熟悉Eigen矩陣運算

設線性方程 $$Ax=b$$，在$A$為方陣的前提下，請回答以下問題：

問題1：什么條件下，x有解且唯一？

矩陣A非奇異，滿秩。

問題2：高斯消元法的原理是什么？

高斯消元法主要可以分成三步：

從上至下，以第$m(1<=m<n)$行數據作為減項，將大于$m$行的數據中的第$m$列變成0，從而使得矩陣變成上三角矩陣

從下至上，以第$m(1<=m<n)$行數據作為減項，將小于$m$行的數據中的第$m$列變成0，從而使得矩陣變成對角矩陣

根據對角矩陣求解x

問題3：QR分解的原理是什么？

定義

一個矩陣 [外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-aKT6i2Zf-1645373936195)(https://www.zhihu.com/equation?tex=A+%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bm%5Ctimes+n%7D%2C%5C+m%5Cge+n)] 可以被分解成 [外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-kh7NRC6t-1645373936196)(https://www.zhihu.com/equation?tex=A+%3D+QR)] ，其中：

• [外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-laWYSFHd-1645373936198)(https://www.zhihu.com/equation?tex=Q%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bm%5Ctimes+m%7D)] 是正交矩陣
• [外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-fRvFCdf8-1645373936199)(https://www.zhihu.com/equation?tex=R+%5Cequiv++%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Chat%7BR%7D+%5C%5C+0+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bm%5Ctimes+n%7D)]
• [外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-MuJV29qT-1645373936201)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7BR%7D+%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%5Ctimes+n%7D)] 是上三角矩陣

原理/自己的一些理解

? 如果我們把A矩陣看成是n個m維的列向量，那么QR分解實際上在是選擇一組正交基底(矩陣Q)，使得變換后每一個列向量(矩陣R從左至右)所關聯的緯度逐漸增高。這里如果一個向量在某個緯度上數據不是0，就認為他們是關聯的。顯然，在m>n的情況下，這樣的基底是可以構建出來的。

問題4：Cholesky 分解的原理是什么？

定義

如果矩陣A是一個對稱正定矩陣，那么$A=L{L}^T$，其中L為一個上三角矩陣。

原理/自己的一些理解

由于矩陣A為一個對稱正定矩陣，可以把A拆分成如下形式

$$A=B^{T}B$$

其中B為一個滿秩矩陣，對B應用QR分解可得

$$A=B^{T}B=(QR{)}^T(QR)=R^T{Q}^{T}QR=R^{T}R$$

其中，R為上三角矩陣。

問題5：編程實現 A 為 100 × 100 隨機矩陣時，用 QR 和 Cholesky 分解求 x 的程序。你可以參考本次課用到的 useEigen 例程

源代碼

#include <iostream> #include <Eigen/Core> #include <Eigen/Dense> #include <Eigen/QR> #include <Eigen/Cholesky>using namespace std; int main() {Eigen::Matrix<double, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> A = Eigen::MatrixXd::Random(100,100);Eigen::Matrix<double, Eigen::Dynamic, 1>b = Eigen::MatrixXd::Random(100,1);A = A.transpose()*A; //保證A是半正定，這樣cholesky才有效Eigen::Matrix<double, Eigen::Dynamic, 1> x_QR = A.colPivHouseholderQr().solve(b);//QR分解的結果Eigen::Matrix<double, Eigen::Dynamic, 1> x_Cholesky = A.llt().solve(b);;//分解的結果std::cout << "QR result: " << x_QR.transpose() << std::endl;std::cout << "Cholesky result: " << x_Cholesky.transpose() << std::endl;std::cout << "QR ||Ax - b ||= " << (A*x_QR - b).norm() << std::endl;std::cout << "Cholesky ||Ax - b ||= " << (A*x_Cholesky - b).norm() << std::endl;return 0; }

運行結果

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-febudbTY-1645373936202)(https://pic.imgdb.cn/item/61fe44352ab3f51d918828a5.jpg)]

運行結果

矩陣論基礎

問題1：什么是正定矩陣和半正定矩陣？

• 正定矩陣：對于任何$x>0$ 如果$x^{T}Ax>0$恒成立，那么A為正定矩陣
• 半正定矩陣：對于任何$x\ge 0$ 如果$x^{T}Ax\ge 0$恒成立，那么A為半正定矩陣

問題2：對于方陣 A，它的特征值是什么？特征向量是什么？特征值一定是實數嗎？如何計算一個矩陣的特征值？

方針A的特征值和特征向量

? 對于一個n階的矩陣A，存在一個實數[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-vmyTtsY4-1645373936203)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda)]，使得我們可以找到一個非零向量x，滿足：

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-epRCezf8-1645373936203)(https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%3D%5Clambda+x+%5C%5C)]

? 如果能夠找到的話，我們就稱[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-IoKoFaJD-1645373936204)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda)]是矩陣A的特征值，非零向量x是矩陣A的特征向量。

如何計算一個矩陣的特征值

對原式來進行一個很簡單的變形：

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-4htLqvIj-1645373936206)(https://www.zhihu.com/equation?tex=%28A-%5Clambda+I%29x+%3D+0+%5C%5C)]

在x不全為0的情況下，如果使得上述公式成立，需要$A?\lambda I$奇異，即選擇一個合適的$\lambda$使得行列式|$A?\lambda I$|為0即可。由求解方法可見，矩陣的特征值不一定為實數，只有當矩陣是實矩陣時，特征值才為實數。

問題3：什么是矩陣的相似性？相似性反映了什么幾何意義？

相似矩陣的定義：

? 對于矩陣$A$和矩陣$B$，如果存在一個満秩方陣S使得$A=S^{?1}BS$，那么矩陣$A$和矩陣$B$相似

相似性反映了什么幾何意義

? 線性變換若粗略看成一個剛體的特定運動。剛體的特定運動是同一個，但坐標系改變的話這個運動的描述函數就會不一樣，如果這個函數可用矩陣等價替代的話，一個坐標系就對應著一個矩陣，因此這些矩陣就不同，但這些矩陣必有關系，這個關系就是相似。

問題4：矩陣一定可以對角化嗎，什么樣的矩陣能夠保證對角化？不能對角化的矩陣能夠形成什么樣的形式(Jordan 標準型)？

矩陣不一定可以對角化，滿秩矩陣才可以對角化，不能對角化的矩陣可以化簡成Jordan 標準型，只有對角線及下方/上方相鄰元素有數據。

問題5：奇異值分解(SVD)是什么意思？

對于任何一個矩陣$A_{m?n}$,可以將他分解成$A_{m?n}=U_{m?m}{\sum }_{m?n}{V}_{n?n}$,其中$U、V$為正定矩陣，${\sum }_{m?n}$為對角矩陣。

問題6：矩陣的偽逆是什么意思（Pseudo inverse）？莫爾——彭多斯逆是如何定義的？怎么計算一個矩陣的偽逆？

矩陣偽逆

當一個矩陣$A_{m?n}$是奇異矩陣的時候，無法求的矩陣的逆解，但是可以按照矩陣的三種形式，求得以下三種偽逆

• 當$m>n$時，可以求得一個左逆矩陣使得$A^{L}A=I$ (存在多個)
• 當$m<n$時，可以求得一個右逆矩陣使得$A{A}^R=I$ (存在多個)
• 當$m=n$且A為奇異矩陣時，可以根據SVD分解求得偽逆 $A=UD{V}^T$,則A的偽逆為$A^{+}=V{D}^{+}{U}^T$

莫爾——彭多斯逆

如果矩陣$B$滿足以下四個條件，那么為們可以稱$B$為$A$的莫爾——彭多斯逆

• $BAB=B$
• $ABA=A$
• $(AB{)}^H=AB$
• $(BA{)}^H=BA$

莫爾——彭多斯逆可以通過SVD分解的方法進行計算

問題7：超定方程求解相關

對于超定方程： $Ax=b$ 且 $A$ 不可逆時，我們通常計算最小二乘解： $x={\mathrm{argmax}}_a||Ax?b||$。線性方程的最小二乘解在代數意義上是可以解析地寫出來的。請回答以下小問題：

在 $b=0$ 時， $x$ 的解是什么形式？

當b不為0時，解的形式為$(A^{T}A{)}^{?1}{A}^{T}b$

事實上，我們可以對 $A$ 求奇異值或對于 $A^{T}A$ 求特征值。請闡述兩者之間的關系

? 矩陣A的SVD分解為$A=UD{V}^T$,其中D為對角矩陣(對角元素可能為0)，進而可以計算出$A^{T}A=UD{V}^{T}VD{U}^T=UDD{U}^T$

? 矩陣$A^{T}A$的特征值可以表示為$A^{T}AM=M\sum$其中$\sum$為特征值為對角線的對角矩陣，M為特征值對應的特征向量所組成的方陣，為單位正定矩陣。上式可進一步轉化為$A^{T}A=M\sum M^T$

? 由此可以發現，在形式上當A為一個方陣時，$DD=\sum$。

當 $b=0$ 時，我們希望求 $x$ 的非零解。請說明如何求解 $x$

$x$為$A^{T}A$最小特征值對應的特征向量，因為此時$||Ax||=x^T{A}^{T}Ax={\lambda }_{min}$

請談談你對上述解法在幾何意義上的理解。該問題為開放問題

設A為m行n列的一個矩陣，m>n。

• 理解1：可以理解為有m個在n+1維空間中的平面(傳統三維空間中存在的為而二維平面，矩陣A的每一行就代表一個平面)，我們需要確定一個x，使得由x確定的每個平面上的點到原點的距離總和最小

• 理解2：矩陣A可以看作對向量x進行旋轉->縮放->升緯/降緯->旋轉的操作,為們需要確定一個最有的向量(x)，使得這個向量在進行完上述一系列操作之后，模最小。

幾何運算練習

? 下面我們來練習如何使用 Eigen/Geometry 計算一個具體的例子。
? 一個機器人上通常會安裝許多不同的傳感器，而且這些傳感器之間還存在固連關系。我們舉一個典型的例子。
? 在世界系 W 下，存在一個運動的機器人 R。按照固定的或者某些開發人員或者領導的特殊喜好， R系定義在機器人腳部的位置。但是機器人在設計的時候，又定義了 B 系（Body 系，或本體系），位于機器人頭部的位置。由于溝通不暢，標定人員把一臺激光傳感器和一臺視覺傳感器標定在了 B 系下。我們稱激光傳感器為 L 系，視覺傳感器為 C 系。現在請你完成以下工作：

問題1：說明一個激光傳感器下的看到的點應該如何計算它的世界坐標。

根據標定結果將觀測數據位置轉化到B系下

根據B系和R系之間的相對關系，把觀測數據轉化到R系下

根據機器人的位置和姿態信息，將觀測數據轉化到W系下

問題2：給定以下數據，計算觀測點在激光坐標系和世界坐標系下的坐標

$ q_{WR}=[0.55, 0.3, 0.2, 0.2], t_{WR}=[0.1, 0.2, 0.3]^{T}, $

$q_{RB}=[0.99,0,0,0.01],t_{RB}=[0.05,0,0.5{]}^T，$

$q_{BL}=[0.3,0.5,0,20.1],t_{BL}=[0.4,0,0.5{]}^T,$

$q_{BC}=[0.8,0.2,0.1,0.1],t_{BC}=[0.5,0.1,0.5{]}^T$

$p_C=[0.3,0.2,1.2{]}^T$

源代碼

#include<Eigen/Core> #include<Eigen/Geometry> #include<iostream>int main(int argv, char** argc) {//初始化四元數Eigen::Quaterniond q_W2R(0.55, 0.3, 0.2, 0.2); //這種方式初始化，實部在前Eigen::Quaterniond q_R2B(0.99, 0, 0, 0.01);Eigen::Quaterniond q_B2L(0.3, 0.5, 0, 20.1);Eigen::Quaterniond q_B2C(0.8, 0.2, 0.1, 0.1);//四元數歸一化q_W2R.normalize();q_R2B.normalize();q_B2L.normalize();q_B2C.normalize();//初始化平移向量Eigen::Vector3d t_W2R(0.1, 0.2, 0.3);Eigen::Vector3d t_R2B(0.05, 0, 0.5);Eigen::Vector3d t_B2L(0.4, 0, 0.5);Eigen::Vector3d t_B2C(0.5, 0.1, 0.5);//相機坐標系下該點坐標Eigen::Vector3d p_C(0.3, 0.2,1.2);//四元數轉化為旋轉矩陣Eigen::Matrix3d R_W2R = q_W2R.matrix();Eigen::Matrix3d R_R2B = q_R2B.matrix();Eigen::Matrix3d R_B2L = q_B2L.matrix();Eigen::Matrix3d R_B2C = q_B2C.matrix();//計算激光坐標系下該點位置 C -> B -> LEigen::Vector3d p_B = R_B2C*p_C + t_B2C;Eigen::Vector3d p_L = R_B2L.transpose()*p_B - R_B2L.transpose()*t_B2L; //激光坐標系下該點位置//計算世界坐標系下該點位置 B -> R -> WEigen::Vector3d p_R = R_R2B*p_B + t_R2B;Eigen::Vector3d p_W = R_W2R*p_R + t_W2R; //世界坐標系下該點位置std::cout << "激光坐標系下該點位置:" << p_L.transpose() << std::endl;std::cout << "世界坐標系下該點位置" << p_W.transpose() << std::endl;return 0; }

運行結果

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-1765vWza-1645373936207)(https://pic.imgdb.cn/item/61fd564b2ab3f51d91d11428.jpg)]

運行結果

旋轉的表達

課程中提到了旋轉可以用旋轉矩陣、旋轉向量與四元數表達，其中旋轉矩陣與四元數是日常應用中常見的表達方式。請根據課件知識，完成下述內容的證明。

問題1：設有旋轉矩陣 R，證明 $R^{T}R=I$ 且 $detR=1$

由旋轉矩陣的計算過程可知，當一個向量在通過R完成旋轉時，實際上是用這個向量與R的每一個行向量進行一次點積。也就是說，R的每一個行向量代表旋轉后坐標軸的方向，因此R的每一個行向量是一個單位向量且是相互正交的，因此 $R^{T}R=I$ 且 $detR=1$

問題2：設有四元數 q，我們把虛部記為 ε，實部記為 η，那么 q = (ε, η)。請說明 ε 和 η 的維度。

四元數的實部為一維，虛部為三維，且整體的模為1

問題3：

羅德里格斯公式的證明

問題1：羅德里格斯公式證明

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-hJwAfyfd-1645373936207)(https://pic.imgdb.cn/item/61ff86b92ab3f51d91a3e1e6.png)]

上圖中，向量V繞旋轉軸K旋轉$\theta$到達$V_{rot}$

證明過程如下:

向量$V$可分解為兩個向量：$V_{//}、V_{\perp }$,其中$V_{//}$為向量$V$向向量$K$的投影，即$V_{//}=(V^{T}K)K、V_{\perp }=V?V_{//}$

向量$V$的旋轉過程可進一步分解成$V_{//}、V_{\perp }$的旋轉，即$V_{rot}=V_{ro{t}_{\perp }}+V_{ro{t}_{//}}$

由于$V_{//}$和旋轉軸平行，因此旋轉前后保持不變，即$V_{ro{t}_{//}}=V_{//}$

$V_{\perp }$旋轉后的向量可進一步分解成向量$a$和向量$b$如上圖所示，其中$b=cos(\theta )V_{\perp }、a=sin(\theta )K\times V$

綜上，
$$\begin{gathered} V_{rot} \\ =V_{ro{t}_{\perp }}+V_{ro{t}_{//}} \\ =a+b+V_{//} \\ =sin(\theta )K\times V+cos(\theta )V_{\perp }+(V^{T}K)K \\ =sin(\theta )K\times V+cos(\theta )(V?(V^{T}K)K)+(V^{T}K)K \\ =sin(\theta )K\times V+cos(\theta )V+(1?cos(\theta ))(V^{T}K)K \\ =sin(\theta )K\times V+cos(\theta )V+(1?cos(\theta ))K{K}^{T}V \\ =(sin(\theta )K^{\Lambda }+cos(\theta )I+(1?cos(\theta ))K{K}^T)V \\ =RV \end{gathered}$$

因此，$$sin(\theta )K^{\Lambda }+cos(\theta )I+(1?cos(\theta ))K{K}^T=R$$

問題2：試用此式證明$R^T=R^{?1}$

由定義可知，$R^{?1}$對應的旋轉軸與$R$對應的旋轉軸應該相同，只是$\theta$相反

$R^T=?sin(\theta )K^{\Lambda }+cos(\theta )I+(1?cos(\theta ))K{K}^T=sin(?\theta )K^{\Lambda }+cos(\theta )I+(1?cos(\theta ))K{K}^T$

由上式可以看出 ，$R^T$與$R$的形式相對比，確實也只有$\theta$相反，因此$R^T=R^{?1}$，證畢。

四元數運算性質的驗證

問題1：驗證旋轉后的四元數為虛四元數

$p^{\prime }=qp{q}^{?1}=q^{+}{p}^{+}{q}^{?1}=q^{+}{p}^{?1\oplus }p$

參考鏈接

線性代數精華——矩陣的特征值與特征向量

相似矩陣的幾何意義是什么

偽逆矩陣（廣義逆矩陣）

羅德里格斯公式證明

總結

以上是生活随笔為你收集整理的深蓝学院-视觉SLAM理论与实践-第十二期-第2章作业的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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