???????? 傅里葉變換（Fourier transform）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國學者傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來命名以示紀念。

哦，傅里葉變換原來就是一種變換而已，只是這種變換是從時間轉(zhuǎn)換為頻率的變化。這下，你就知道了，傅里葉就是一種變換，一種什么變換列?就是一種從時間到頻率的變化或其相互轉(zhuǎn)化。

ok，咱們再來總體了解下傅里葉變換，讓各位對其有個總體大概的印象，也順便看看傅里葉變換所涉及到的公式，究竟有多復雜：
以下就是傅里葉變換的4種變體（摘自，維基百科）
連續(xù)傅里葉變換
???一般情況下，若“傅里葉變換”一詞不加任何限定語，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”。連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)f（t）表示成復指數(shù)函數(shù)的積分或級數(shù)形式。

這是將頻率域的函數(shù)F(ω)表示為時間域的函數(shù)f（t）的積分形式。頻域是離散的，時域是連續(xù)的。

連續(xù)傅里葉變換的逆變換 (inverse Fourier transform)為：

即將時間域的函數(shù)f（t）表示為頻率域的函數(shù)F(ω)的積分。

一般可稱函數(shù)f（t）為原函數(shù)，而稱函數(shù)F(ω)為傅里葉變換的像函數(shù)，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個傅里葉變換對（transform pair）。

除此之外，還有其它型式的變換對，以下兩種型式亦常被使用。在通信或是信號處理方面，常以來代換，而形成新的變換對:

?或者是因系數(shù)重分配而得到新的變換對：

?一種對連續(xù)傅里葉變換的推廣稱為分數(shù)傅里葉變換（Fractional Fourier Transform）。分數(shù)傅里葉變換(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里葉變換(Fourier transform,FT)的廣義化。
分數(shù)傅里葉變換的物理意義即做傅里葉變換 a 次，其中 a 不一定要為整數(shù)；而做了分數(shù)傅里葉變換之后，信號或輸入函數(shù)便會出現(xiàn)在介于時域(time domain)與頻域(frequency domain)之間的分數(shù)域(fractional domain)。

當f（t）為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）時，其正弦（或余弦）分量將消亡，而可以稱這時的變換為余弦變換（cosine transform）或正弦變換（sine transform）.

另一個值得注意的性質(zhì)是，當f（t）為純實函數(shù)時，F(?ω) = F*(ω)成立.

傅里葉級數(shù)
???連續(xù)形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數(shù) (Fourier series)的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對于周期函數(shù)，其傅里葉級數(shù)是存在的：

其中Fn為復幅度。對于實值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級數(shù)可以寫成：

其中an和bn是實頻率分量的幅度。

離散時域傅里葉變換
???離散傅里葉變換是離散時間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時作為后者的近似）。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數(shù)的逆變換。

離散傅里葉變換
?? 離散傅里葉變換（DFT），是連續(xù)傅里葉變換在時域和頻域上都離散的形式，將時域信號的采樣變換為在離散時間傅里葉變換（DTFT）頻域的采樣。在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應(yīng)當被認為是離散周期信號的主值序列。即使對有限長的離散信號作DFT，也應(yīng)當將其看作經(jīng)過周期延拓成為周期信號再作變換。在實際應(yīng)用中通常采用快速傅里葉變換以高效計算DFT。

?? 為了在科學計算和數(shù)字信號處理等領(lǐng)域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數(shù)xn定義在離散點而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下，使用離散傅里葉變換（DFT），將函數(shù)xn表示為下面的求和形式：

其中Xk是傅里葉幅度。直接使用這個公式計算的計算復雜度為O（n*n），而快速傅里葉變換（FFT）可以將復雜度改進為O（n*lgn）。（后面會具體闡述FFT是如何將復雜度降為O（n*lgn）的。）計算復雜度的降低以及數(shù)字電路計算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號處理領(lǐng)域十分實用且重要的方法。

?? 下面，比較下上述傅立葉變換的4種變體，

???如上，容易發(fā)現(xiàn)：函數(shù)在時（頻）域的離散對應(yīng)于其像函數(shù)在頻（時）域的周期性。反之連續(xù)則意味著在對應(yīng)域的信號的非周期性。也就是說，時間上的離散性對應(yīng)著頻率上的周期性。同時，注意，離散時間傅里葉變換，時間離散，頻率不離散，它在頻域依然是連續(xù)的。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的傅立叶变换学习（一）初步认识傅立叶变换的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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