關于貝特朗奇論的一點思考

貝特朗奇論這個名字就很奇怪，我最開始以為是貝特朗奇的某個論點或者命題，但是百度了一下發現原來是貝特朗(Bertrand)的“奇論”，最初用以批判當時尚不嚴謹的概率論，并將概率論引向公理化。

貝特朗奇論是指：在單位圓內隨機地取一條弦，其長超過該圓內接等邊三角形的邊長√3的概率等于多少？有如下三個解法：

1.將弦的一段固定在等邊三角形的某一個頂點上，然后另一端繞著圓周旋轉。可以在圖一中發現，只有當另一端點位于上方的圓弧時，這條弦的長度才會超過三角形的邊長，由此可得所求概率為1/3。

2.根據幾何學原理，圓內弦的長度與弦到圓心的距離有關。從圖二可以看出，當弦心距小于1/2時，這條弦的長度大于三角形邊長，所以這樣求出的概率為1/2。

3.再來考慮一條弦的中點，根據圖三可以得出：只有當弦的中點位于半徑為1/2的小圓內部時這條弦的長度才滿足要求，同時因為這個小圓的面積是大圓的1/4，所以所求概率也是1/4。

(不放圖了)

這個問題其實本來也沒有很特別，不是很難于理解。同一個問題有三個不同的解是因為語詞有一定的模糊性，模糊的界定得到模糊的概率。“作弦”這個詞本身是一個結果性的動作，而沒有涉及過程。不同的過程去達到這個結果成功的可能性自然有所差別，而如果能明確規定過程，那么概率也就能明確確定。比如我達到某目標可以有三種方法，成功概率分別為20%,40%,80%，但是如果問“我做成這件事的概率是多少？”是不明確也沒有意義的，只有明確用哪種方法的概率才是明確的。

但這個問題還是引發了一點點的思考。下面一些想法可能在以后會學到，百度上似乎也有一些文章寫相關的問題。

首先是如何確定參數。取什么參數為隨機實際上決定了試驗方法。方法一以與圓周上另一端點的相對位置為隨機變量(等價于弦切角為隨機變量，后面會寫為什么)，方法二以弦心距為唯一的隨機變量，方法三以弦中點的位置為隨機變量，實際上涉及x,y兩個變量。一個變量分布在一維的線上，兩個變量要用幾何概型表示。方法三涉及兩個變量因此用了幾何概型的面積比來計算，布豐投針的實驗中針的分布也涉及兩個變量，也動用了幾何概型和微積分表示面積再做除法來計算。

均勻分布問題。我覺得這是一個很核心的問題。選取不同的變量，在變量均勻變化的同時，因變量的變化規律并不一定相同。

先舉一個例子，假設一條直線l與線外一點A，過A做l的垂線，垂足H，我們觀察該點與線上一點點B連線的長度變化的規律。現在同樣面臨如何取參數的問題。第一種方法是取BH均勻變化，這樣可以由勾股定理得到AB長度；第二種方法是去角BAH均勻變化，這時AB長度為AH除以角BAH的余弦。顯然，兩種方法取變量并讓變量均勻變化時因變量變化是不一樣的。現在類似的構造和貝特朗奇論類似的問題，我們如果再要計算AB>2AH，就會發現這和貝特朗奇論實際上完全是一個問題。

但再延伸一點，可以發現如果A在l上，l不是一條直線而是一個半圓弧時，角的均勻變化等效于點在圓弧上的均勻變化，這也是為什么說方法一圓周上另一端點的相對位置為隨機變量等價于弦切角為隨機變量。

在百度上看到一些文章寫某某方法不正確，其實主要是認為該方法沒有保證按某個要求均勻分布，但我又沒有理由保證必須要用哪個變量均勻分布。我覺得沒有足夠的理由反駁哪種方法是錯誤的。

最后一個問題是，我們能不能通過實驗來確定這個概率是多少。這也是一個矛盾的問題。試圖用實驗來確定這個“概率”就等于是事先承認有一個理念化的絕對的概率存在，它不以人為轉移。然而在實際處理的時候，我們又不得不選用一定的方法。如果我們試圖用計算機模擬實驗，我們random的實際上是狀態參數，但以哪個參數為隨機變量就涉及了方法的問題。另外還可以設想在地上畫一個圓，然后隨機地往地上扔一些直線來與圓相交成弦。我覺得這樣看似合理，但實際上只是理想試驗，人不可能“隨機地”扔一些直線(但這個問題還是困擾著我)。

By MiltonDeng

總結

以上是生活随笔為你收集整理的贝特朗奇论 用计算机,关于贝特朗奇论的一点思考的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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