目錄

步驟

基本概念

時間序列分解

疊加 / 乘積模型

使用SPSS的實例

步驟

指數平滑模型

Simple模型

線性趨勢模型

布朗線性趨勢模型

阻尼趨勢模型

簡單季節性

溫特加法模型

溫特乘法模型

一元時間序列分析的模型

基礎概念

平穩時間序列、白噪聲序列

差分方程及其特征方程

滯后算子

AR(p)模型(auto regressive) 自回歸

特征方程判斷平穩性

計算的例子

MA(q)模型(moving average)

MA模型和AR模型的關系

ARMA(p,q)模型

選擇p、q的方法

ACF自相關系數、PACF偏自相關系數

AIC、BIC準則

檢驗模型是否識別完全

ARIMA(p,d,q)模型 差分

SARIMA(Seasonal ARIMA)模型

SPSS實例及論文內容

附錄

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步驟

數據預處理：SPSS填補缺失值；生成時間變量、畫出時間序列圖

觀察時間序列圖，判斷有沒有季節性波動、且是季度或月度數據

• 季節性規律 + 季節性波動恒定：季節性分解的加法模型
• 季節性規律 + 季節性波動隨時間有變化（如遞增）：乘法模型

數據圍繞均值上下波動，無趨勢、季節性：數據是平穩序列

用SPSS專家建模得出最佳模型

結果是?ARIMA(p,0,q) 模型，畫出時間序列的樣本 ACF 和 PACF 圖形進行分析；

是 ARIMA(p,1,q) 模型，先對數據進行 1?階差分后，再用 ACF 和 PACF 圖形分析；

結果與季節性相關（如溫特加法乘法模型、SARIMA），用時間序列分解

基本概念

時間序列：也稱動態序列，是指將某種現象的指標數值按照時間順序排列而成的數值序列

組成要素：

時間要素：年、季度、月、周、日、小時、分鐘、秒

數值要素

時點序列：數值要素反映現象在一定時點上的瞬間水平
時期序列：數值要素反映現象在一定時期內發展的結果
時期序列可加、時點序列不可加

時間序列分解

分解為：

• 長期趨勢?(Secular trend, T)
• 季節趨勢(Seasonal Variation, S) ：一般以月、季、周為時間單位，不能以年作單位
• 循環變動( CyclicalVariation, C) ：以年為周期
• 不規則變動( IrregularVariation, I) ：白噪聲 / 擾動項

疊加 / 乘積模型

疊加：數據的因變量/指標數值的最終變動?Y = T+S+C+I

乘積：Y = T×S×C×I

使用時間序列分解為上述模型的條件：

• 數據有年內的周期性，如月份/季度，年份數據就不行
• 在時間序列圖上隨時間推移，波動越來越大 --- 乘積模型；波動恒定 --- 疊加模型；不存在季節波動 --- 兩個都可

使用SPSS的實例

首先處理時間序列中的缺失值：缺失值在首尾，直接刪除數據；在中部則不能刪除，要替換缺失值

上圖中替換缺失值的方法：

• 序列平均值：整個序列的平均數
• 臨近點的平均數：相鄰若干個點的平均數（默認2個點）
• 臨近點的中位數
• 線性插值：相鄰的兩個點的平均數
• 鄰近點的線性趨勢：將時期作為x 時間序列值作為y進行回歸

定義時間變量：

畫出時間序列圖，看用疊加 or 乘積模型，并對圖做解釋：有季節周期性，波動不大 - 疊加；季節周期性，波動大 - 乘積

進行季節性分解（即把 Y 分解為 T、S、C、I）?

解讀結果：季節因子的正負，如果是乘積模型則是倍數關系

畫出分解后的序列圖：

步驟

時間序列分解用于預測未來

? 作時間序列圖； ? 判斷時間序列包含的變動成分； ? 時間序列分解（有周期性且包含長期趨勢、季節變動或循環變動）； ? 建立時間序列分析模型； ? 預測未來的指標數值。

指數平滑模型

名稱	適用條件	與之類似的ARIMA模型
簡單指數平滑法（Simple模型）	不含趨勢T、不含季節S成分	ARIMA（0,1,1）
線性趨勢模型(linear trend)	線性趨勢、不含季節	ARIMA （ 0,2,2 ）
阻尼趨勢模型(Damped trend)	線性趨勢逐漸減弱、不含季節成分	ARIMA （ 1,1,2 ）
簡單季節性(Simple seasonal)	含有穩定的季節成分、不含趨勢
溫特加法模型(Winters' additive)	含有線性趨勢和穩定的季節成分
溫特乘法模型(Winters' multiplicative)	含有線性趨勢和不穩定的季節成分	不存在

?

Simple模型

簡單指數平滑法（Simple模型）

不含趨勢T、季節S成分

ARIMA（0,1,1）

關于平滑系數 𝛼 的選取原則： 1 、時間序列不規則的起伏變化、長期趨勢接近一個穩定常數， α 值一般較小（ 取 0.05‐0.02 之間 ） 2 、時間序列迅速明顯的變化傾向，則 α 應該取較大值（取 0.3‐0.5 ） 3 、時間序列變化緩慢，亦應選較小的值（一般在 0.1‐0.4 之間）

只能預測往后一期數據！！！由公式決定?因為預測后兩期的數據需要后一期的數據，而后一期的數據等待被預測 還未知

線性趨勢模型

（Holt）線性趨勢模型(linear trend)

線性趨勢、不含季節

ARIMA （ 0,2,2 ）

缺點：對未來預測值過高，特別是長期預測

布朗線性趨勢模型

α = β 時，即認為水平與趨勢平滑參數相等

阻尼趨勢模型

阻尼趨勢模型(Damped trend)

線性趨勢逐漸減弱且不含季節成分

ARIMA （ 1,1,2 ）

解決Holt線性趨勢模型對未來長期預測值過高：加入阻尼效應

簡單季節性

簡單季節性(Simple seasonal)

含有穩定的季節成分、不含趨勢

溫特加法模型

溫特加法模型(Winters' additive)

含有線性趨勢和穩定的季節成分

?

SPSS會返回各個參數的估計值，預測型不需要關注參數的顯著性，解釋型才要

溫特乘法模型

溫特乘法模型(Winters' multiplicative)

含有線性趨勢和不穩定的季節成分

不存在

乘法模型預測出來比加法模型的波動大

一元時間序列分析的模型

基礎概念

平穩時間序列、白噪聲序列

（弱）平穩的條件：

白噪聲序列：均值為0的特殊平穩時間序列

有（季節性）波動的不是平穩的時間序列，因為均值在某一季度達到最大，不是固定常數

差分方程及其特征方程

差分：用于轉化為平穩的時間序列

AR自回歸的差分方程：與自身之前的因素有關

MA移動平均的差分方程：與以往的隨機擾動項相關

?

特征方程的解決定時間序列是否平穩，怎么求特征方程：x的最高階數就是 y 中滯后的期數

?

滯后算子

滯后 p 期 就是 L的 p 次方；d 階差分 就是 (1-L)^p*yt；季節差分 m為周期

?

AR(p)模型(auto regressive) 自回歸

? ? ? ?自回歸只適用于預測與自身前期相關的經濟現象，即受自身歷史因素影響較大的經濟現象，如礦的開采量，各種自然資源產量等 ? ? ? ?對于受社會因素影響較大的經濟現象（即存在其他影響因素構成的變量，用自回歸會有內生性），不宜采用自回歸，而應使用可納入其他變量的向量自回歸模型（多元時間序列）

?與自身以前的數據有關，所以模型中包含以前的 y；還包含一個單獨的參數、隨機擾動項：

特征方程判斷平穩性

計算的例子

MA(q)模型(moving average)

MA模型和AR模型的關系

移動平均模型的可逆性：可以將1階移動平均模型MA轉換為無窮階的自回歸模型AR，可以將 MA(q) 模型也轉換為無窮階的自回歸過程 MA參數較少，簡化了AR 只要q是常數，MA(q)模型一定平穩

ARMA(p,q)模型

由AR與MA組成，MA一般是平穩的，所以ARMA的平穩性判定方法就是AR的判定方法：特征方程根的模長

選擇p、q的方法

ACF自相關系數、PACF偏自相關系數

將數據轉化為平穩序列后才能用ACF、PACF；自相關系數可用于判斷是否是白噪聲

?

PACF：兩個數據的ACF受這兩個數中間數據的影響，而PACF剔除了中間數據的影響

ACF、PACF判斷用哪個模型合適：AR? MA? ARMA

AR模型中有與自己以往數據相關的變量 y ，所以與自身以往有關（沒有剔除中間數據關系）的系數ACF拖尾，PACF截尾（PACF剔除了中間數據關系，yt 的值只與 y(t-p) 即前p期的值有關，與再之前的值無關 所以截尾），階數p就是PACF的截尾處

MA中只有隨機擾動項有關的系數，所以ACF截尾，但PACF拖尾

ARMA都拖尾

?

實際作圖中有兩條線，線內的值當作0處理：

ARMA很難識別階數，用極大似然估計

AIC、BIC準則

目的是在模型選擇過程中，平衡模型復雜度（模型參數個數決定，越少越好）、模型對數據解釋能力（回歸中用擬合優度或誤差平方和SSE，誤差平方和越小、擬合優度越大，解釋能力越好；這里使用極大似然估計，極大似然函數的值越大越好）的關系

只追求解釋能力：過擬合問題

根據 AIC、BIC 的大小，選出最小的那個模型

檢驗模型是否識別完全

根據上面步驟選完模型后，檢查殘差是不是白噪聲； 殘差不是白噪聲，則說明還有部分信息沒有被模型所識別，需要修正模型 是白噪聲，則說明我們選取的模型能完全識別出時間序列數據的規律，即模型可接受 根據前面提到過的來判斷是不是白噪聲： 假設檢驗：是白噪聲 p小于0.05 就需要修正；不小于則模型可以

?

ARIMA(p,d,q)模型 差分

前面討論的都是平穩時間序列，這里討論 d 階單位根的序列 —— 差分處理 轉化為平穩的

SARIMA(Seasonal ARIMA)模型

加入了季節的因子：

SPSS實例及論文內容

先填補缺失值

畫出時序圖并分析：圖總體有（向上）的趨勢，有明顯的季節性變化，考慮使用時間序列分解；波動較為恒定，使用加法的時間序列分解

畫出加法時間序列分解圖并分析：季節因子等（見前面的筆記）

然后我們利用SPSS的專家建模器為我們選擇了（溫特加法模型）（把下圖的工作 原理寫入論文）：

把溫特加法模型的公式及參數解釋、SPSS得出的參數估計值寫入論文：

?

然后對白噪聲進行殘差檢驗與分析（SPSS專家建模中勾選下面的殘差ACF、PACF）：

（把上圖和表寫入論文）

在 95% 置信水平下，我們得到預測值...并進行分析：

根據參數估計值寫出公式：

?

附錄

股票預測更好的模型：GARCH模型（廣義的自回歸條件異方差模型）

注意異常值，可用SPSS去除異常值：

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模：14 时间序列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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