首先，所謂歐幾里得定理，就是輾轉(zhuǎn)相除法。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>int a,b;int gcd(int x,int y) {if (y==0) return x;//別記反了！ return gcd(y,x%y); }int main(){scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d\n",gcd(a,b));return 0; }

這是遞歸的。

#include<bits/stdc++.h>int a,b;int gcd(int x,int y) {int r;while (y) {r=x%y;x=y; y=r;}return x; }int main(){scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d\n",gcd(a,b));return 0; }

這是非遞歸的。

然后我們可以用一種類似的方法解形如的不定方程，這就是擴(kuò)歐了。

其實(shí)有一個(gè)問題，這個(gè)方程為什么有解呢？

這涉及到一個(gè)叫貝祖定理的東西，我們先不管它，假設(shè)一定有解。。。

那么，這個(gè)方程咋解呢？

要用到一種利用歐幾里得定理的迭代的方法，大概是這樣滴：

先列出兩個(gè)形式與原方程一樣的式子，

很顯然，（都是求a和b的最大公約數(shù)）

于是乎：

我們知道：（整個(gè)數(shù)減去可以被整除的部分）

所以：

再把右邊搞成a*...+b*...的形式：

瞧，現(xiàn)在兩邊形式一樣了。

因?yàn)槲覀冎灰唤M符合條件的解，所以只要讓并且就可以了。

那怎么求呢，顯然可以繼續(xù)遞歸下去。

不難發(fā)現(xiàn)，a和b的值是一直在減小的（和輾轉(zhuǎn)相除法一樣，），邊界條件也和輾轉(zhuǎn)相除法一樣，即。

那么當(dāng)時(shí)會(huì)發(fā)生什么呢？（假如已經(jīng)遞歸了n次）

顯然，此時(shí)可取任何整數(shù)，不妨設(shè)為0（寫123456也沒事）。

然后就可以遞歸回去了，最后得到的一組解。

大功告成！

代碼：

#include<bits/stdc++.h>int a,b; int x,y;void ex_gcd(int a,int b) {if (b==0) {x=1;y=0;//隨便寫其他整數(shù)值也可以 return ;//別忘返回了，不然進(jìn)死循環(huán)爆系統(tǒng)棧 }ex_gcd(b,a%b);int tmp=x; x=y;y=tmp-a/b*y; }int main(){scanf("%d%d",&a,&b);ex_gcd(a,b);printf("%d %d\n",x,y);return 0; }

解同余方程時(shí)是一樣的（把模數(shù)看成b，給等式右邊減去y個(gè)b），只不過要輸出x的最小正整數(shù)解【洛谷P1082 同余方程】：

（wait!問題轉(zhuǎn)化看這里）

#include<bits/stdc++.h>int a,b; int x,y;void ex_gcd(int a,int b) {if (b==0) {x=1;y=0; return ;}ex_gcd(b,a%b);int tmp;tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y; }int main(){scanf("%d%d",&a,&b);ex_gcd(a,b);while (x<0) x+=b;printf("%d\n",x%b);return 0; }

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總結(jié)

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