坐標(biāo)以使向量齊次(homogeneous)，但通常設(shè)置為1.0。稍后，x、y和z值可能會(huì)除以w，當(dāng)它為1.0時(shí)，實(shí)際上只剩下xyz值。vmath中的類(lèi)實(shí)際上是具有類(lèi)型定義的模板類(lèi)，用于表示常見(jiàn)類(lèi)型，例如單精度和雙精度浮點(diǎn)值以及有符號(hào)和無(wú)符號(hào)整數(shù)變量。
vmath::vec3與vmath::vec4的定義如下：
typedef Tvec3<float> vec3; typedef Tvec4<float> vec4;定義一個(gè)三元素向量簡(jiǎn)單如下：
vmath::vec3 vVector;所有vmath類(lèi)都定義了大量構(gòu)造函數(shù)和復(fù)制運(yùn)算符，這意味著您可以按如下方式聲明和初始化向量：
vec3 vmath::vVertex1(0.0f, 0.0f, 1.0f); vec4 vmath::vVertex2 = vec4(1.0f, 0.0f, 1.0f, 1.0f); vec4 vmath::vVertex3(vVertex1, 1.0f);vec3 vmath::vVerts[] = { vmath::vec3(-0.5f, 0.0f, 0.0f),vmath::vec3(0.5f, 0.0f, 0.0f),vmath::vec3(0.0f, 0.5f, 0.0f) };vmath庫(kù)還包括許多與數(shù)學(xué)相關(guān)的函數(shù)，并覆蓋其類(lèi)上的大多數(shù)運(yùn)算符，以允許向量和矩陣進(jìn)行加、減、乘、轉(zhuǎn)置等操作。
在這里我們需要小心，不要過(guò)分地掩飾第四個(gè)w分量。大多數(shù)情況下，當(dāng)您使用頂點(diǎn)位置指定幾何體時(shí)，只需存儲(chǔ)一個(gè)三分量頂點(diǎn)并將其發(fā)送到OpenGL即可。對(duì)于許多方向向量，例如曲面法線（垂直于用于照明計(jì)算的曲面的向量），三分量向量就足夠了。但是，我們將很快深入研究矩陣世界，要變換3D頂點(diǎn)，必須將其乘以4×4變換矩陣。規(guī)則是你必須將一個(gè)四分量向量乘以一個(gè)4×4矩陣；如果你嘗試使用一個(gè)4×4矩陣的三分量向量，鱷魚(yú)會(huì)吃掉你！更多關(guān)于這一切意味著什么。本質(zhì)上，如果你要對(duì)向量做你自己的矩陣運(yùn)算，那么在很多情況下你可能需要四個(gè)分量向量。
Common Vector Operators（常用的向量操作）
向量的行為與加法、減法、一元求反等運(yùn)算的預(yù)期相同。這些運(yùn)算符執(zhí)行每個(gè)分量的計(jì)算，并生成與其輸入大小相同的向量。vmath向量類(lèi)重載加法、減法和一元求反運(yùn)算符以及其他幾個(gè)運(yùn)算符，以提供此類(lèi)功能。
vmath::vec3 a(1.0f, 2.0f, 3.0f); vmath::vec3 b(4.0f, 5.0f, 6.0f); vmath::vec3 c;c = a + b; c = a - b; c += b; c = -c;然而，在下面的小節(jié)中，從數(shù)學(xué)角度解釋了更多關(guān)于向量的操作。它們?cè)趘math庫(kù)中也有實(shí)現(xiàn)，下面將對(duì)其進(jìn)行概述。
Dot Product（點(diǎn)積）
設(shè)有兩向量V1(x1,y1,z1)和V2(x2,y2,z2)，則有：
V1●V2 = |V1||V2|cosθ = x1x2 + y1y2 + z1z2
其中，θ是向量V1與V2的夾角。
一對(duì)單位向量之間的點(diǎn)積是一個(gè)值（介于?1.0和+1.0），表示它們之間夾角的余弦。一個(gè)稍微高級(jí)一點(diǎn)的函數(shù)vmath::angle實(shí)際上返回這個(gè)角度（弧度）。
float angle(const vmath::vec3& u, const vmath::vec3& v);Cross Product（叉積）
V1 × V2 = |V1||V2|sinθ×n = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2)
其中，θ是向量V1與V2的夾角；n是一個(gè)單位向量，它的方向由V1和V2按右手定則產(chǎn)生（如下圖中V3）。
叉積的應(yīng)用很多，從尋找三角形的曲面法線到構(gòu)造變換矩陣。
Length of a Vector（向量的長(zhǎng)度）
設(shè)有向量V(x, y, z)，則它的長(zhǎng)度為√(x2 + y2 + z2)。它的長(zhǎng)度也等于√(V●V)。
vmath庫(kù)中也包含計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)度的函數(shù)：
Reflection and Refraction（反射和折射）
上圖中，入射光線Rin，反射光線Rreflect，折射光線Rrefract。其中， η是折射因子。
反射光計(jì)算公式：Rreflect = Rin - (2N●Rin)N
折射光計(jì)算公式：
k = 1 - η2(1 - (N●R)2)
當(dāng)k<0時(shí)，Rrefract = 0;
當(dāng)k>=0時(shí)，Rrefract = ηR - (η(N●R) + √k)N
其中，R和N都是單位長(zhǎng)度的向量。
vmath庫(kù)有兩個(gè)函數(shù)完成上述方程式，它們的源代碼如下：
template <typename T, const int len> static inline vecN<T,len> reflect(const vecN<T,len>& I, const vecN<T,len>& N) {return I - 2 * dot(N, I) * N; }template <typename T, const int len> static inline vecN<T,len> refract(const vecN<T,len>& I, const vecN<T,S>& N, T eta) {T d = dot(N, I);T k = T(1) - eta * eta * (T(1) - d * d);if (k < 0.0)return vecN<T,N>(0);elsereturn eta * I - (eta * d + sqrt(k)) * N; }Matrices（矩陣）
如果在空間中有一個(gè)點(diǎn)由x、y和z坐標(biāo)表示，并且如果圍繞某個(gè)任意點(diǎn)和方向旋轉(zhuǎn)若干度，則需要知道該點(diǎn)的位置，就使用矩陣。為什么？因?yàn)樾碌膞坐標(biāo)不僅取決于舊的x坐標(biāo)和其他旋轉(zhuǎn)參數(shù)，而且還取決于y和z坐標(biāo)是什么。變量和解之間的這種依賴關(guān)系正是矩陣擅長(zhǎng)解決的問(wèn)題。
我們可以把一些矩陣看作是列向量表。
矩陣可以相乘和相加，但也可以與向量和標(biāo)量值相乘。將一個(gè)點(diǎn)（由向量表示）乘以一個(gè)矩陣（表示變換）得到一個(gè)新的變換點(diǎn)（另一個(gè)向量）。矩陣變換實(shí)際上不太難理解，對(duì)矩陣變換的理解是許多3D任務(wù)的基礎(chǔ)。
vmath::mat2 m1;// 2×2 matrix vmath::mat3 m2;// 3×3 matrix vmath::mat4 m3;// 4×4 matrix與GLSL中一樣，vmath中的矩陣類(lèi)定義了常見(jiàn)的運(yùn)算符，如加法、減法、一元求反、乘法和除法，以及構(gòu)造函數(shù)和關(guān)系運(yùn)算符。同樣，vmath中的矩陣類(lèi)是使用模板構(gòu)建的，包括單精度和雙精度浮點(diǎn)以及有符號(hào)和無(wú)符號(hào)整數(shù)矩陣類(lèi)型的類(lèi)型定義。
Matrix Construction and Operators（矩陣的構(gòu)建與操作）
對(duì)于一個(gè)4×4矩陣，OpenGL不是用一個(gè)二維數(shù)組存儲(chǔ)矩陣的浮點(diǎn)值，而是用一個(gè)包含16個(gè)元素的一維數(shù)組表示。默認(rèn)OpenGL是以列為主(column-major or column-primary)布局的。也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)4×4矩陣，前4個(gè)元素代表矩陣的第一列，接下來(lái)的4個(gè)元素代表矩陣的第二列，以此類(lèi)推。
GLfloat matrix[16];// Nice OpenGL-friendly matrix GLfloat matrix[4][4];// Not as convenient for OpenGL programmersOpenGL可以使用第二種變體，但第一種變體更有效。
下面的數(shù)組代表上圖的矩陣：
事實(shí)上，vmath庫(kù)在內(nèi)部將矩陣表示為它自己的向量類(lèi)的數(shù)組，每個(gè)向量包含一列矩陣。
假設(shè)有矩陣A和B，以及向量V，則有：
A·(B·V) = (A·B)·V （矩陣乘法滿足結(jié)合律）
我們可以用我們喜歡的任何方式將變換序列組合在一起，因?yàn)榫仃嚦朔ㄊ窍嗦?lián)的，但是矩陣在乘法中出現(xiàn)的順序很重要，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律。
旋轉(zhuǎn)與平移執(zhí)行的先后順序?qū)ξ矬w的影響：
圖(a)中正方形先繞z軸相對(duì)于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角，然后沿著旋轉(zhuǎn)后的新x軸(即x1軸)平移，圖(b)中相同的正方形先沿x軸平移，然后繞z軸相對(duì)于新原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角。正方形的最終位置不同是因?yàn)?strong>每次變換都是相對(duì)于最后一次執(zhí)行的變換執(zhí)行的。在圖(a)中，正方形首先相對(duì)于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。在圖(b)中，正方形平移后，圍繞新平移的原點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。
Understanding Transformations（理解變換）
仔細(xì)想想，大多數(shù)3D圖形都不是真正的3D。我們使用3D概念和術(shù)語(yǔ)來(lái)描述事物的外觀；然后這些3D數(shù)據(jù)被“擠壓”到2D電腦屏幕上。我們稱(chēng)之為將三維數(shù)據(jù)壓縮成二維數(shù)據(jù)投影的過(guò)程。每當(dāng)我們想要描述頂點(diǎn)處理期間發(fā)生的變換類(lèi)型（正交(orthographic)或透視(perspective)）時(shí)，我們都會(huì)提到投影(projection)，但投影只是OpenGL中發(fā)生的變換類(lèi)型之一。變換還允許旋轉(zhuǎn)對(duì)象；移動(dòng)它們；甚至拉伸、收縮和扭曲它們。
Coordinate Spaces in OpenGL（OpenGL中的坐標(biāo)空間）
| Model space | Positions relative to a local origin.Also sometimes known as object space. |
| World space | Positions relative to a global origin(i.e.,their location within the world). |
| View space | Positions relative to the viewer.Also sometimes called camera or eye space. |
| Clip space | Positions of vertices after projection into a nonlinear homogeneous coordinate. |
| Normalized device coordinate(NDC) space | Vertex coordinates are said to be in NDC after their clip space coordinates have been divided by their own w component. |
| Window space | Positions of vertices in pixels, relative to the origin of the window. |
Object Coordinates（對(duì)象坐標(biāo)系）
大多數(shù)頂點(diǎn)數(shù)據(jù)通常在對(duì)象空間(object space)（也稱(chēng)為模型空間(model space)）中開(kāi)始使用。在對(duì)象空間中，頂點(diǎn)的位置相對(duì)于局部原點(diǎn)進(jìn)行解釋。考慮一個(gè)宇宙飛船模型。模型的起源可能會(huì)在某個(gè)合乎邏輯的地方，比如飛行器的鼻尖、重心或飛行員可能坐的位置。在3D建模程序中，返回原點(diǎn)并充分縮小應(yīng)顯示整個(gè)宇宙飛船。模型的原點(diǎn)通常是可以旋轉(zhuǎn)模型以將其放置到新方向的點(diǎn)。將原點(diǎn)放置在遠(yuǎn)離模型的位置是沒(méi)有意義的，因?yàn)閲@該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)對(duì)象將應(yīng)用顯著的平移和旋轉(zhuǎn)。
World Coordinates（世界坐標(biāo)系）
世界空間，它相對(duì)于固定的全局原點(diǎn)存儲(chǔ)坐標(biāo)的位置。繼續(xù)宇宙飛船的類(lèi)比，這可能是一個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)或其他固定物體的中心，如附近的行星。一旦進(jìn)入世界空間，所有對(duì)象都存在于一個(gè)公共框架中。通常，這是執(zhí)行照明和物理計(jì)算的空間。
View Coordinates（視圖坐標(biāo)系）
本章中的一個(gè)重要概念是視圖坐標(biāo)，通常也稱(chēng)為相機(jī)(camera)或眼睛(eye)坐標(biāo)。視圖坐標(biāo)相對(duì)于觀察者的位置（因此稱(chēng)為“相機(jī)”和“眼睛”），而不考慮可能發(fā)生的任何變換；你可以將它們視為“絕對(duì)”坐標(biāo)。因此，眼睛坐標(biāo)表示一個(gè)虛擬的固定坐標(biāo)系，用作公共參考系。下圖顯示了兩個(gè)視點(diǎn)的視圖坐標(biāo)系。在左側(cè)，視圖坐標(biāo)表示為場(chǎng)景的觀察者所看到的坐標(biāo)（即，垂直于監(jiān)視器）。在右側(cè)，視圖坐標(biāo)系稍微旋轉(zhuǎn)，以便更好地查看z軸的關(guān)系。從觀察者的角度來(lái)看，正x和y分別指向右側(cè)和上方。正z值從原點(diǎn)向用戶移動(dòng)，負(fù)z值從視點(diǎn)向屏幕移動(dòng)。屏幕位于z坐標(biāo)0處。
使用OpenGL在3D空間繪制時(shí)，使用笛卡爾坐標(biāo)系。在沒(méi)有任何變換的情況下，使用剛才描述的眼睛坐標(biāo)系(eye coordinate system)。
Clip and Normalized Device Space（裁剪與歸一化設(shè)備空間）
裁剪空間是OpenGL執(zhí)行裁剪的坐標(biāo)空間。當(dāng)頂點(diǎn)著色器寫(xiě)入gl_Position時(shí)，該坐標(biāo)被視為在裁剪空間(clip space)中。這始終是一個(gè)四維齊次坐標(biāo)(four-dimensional homogenous coordinate)。退出剪輯空間后，頂點(diǎn)的所有四個(gè)組件將被w分量相除。顯然，在此之后，w等于1.0。如果在此除法之前w不是1.0，則x、y和z分量將通過(guò)w的倒數(shù)進(jìn)行有效縮放。這允許透視縮短和投影等效果。將除法結(jié)果視為在歸一化設(shè)備坐標(biāo)空間（NDC空間）中。顯然，如果裁剪空間坐標(biāo)的結(jié)果w分量為1.0，則裁剪空間和NDC空間將變得相同。
Coordinate Transformations（坐標(biāo)轉(zhuǎn)換）
如前所述，通過(guò)將坐標(biāo)的向量表示乘以變換矩陣，可以將坐標(biāo)從一個(gè)空間移動(dòng)到另一個(gè)空間。變換用于操縱模型及其內(nèi)的特定對(duì)象。這些變換將對(duì)象進(jìn)行移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)和縮放。上圖說(shuō)明了將應(yīng)用于對(duì)象的三種最常見(jiàn)的建模轉(zhuǎn)換。圖(a)顯示了平移，其中對(duì)象沿給定軸移動(dòng)。圖(b)顯示了一個(gè)旋轉(zhuǎn)，一個(gè)對(duì)象圍繞其中一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)。最后，圖?顯示了縮放的效果，對(duì)象的尺寸增加或減少了指定的量。縮放可以不均勻地進(jìn)行（不同的尺寸可以按不同的量進(jìn)行縮放），因此可以使用縮放來(lái)拉伸和收縮對(duì)象。
這些標(biāo)準(zhǔn)變換中的每一個(gè)都可以表示為一個(gè)矩陣，你可以通過(guò)該矩陣乘以頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)計(jì)算變換后的位置。接下來(lái)小節(jié)討論這些矩陣的構(gòu)造，包括數(shù)學(xué)構(gòu)造和使用vmath庫(kù)中提供的函數(shù)。
The Identity Matrix（單位矩陣）
單位矩陣除斜對(duì)角線為1其余都為0。所有的單位矩陣都是平方的，如4×4。將頂點(diǎn)乘以單位矩陣等于將其乘以1。所有單位矩陣都是它本身的轉(zhuǎn)置矩陣。
可以這樣構(gòu)建單位矩陣：
// Using a raw array: GLfloat m1[] = { 1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, // X Column0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f, // Y Column0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f, // Z Column0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f };// W Column // Or using the vmath::mat4 constructor: vmath::mat4 m2 { vmath::vec4(1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f), // X Columnvmath::vec4(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f), // Y Columnvmath::vec4(0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f), // Z Columnvmath::vec4(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f) };// W Column // use vmath library functions vmath::mat2 m2 = vmath::mat2::identity(); vmath::mat3 m3 = vmath::mat3::identity(); vmath::mat4 m4 = vmath::mat4::identity();The Translation Matrix（平移矩陣）
實(shí)際上，位置向量幾乎總是使用四個(gè)分量編碼，其中w分量為1.0，而方向向量要么簡(jiǎn)單地使用三個(gè)分量編碼，要么使用四個(gè)分量編碼，其中w為0。因此，將四分量方向向量乘以平移矩陣根本不會(huì)改變它。
vmath庫(kù)包含兩個(gè)函數(shù)，它們將使用三個(gè)單獨(dú)的組件或三維向量為您構(gòu)建4×4轉(zhuǎn)換矩陣：
The Rotation Matrix（旋轉(zhuǎn)矩陣）
可以將這三個(gè)矩陣相乘生成一個(gè)復(fù)合變換矩陣，然后在單個(gè)矩陣-向量相乘運(yùn)算中圍繞三個(gè)軸中的每個(gè)軸旋轉(zhuǎn)給定的量。
注意angle的單位是度數(shù)而非弧度。此函數(shù)在內(nèi)部將度轉(zhuǎn)換為弧度，因?yàn)榕c計(jì)算機(jī)不同，許多程序員更喜歡用度來(lái)思考。
Euler Angles（歐拉角）
歐拉角是一組表示空間方向的三個(gè)角。每個(gè)角度表示圍繞定義幀的三個(gè)正交向量之一的旋轉(zhuǎn)（例如，x、y和z軸）。如前所述，矩陣變換的執(zhí)行順序很重要，因?yàn)橐圆煌捻樞驁?zhí)行某些變換（如旋轉(zhuǎn)）將產(chǎn)生不同的結(jié)果。這是由于矩陣乘法的非交換性質(zhì)(non-commutative nature)。
設(shè)定xyz-軸為參考系的參考軸。稱(chēng)xy-平面與XY-平面的相交為交點(diǎn)線，用英文字母（N）代表。zxz順規(guī)的歐拉角可以靜態(tài)地這樣定義：
α 是x-軸與交點(diǎn)線的夾角，β 是z-軸與Z-軸的夾角，γ 是交點(diǎn)線與X-軸的夾角。
繞X軸旋轉(zhuǎn)：
繞Y軸旋轉(zhuǎn)：
繞Z軸旋轉(zhuǎn)：
將方向表示為一組三個(gè)角度有一些優(yōu)點(diǎn)。例如，這種類(lèi)型的表示相當(dāng)直觀，如果你計(jì)劃將角度連接到用戶界面，這一點(diǎn)很重要。另一個(gè)好處是，插值角度、在每個(gè)點(diǎn)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣以及在最終動(dòng)畫(huà)中看到平滑一致的運(yùn)動(dòng)非常簡(jiǎn)單。
然而，歐拉角也有一個(gè)嚴(yán)重的陷阱——萬(wàn)向鎖(gimbal lock)。
當(dāng)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度使一個(gè)軸重新定向以與另一個(gè)軸對(duì)齊時(shí)，會(huì)發(fā)生萬(wàn)向節(jié)鎖定。任何圍繞兩個(gè)現(xiàn)在共線的軸的進(jìn)一步旋轉(zhuǎn)都將導(dǎo)致模型的相同變換，從而從系統(tǒng)中移除自由度。因此，歐拉角不適合串聯(lián)變換或累積旋轉(zhuǎn)。
為了避免這種情況，我們的vmath::rotate函數(shù)能夠獲取旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)軸。當(dāng)然，將三個(gè)旋轉(zhuǎn)疊加在一起（x、y和z軸各一個(gè)）可以在必要時(shí)使用歐拉角，但最好使用角度軸表示旋轉(zhuǎn)，或使用四元數(shù)表示變換并根據(jù)需要將其轉(zhuǎn)換為矩陣。
The Scaling Matrix（縮放矩陣）
縮放變換通過(guò)按指定的因子沿三個(gè)軸擴(kuò)展或收縮所有頂點(diǎn)來(lái)更改對(duì)象的大小。
例如，一個(gè)10×10×10立方體在x和z軸方向上綻放，如下圖：
Concatenating Transformations（串聯(lián)變換）
正如您所了解的，坐標(biāo)變換可以用矩陣表示，向量從一個(gè)空間到另一個(gè)空間的變換涉及一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣-向量乘運(yùn)算。乘以一系列矩陣可以應(yīng)用一系列變換。在每次矩陣-向量相乘之后，不必存儲(chǔ)中間向量。相反，首先將構(gòu)成一組相關(guān)變換的所有矩陣相乘，生成一個(gè)表示整個(gè)變換序列的矩陣是可能的，并且通常更可取。然后，可以使用該矩陣將向量直接從源坐標(biāo)空間轉(zhuǎn)換到目標(biāo)坐標(biāo)空間。記住，順序很重要。使用vmath或GLSL編寫(xiě)代碼時(shí)，應(yīng)始終將矩陣與向量相乘，并按倒序讀取變換序列。例如，考慮下面的代碼序列：
vmath::mat4 translation_matrix = vmath::translate(4.0f, 10.0f, -20.0f); vmath::mat4 rotation_matrix = vmath::rotate(45.0f, vmath::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f)); vmath::vec4 input_vertex = vmath::mat4(....); vmath::vec4 transformed_vertex = translation_matrix * rotation_matrix * input_vertex;該代碼首先將模型繞y軸旋轉(zhuǎn)45°，然后將其在x軸上平移4個(gè)單位，在y軸上平移10個(gè)單位，在z軸上平移負(fù)20個(gè)單位。這會(huì)將模型放置在特定方向，然后將其移動(dòng)到位。是先旋轉(zhuǎn)，后平移。我們可以將此代碼重寫(xiě)如下：
vmath::mat4 translation_matrix = vmath::translate(4.0f, 10.0f, -20.0f);vmath::mat4 rotation_matrix = vmath::rotate(45.0f, vmath::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f));vmath::mat4 composite_matrix = translation_matrix * rotation_matrix;vmath::vec4 input_vertex = vmath::vec4(...);vmath::vec4 transformed_vertex = composite_matrix * input_vertex;// 先旋轉(zhuǎn)，再平移Quaternions（四元數(shù)）
四元數(shù)是一種四維量，在某些方面類(lèi)似于復(fù)數(shù)。它有一個(gè)實(shí)部和三個(gè)虛部（與復(fù)數(shù)的一個(gè)虛部相比）。正如復(fù)數(shù)有一個(gè)虛部i一樣，四元數(shù)有三個(gè)虛部i、j和k。數(shù)學(xué)上，四元數(shù)q表示為
q = (x + yi + zj + wk)
性質(zhì)?：i2 = j2 = k2 = ijk = -1。
性質(zhì)?：i = jk、j = ik、k = ji。
與復(fù)數(shù)一樣，四元數(shù)的乘法是非交換的。四元數(shù)的加法和減法定義為簡(jiǎn)單的矢量加減法，各項(xiàng)按分量進(jìn)行加減。其他函數(shù)（如一元否定和幅值）的行為也與四分量向量的預(yù)期相同。雖然四元數(shù)是一個(gè)四分量實(shí)體，但通常將四元數(shù)表示為實(shí)標(biāo)量部分和三分量虛矢量部分。這種表述通常書(shū)面寫(xiě)作：q = (r, v)。
好的，很好，但這不是可怕的數(shù)學(xué)章節(jié)，對(duì)嗎？這是關(guān)于計(jì)算機(jī)圖形、OpenGL和所有有趣的東西。這就是四元數(shù)真正有用的地方。回想一下，我們的旋轉(zhuǎn)函數(shù)以一個(gè)角度和一個(gè)軸為中心旋轉(zhuǎn)。
我們可以將這兩個(gè)量表示為四元數(shù)，在實(shí)部填充角度，在向量部填充軸，得到一個(gè)表示繞任意軸旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)。
旋轉(zhuǎn)序列可以由一系列四元數(shù)相乘表示，生成一個(gè)四元數(shù)，一次編碼整個(gè)批次。雖然可以生成一組表示圍繞各個(gè)笛卡爾軸旋轉(zhuǎn)的矩陣，然后將它們相乘，這種方法容易受到萬(wàn)向節(jié)鎖的影響。如果對(duì)一系列四元數(shù)執(zhí)行相同的操作，則萬(wàn)向節(jié)鎖定不會(huì)發(fā)生。為了便于編寫(xiě)代碼，vmath包括vmath::quaternion類(lèi)，該類(lèi)實(shí)現(xiàn)了這里描述的大部分功能。
The Model-View Transform（模型-視圖變換）
在一個(gè)簡(jiǎn)單的OpenGL應(yīng)用程序中，最常見(jiàn)的轉(zhuǎn)換之一是將模型從模型空間(model space)轉(zhuǎn)換到視圖空間(view space)，以便對(duì)其進(jìn)行渲染。實(shí)際上，我們首先將模型移動(dòng)到世界空間（即相對(duì)于世界原點(diǎn)放置），然后再?gòu)哪抢镆苿?dòng)到視圖空間（相對(duì)于觀察者放置）。這個(gè)過(guò)程確定了場(chǎng)景的有利位置。默認(rèn)情況下，透視投影中的觀察點(diǎn)位于原點(diǎn)（0,0,0），看向負(fù)z軸（進(jìn)入監(jiān)視器或屏幕）。該觀察點(diǎn)相對(duì)于眼睛坐標(biāo)系(eye coordinate system)移動(dòng)，以提供特定的有利位置。當(dāng)觀察點(diǎn)位于原點(diǎn)時(shí)，如在透視投影中，使用正z值繪制的對(duì)象位于觀察者后面。然而，在正交投影中，假定觀察者在正z軸上無(wú)限遠(yuǎn)，并且可以看到視體(viewing volume)內(nèi)的一切。
由于此變換將頂點(diǎn)從模型空間（有時(shí)也稱(chēng)為對(duì)象空間）直接帶入視圖空間，并有效地繞過(guò)世界空間，因此通常稱(chēng)為模型-視圖變換，對(duì)此變換進(jìn)行編碼的矩陣稱(chēng)為模型-視圖矩陣。
模型變換實(shí)質(zhì)上是將對(duì)象放置到世界空間中。每個(gè)對(duì)象都可能有自己的模型變換，通常由一系列縮放、旋轉(zhuǎn)和平移操作組成。將模型空間中頂點(diǎn)的位置乘以模型變換的結(jié)果是世界空間中的一組位置。這種轉(zhuǎn)換有時(shí)被稱(chēng)為模型-世界轉(zhuǎn)換(model-world transform)。
視圖轉(zhuǎn)換允許您將觀察點(diǎn)放置在任意位置，并朝任意方向觀察。確定查看變換類(lèi)似于將攝影機(jī)放置并指向場(chǎng)景。在總體方案中，必須在任何其他建模轉(zhuǎn)換之前應(yīng)用視圖轉(zhuǎn)換。原因是它似乎相對(duì)于眼睛坐標(biāo)系移動(dòng)了當(dāng)前工作坐標(biāo)系。然后，所有后續(xù)變換都基于新修改的坐標(biāo)系進(jìn)行。將坐標(biāo)從世界空間移動(dòng)到視圖空間的變換有時(shí)稱(chēng)為世界-視圖變換(world-view transform)。
通過(guò)將模型-世界和世界-視圖變換矩陣相乘，將它們連接在一起，得到模型-視圖矩陣（即，從模型到視圖空間獲取坐標(biāo)的矩陣）。這樣做有一些好處。首先，場(chǎng)景中可能有許多模型，每個(gè)模型中都有許多頂點(diǎn)。如前所述，使用單復(fù)合變換將模型移動(dòng)到視圖空間比先將其移動(dòng)到世界空間，然后再移動(dòng)到視圖空間更有效。第二個(gè)優(yōu)勢(shì)更多地與單精度浮點(diǎn)數(shù)字的數(shù)值精度有關(guān)：世界可能很大，在世界空間中執(zhí)行的計(jì)算將具有不同的精度，具體取決于頂點(diǎn)離世界原點(diǎn)的距離。但是，如果在視圖空間中執(zhí)行相同的計(jì)算，則精度取決于頂點(diǎn)離觀察者的距離，這可能是您想要的——對(duì)靠近觀察者的對(duì)象應(yīng)用了大量的精度，但犧牲了距離觀察者很遠(yuǎn)的精度。
The Lookat Matrix（Lookat矩陣）
如果你在一個(gè)已知的位置有一個(gè)有利的位置，并且你想看一個(gè)東西，你會(huì)希望把你的虛擬相機(jī)放在那個(gè)位置，然后把它指向正確的方向。要正確定位相機(jī)，您還需要知道它向上的方向；否則，相機(jī)可能會(huì)繞著它的前向軸旋轉(zhuǎn)，即使從技術(shù)上講它仍然指向正確的方向，這幾乎肯定不是你想要的。因此，給定一個(gè)原點(diǎn)、一個(gè)感興趣點(diǎn)和一個(gè)我們認(rèn)為要上升的方向，我們想要構(gòu)造一系列變換，理想地烘烤成一個(gè)矩陣，這將表示一個(gè)旋轉(zhuǎn)，它將指向一個(gè)攝像機(jī)在正確的方向上，一個(gè)將原點(diǎn)移動(dòng)到攝像機(jī)中心的平移。該矩陣稱(chēng)為lookat矩陣(lookat matrix)，可僅使用本章迄今為止所述的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建。
首先，我們知兩個(gè)位置相減會(huì)得到一個(gè)向量，這個(gè)向量會(huì)將一個(gè)點(diǎn)從第一個(gè)位置移動(dòng)到第二個(gè)位置，而對(duì)向量結(jié)果進(jìn)行歸一化會(huì)得到它的方向。因此，如果我們?nèi)∫粋€(gè)關(guān)注點(diǎn)的坐標(biāo)，從中減去我們相機(jī)的位置，然后歸一化得到的向量，我們就有了一個(gè)新的向量，表示從相機(jī)到關(guān)注點(diǎn)的視角方向。我們稱(chēng)之為前向向量(forward vector)。
接下來(lái)，我們知道，如果我們?nèi)蓚€(gè)向量的叉積，我們將得到與兩個(gè)輸入向量正交（成直角）的第三個(gè)向量。我們有兩個(gè)矢量，我們剛才計(jì)算的前向矢量(forward vector)，和向上矢量(up vector)，它代表我們認(rèn)為向上的方向。取這兩個(gè)向量的叉積，得到第三個(gè)向量，該向量與它們中的每一個(gè)向量正交，并且相對(duì)于我們的相機(jī)指向側(cè)面。我們稱(chēng)之為側(cè)向向量(sideways vector)。然而，上方向向量和前方向向量不一定相互正交，我們需要第三個(gè)正交向量來(lái)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣。為了得到這個(gè)向量，我們可以簡(jiǎn)單地再次應(yīng)用相同的過(guò)程，取前向向量和側(cè)向向量的叉積，得到第三個(gè)向量，這第三個(gè)向量與前向向量和側(cè)向向量正交，表示相對(duì)于相機(jī)的上方向(up)。
這三個(gè)向量具有單位長(zhǎng)度，并且彼此正交，因此它們形成一組正交基向量并表示我們的視圖框架。給定這三個(gè)向量，我們可以構(gòu)造一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，它將在標(biāo)準(zhǔn)笛卡爾基礎(chǔ)上取一個(gè)點(diǎn)，并將其移動(dòng)到相機(jī)的基礎(chǔ)上。在下面的數(shù)學(xué)中，e是眼睛（或相機(jī)）的位置，p是關(guān)注點(diǎn)，u是上方向向量。
首先，構(gòu)造我們的前向向量f：
f = (p - e) / |p - e|
然后，構(gòu)造側(cè)向向量s：
s = f×u
在相機(jī)參考中構(gòu)造一個(gè)新的上方向向量u′：
u′ = s×f
最后，構(gòu)造一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，表示重新定向到我們新構(gòu)造的正交基中：
要將對(duì)象轉(zhuǎn)換為攝影機(jī)的幀，不僅需要正確確定所有對(duì)象的方向，還需要將原點(diǎn)移動(dòng)到攝影機(jī)的位置。我們通過(guò)簡(jiǎn)單地將結(jié)果向量轉(zhuǎn)換為相機(jī)位置的負(fù)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。還記得平移矩陣是如何通過(guò)將偏移量放入矩陣最右邊的列中來(lái)構(gòu)造的嗎？我們也可以在這里這樣做：
終于，我們得到lookat矩陣，就是上面的矩陣T。
由vmath::lookat函數(shù)生成的矩陣可以用作相機(jī)矩陣的基礎(chǔ)——表示相機(jī)位置和方向的矩陣。換句話說(shuō)，這可以是你的視圖矩陣。
Projection Transformations（投影變換）
投影變換將在模型-視圖變換后應(yīng)用于頂點(diǎn)。該投影實(shí)際上定義了視體并建立了剪裁平面。剪裁平面是三維空間中的平面方程，OpenGL使用它來(lái)確定觀察者是否可以看到幾何體。更具體地說(shuō)，投影變換指定如何將完成的場(chǎng)景（完成所有建模后）投影到屏幕上的最終圖像。你將了解有關(guān)正交投影(orthographic)和透視投影(perspective)兩種類(lèi)型的詳細(xì)信息。
在正交或平行投影中，所有多邊形都以指定的相對(duì)尺寸精確地繪制在屏幕上。直線和多邊形使用平行線直接映射到2D屏幕，這意味著無(wú)論某物離屏幕有多遠(yuǎn)，它仍然繪制為相同大小，只是在屏幕上展平。這種類(lèi)型的投影通常用于渲染二維圖像，如藍(lán)圖(blueprints)中的正面、頂部和側(cè)面立面，或二維圖形（如文本或屏幕菜單）。
透視投影顯示的場(chǎng)景更多的是真實(shí)生活中的場(chǎng)景，而不是藍(lán)圖。透視投影的特點(diǎn)是縮短(foreshortening)，這使得遠(yuǎn)處的物體看起來(lái)比同樣大小的附近物體小。三維空間中可能平行的線并不總是與觀察者平行。例如，對(duì)于鐵路軌道，軌道是平行的，但使用透視投影，它們似乎在某個(gè)遙遠(yuǎn)的點(diǎn)會(huì)聚。透視投影的好處是，你不必知道直線在哪里會(huì)聚，也不必知道遠(yuǎn)處的物體有多小。您只需使用模型-視圖變換指定場(chǎng)景，然后應(yīng)用透視投影矩陣。線性代數(shù)為你帶來(lái)了所有的魔力。
下圖比較了兩個(gè)不同場(chǎng)景上的正交投影和透視投影。
正如你在左側(cè)顯示的正交投影中所看到的，立方體在遠(yuǎn)離查看器時(shí)，其大小似乎不會(huì)發(fā)生變化。然而，在右側(cè)顯示的透視投影中，立方體隨著距離觀察者越來(lái)越遠(yuǎn)而變得越來(lái)越小。
正交投影最常用于二維繪圖目的，其中需要像素和繪圖單位之間的精確對(duì)應(yīng)。您可以將它們用于原理圖布局、文本或二維圖形應(yīng)用程序。如果渲染深度與距視點(diǎn)的距離相比具有非常小的深度，則也可以使用正交投影進(jìn)行三維渲染。透視投影用于渲染包含需要應(yīng)用縮短的開(kāi)闊空間或?qū)ο蟮膱?chǎng)景。在大多數(shù)情況下，透視投影是典型的三維圖形。事實(shí)上，用正交投影觀察3D對(duì)象可能會(huì)有點(diǎn)令人不安。
Perspective Matrices（透視矩陣）
一旦頂點(diǎn)在視圖空間中，我們需要將它們放入裁剪空間，我們可以通過(guò)應(yīng)用投影矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，投影矩陣可以表示透視投影或正交投影（或其他投影）。常用的透視矩陣是平截頭體矩陣。平截頭體矩陣是一種投影矩陣，它生成透視投影，使得裁剪空間的形狀為矩形平截頭體，即截?cái)嗟木匦卫忮F體。其參數(shù)是到近平面和遠(yuǎn)平面的距離以及左、右、上和下剪裁平面的世界空間坐標(biāo)。平截體矩陣采用以下形式：
構(gòu)造透視矩陣的另一種常用方法是直接將視野(field of view)指定為角度(FOV角)（可能以度為單位）、縱橫比（通常通過(guò)將窗口的寬度除以其高度得出）以及近平面和遠(yuǎn)平面的視圖空間位置。這在某種程度上更易于指定，并且只生成對(duì)稱(chēng)的視錐(symmetric frustra)。然而，這幾乎總是你想要的。
static inline mat4 perspective(float fovy, float aspect, float n, float f) { ... }Orthographic Matrices（正交矩陣）
如果希望對(duì)場(chǎng)景使用正交投影，則可以構(gòu)造（稍微簡(jiǎn)單一些的）正交投影矩陣。正交投影矩陣只是將視圖空間坐標(biāo)線性映射到裁剪空間坐標(biāo)的縮放矩陣。構(gòu)造正交投影矩陣的參數(shù)是場(chǎng)景邊界的視圖空間中的左、右、上和下坐標(biāo)，以及近平面和遠(yuǎn)平面的位置。
Interpolation,Lines,Curves,and Splines（插值、直線、曲線和樣條曲線）
D = B - A
P = A + tD = A + t(B - A) = (1 - t)A + tB
如果t在0.0和1.0之間，那么P將在A和B之間結(jié)束。超出此范圍的t值會(huì)將P推離線的末端。你們應(yīng)該可以看到，通過(guò)平滑地改變t，我們可以將點(diǎn)P從A移到B，然后再移回來(lái)。這被稱(chēng)為線性插值(linear iterpolation)。A和B（和P）的值可以有任意數(shù)量的維度。例如，它們可以是標(biāo)量值；二維值，如圖形上的點(diǎn)；三維值，如三維空間中的坐標(biāo)、顏色等；或者更高維度的數(shù)量，例如矩陣、數(shù)組，甚至整個(gè)圖像。在許多情況下，線性插值沒(méi)有多大意義（例如，兩個(gè)矩陣之間的線性插值通常不會(huì)產(chǎn)生有意義的結(jié)果），但角度、位置和其他坐標(biāo)通常可以安全地插值。
線性插值是圖形中的一種常見(jiàn)操作，GLSL包括一個(gè)專(zhuān)門(mén)用于此目的的內(nèi)置函數(shù)，mix:
vec4 mix(vec4 A, vec4 B, float t);mix函數(shù)有幾個(gè)版本，將向量或標(biāo)量的不同維數(shù)作為A和B輸入，并將標(biāo)量或匹配向量作為t輸入。
Curves（曲線）
如果我們只想沿著兩點(diǎn)之間的直線移動(dòng)所有東西，那么這就足夠了。但是，在現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)象以平滑曲線移動(dòng)，并平滑地加速和減速。曲線可以由三個(gè)或更多控制點(diǎn)表示。對(duì)于大多數(shù)曲線，有三個(gè)以上的控制點(diǎn)，其中兩個(gè)形成端點(diǎn)；其他定義了曲線的形狀。考慮下圖所示的簡(jiǎn)單曲線。
有三個(gè)控制點(diǎn)A、B、C，其中A和C是曲線的端點(diǎn)，B定義了曲線的形狀。如果我們將點(diǎn)A和點(diǎn)B與一條直線連接起來(lái)，將點(diǎn)B和點(diǎn)C與另一條直線連接起來(lái)，那么我們可以使用簡(jiǎn)單的線性插值沿這兩條直線進(jìn)行插值，以找到一對(duì)新的點(diǎn)D和E。現(xiàn)在，給定這兩點(diǎn)，我們可以用另一條線把它們連接起來(lái)，沿著它插值，找到一個(gè)新的點(diǎn)，P。當(dāng)我們改變插值參數(shù)t時(shí)，點(diǎn)P將沿著從A到D的平滑曲線路徑移動(dòng)。用數(shù)學(xué)表示：
D = A + t(B - A)
E = B + t(C - B)
P = D + t(E - D)
= A + t(B ? A)+ t((B +(t(C ? B))) ? (A + t(B ? A))))
= A +2t(B ? A)+ t2(C ? 2B + A)
你應(yīng)該認(rèn)識(shí)到這是t中的二次方程(quadratic equation)。它描述的曲線稱(chēng)為二次Bézier曲線。實(shí)際上，我們可以使用mix函數(shù)在GLSL中非常容易地實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，因?yàn)槲覀兯龅闹皇菍?duì)前面兩次插值的結(jié)果進(jìn)行線性插值（混合）。
通過(guò)添加第四個(gè)控制點(diǎn)，如下圖所示，我們可以將階數(shù)增加1，并生成三次Bézier曲線。
我們現(xiàn)在有四個(gè)控制點(diǎn)，A、B、C和D。構(gòu)造曲線的過(guò)程類(lèi)似于二次Bézier曲線。我們從A到B形成第一條線，從B到C形成第二條線，從C到D形成第三條線。沿這三條直線中的每一條進(jìn)行插值會(huì)產(chǎn)生三個(gè)新點(diǎn)，即E、F和G。利用這三個(gè)點(diǎn)，我們?cè)傩纬蓛蓷l線，一條從E到F，另一條從F到G，沿著這兩條線插值，得到點(diǎn)H和點(diǎn)I，在這兩條線之間我們可以插值找到我們的最終點(diǎn)P。
因此，我們有：
E = A + t(B - A)
F = B + t(C - B)
G = C + t(D - C)
H = E + t(F - E)
I = F + t(G - F)
P = H + t(I - H)
如果你認(rèn)為這些方程看起來(lái)很熟悉，你是對(duì)的：我們的點(diǎn)E，F和G形成了一條二次Bézier曲線，我們用它來(lái)插值到我們的最終點(diǎn)P。如果我們將E、F和G的方程代入H和I的方程中，然后代入P的方程中，通過(guò)展開(kāi)式，我們將得到一個(gè)三次方程，其項(xiàng)包含在t3——因此被稱(chēng)為三次Bézier曲線。同樣，我們可以通過(guò)使用混合函數(shù)在GLSL中進(jìn)行線性插值來(lái)簡(jiǎn)單有效地實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)：
正如三次Bézier曲線方程的結(jié)構(gòu)“包括”二次曲線方程一樣，實(shí)現(xiàn)它們的代碼也是如此。事實(shí)上，我們可以將這些曲線層疊在一起，使用一條曲線的代碼構(gòu)建下一條曲線。
vec4 cubic_bezier(vec4 A, vec4 B, vec4 C, vec4 D, float t) {vec4 E = mix(A, B, t); // E = A + t(B - A)vec4 F = mix(B, C, t); // F = B + t(C - B)vec4 G = mix(C, D, t); // G = C + t(D - C)return quadratic_bezier(E, F, G, t); }現(xiàn)在，我們看到了這個(gè)模式，我們可以更進(jìn)一步，產(chǎn)生更高階的曲線。例如，五次Bézier曲線（一條有五個(gè)控制點(diǎn)）可以實(shí)現(xiàn)為：
vec4 quintic_bezier(vec4 A, vec4 B, vec4 C, vec4 D, vec4 E, float t) {vec4 F = mix(A, B, t); // F = A + t(B - A)vec4 G = mix(B, C, t); // G = B + t(C - B)vec4 H = mix(C, D, t); // H = C + t(D - C)vec4 I = mix(D, E, t); // I = D + t(E - D)return cubic_bezier(F, G, H, I, t); }理論上，這種分層可以反復(fù)應(yīng)用于任何數(shù)量的控制點(diǎn)。但是，在實(shí)踐中，通常不使用具有四個(gè)以上控制點(diǎn)的曲線。相反，我們使用樣條曲線。
Splines（樣條曲線）
樣條曲線實(shí)際上是由幾個(gè)較小的曲線（如Bézier曲線）組成的長(zhǎng)曲線，這些曲線局部定義了它們的形狀。至少表示曲線端點(diǎn)的控制點(diǎn)在線段之間共享，并且通常一個(gè)或多個(gè)內(nèi)部控制點(diǎn)在相鄰線段之間以某種方式共享或鏈接。任何數(shù)量的曲線都可以通過(guò)這種方式連接在一起，從而形成任意長(zhǎng)的路徑。
這就是將曲線粘在一起形成樣條曲線的原因。這些控制點(diǎn)稱(chēng)為焊縫(welds)，中間的控制點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)(knots)。
在上圖中，曲線由十個(gè)控制點(diǎn)A到J定義，它們形成三條三次Bézier曲線。第一個(gè)由A、B、C和D定義，第二個(gè)共享D并進(jìn)一步使用E、F和G，第三個(gè)共享G并添加H、I和J。這種樣條曲線稱(chēng)為三次Bézier樣條曲線，因?yàn)樗怯梢幌盗腥蜝ézier曲線構(gòu)成的。這也被稱(chēng)為三次B樣條(B-spline)——這一術(shù)語(yǔ)對(duì)于過(guò)去閱讀過(guò)大量圖形知識(shí)的人來(lái)說(shuō)可能很熟悉。
要沿樣條曲線插值點(diǎn)P，我們只需將其劃分為三個(gè)區(qū)域，使t的范圍從0.0到3.0。在0.0和1.0之間，我們沿著第一條曲線插值，從A移動(dòng)到D。在1.0和2.0之間，我們沿著第二條曲線插值，從D移動(dòng)到G。當(dāng)t在2.0和3.0之間時(shí)，我們沿著G和J之間的最終曲線進(jìn)行插值。因此，t的整數(shù)部分決定了我們要沿其插值的曲線段，而t的分?jǐn)?shù)部分用于沿該段插值。當(dāng)然，我們可以隨心所欲地?cái)U(kuò)展t。例如，如果我們?nèi)∫粋€(gè)介于0.0和1.0之間的值，并將其乘以曲線中的分段數(shù)，則無(wú)論曲線中控制點(diǎn)的數(shù)量如何，我們都可以繼續(xù)使用t的原始值范圍。
下面的代碼將沿三次Bézier樣條插值一個(gè)向量，該樣條具有十個(gè)控制點(diǎn)（以及三個(gè)線段）：
如果我們使用樣條曲線來(lái)確定對(duì)象的位置或方向，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)我們必須非常小心地選擇控制點(diǎn)位置，以保持運(yùn)動(dòng)平滑和流暢。插值點(diǎn)P值的變化率（即其速度）是曲線方程相對(duì)于t的微分。如果這個(gè)函數(shù)是不連續(xù)的，那么P會(huì)突然改變方向，我們的物體會(huì)出現(xiàn)跳躍。此外，P的速度（加速度）的變化率是樣條方程相對(duì)于t的二階導(dǎo)數(shù)。如果加速不平穩(wěn)，則P會(huì)突然加速或減速。
具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)稱(chēng)為C1連續(xù)函數(shù)；類(lèi)似地，具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的曲線稱(chēng)為C2連續(xù)曲線。Bézier曲線段都是C1和C2連續(xù)的，但為了確保在樣條曲線的焊縫上保持連續(xù)性，我們需要確保每個(gè)段從前一段在位置、移動(dòng)方向和變化率方面結(jié)束的位置開(kāi)始。在特定方向上的移動(dòng)速率就是一個(gè)速度。因此，我們可以在每個(gè)焊縫處指定速度，而不是為樣條曲線指定任意控制點(diǎn)。如果在計(jì)算該焊縫任一側(cè)的曲線段時(shí)，在每個(gè)焊縫處使用相同的曲線速度，則我們將使用C1和C2連續(xù)的樣條函數(shù)。
如果您再看一看上圖，這應(yīng)該是有意義的——沒(méi)有扭結(jié)(kinks)，曲線通過(guò)焊縫（點(diǎn)D和點(diǎn)G）平滑。現(xiàn)在查看焊縫兩側(cè)的控制點(diǎn)。例如，以圍繞D的點(diǎn)C和點(diǎn)E為例。C和E形成一條直線，D正好位于中間。事實(shí)上，我們可以把從D到E的線段稱(chēng)為D處的速度，或者VD。
給定點(diǎn)D（焊縫）的位置和曲線在D處的速度VD，則C和E可計(jì)算為：
C = D - VD
E = D + VD
同樣，如果**VA**表示A處的速度，則B可計(jì)算為：
B = A + VA
因此，您應(yīng)該能夠看到，給定三次B樣條曲線焊縫處的位置和速度，我們可以省去所有其他控制點(diǎn)，并在評(píng)估每個(gè)控制點(diǎn)時(shí)動(dòng)態(tài)計(jì)算它們。以這種方式表示的三次B樣條（作為一組焊接位置和速度）稱(chēng)為三次Hermite樣條(cube Hermite spline)，有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為CSP線。cspline是制作平滑自然動(dòng)畫(huà)的非常有用的工具。
Summary（總結(jié)）
在本章中，你學(xué)習(xí)了一些對(duì)使用OpenGL創(chuàng)建3D場(chǎng)景至關(guān)重要的數(shù)學(xué)概念。即使你不能在頭腦中處理矩陣，你現(xiàn)在也知道什么是矩陣，以及如何使用它們來(lái)執(zhí)行各種變換。你還學(xué)習(xí)了如何構(gòu)造和操作表示觀察者和視口屬性的矩陣。現(xiàn)在，你應(yīng)該了解如何將對(duì)象放置在場(chǎng)景中，并確定如何在屏幕上查看它們。本章還介紹了參考系的強(qiáng)大概念，你看到了操作參考系并將其轉(zhuǎn)換是多么容易。
最后，我們介紹了本書(shū)附帶的vmath庫(kù)的使用。這個(gè)庫(kù)完全是用便攜式C++編寫(xiě)的，它提供了一個(gè)方便的工具箱，可以與OpenGL一起使用各種數(shù)學(xué)和輔助程序。
令人驚訝的是，在這整章中，我們沒(méi)有涉及一個(gè)新的OpenGL函數(shù)調(diào)用。是的，這是數(shù)學(xué)章節(jié)，如果你認(rèn)為數(shù)學(xué)只是公式和計(jì)算，你可能根本沒(méi)有注意到。向量和矩陣及其應(yīng)用對(duì)于能夠使用OpenGL渲染3D對(duì)象和世界至關(guān)重要。然而，需要注意的是，OpenGL并沒(méi)有將任何特定的數(shù)學(xué)約定強(qiáng)加給你，并且本身也不提供任何數(shù)學(xué)功能。如果你使用不同的三維數(shù)學(xué)庫(kù)，或者甚至使用自己的三維數(shù)學(xué)庫(kù)，你仍然會(huì)發(fā)現(xiàn)自己遵循本章中列出的模式來(lái)操作幾何體和三維世界。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的卐 4-3D图形的数学的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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