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什么是四元數

復數是由實數加上虛數單位 i 組成，當中

i2 = -1

相似地，四元數都是由實數加上三個元素 i、j、k 組成，并且它們有例如以下的關系：

i2 = j2 = k2 = ijk = -1

每一個四元數都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數一般可表示為a + bi + cj + dk。

關于四元數的歷史

四元數是由哈密頓在1843年愛爾蘭發現的。當時他正研究擴展復數到更高的維次（復數可視為平面上的點）。他不能做到三維空間的樣例，但四維則造出四元數。依據哈密頓記述，他于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運河（Royal
Canal）上散步時突然想到
i2 = j2 = k2 = ijk = -1
的方程解。之后哈密頓立馬將此方程刻在附近布魯穆橋（Brougham Bridge，現稱為金雀花橋 Broom Bridge）。

不僅僅如此，哈密頓還創造了向量的內外積（大神就是大神，創造力旺盛啊-_-!）。他亦把四元數描繪成一個有序的四重實數：一個標量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。若兩個標量部為零的四元數相乘，所得的標量部便是原來的兩個向量部的標量積的負值，而向量部則為向量積的值，但它們的重要性仍有待發掘。

四元數的記法

一個四元數包括一個標量分量和一個3D向量分量。常常記標量分量為w，記向量分量為單一的v或分開的x，y，z。兩種記法分別例如以下：

[w,v]

[w,(x,y,z)]

四元數的性質(當年計算機圖形學考的就是這題。。嗚嗚嗚~~)

四元數不像實數或復數那樣，它的乘法是不可交換的，比如

i j = k, ， j i = -k ;

j k = i ， k j = -i ;

k i = j ， i k = -j .

四元數是除法環的一個樣例。除了沒有乘法的交換律外，除法環與域是相類的。特別地，乘法的結合律仍舊存在、非零元素仍有唯一的逆元素。

負四元數

四元數能求負。做法非常直接：將每一個分量都變負。

-q = - [ w ( x y z ) ] = [ -w ( -x -y -z ) ]

= - [ w v ] = [ -w -v ]

ps：q 和 - q代表的實際角位移是同樣的，因此，3D中的隨意角位移都有兩中不同的四元數表示方法，它們互相為負。(由于繞某個軸旋轉360°物體相當于沒有旋轉)

單位四元數

幾何上，存在兩個單位四元數，它們代表沒有角位移：[ 1, 0 ] 和 [ -1, 0 ]

數學上，實際僅僅有一個單位四元數 [ 1 , 0 ] 用隨意四元數q乘以單位四元數，結果仍是q。數學上覺得[ -1 , 0]不是正在的單位四元數。

四元數的模、共軛和逆

四元數的模的記法和求法公式：

四元數的共軛記作 q*
，可通過讓四元數的向量部分變負來獲得。

四元數的逆記作，定義為四元數的共軛除以它的模。

四元數的乘法(叉乘)

四元數叉乘滿足結合律，但不滿足交換律。

(ab)c=a(bc)

ab≠ba

四元數乘積的模等于模的積

||pq|| = ||p|| ||q||

四元數的“差”

四元數的“差”被定義為一個方位到還有一個方位的角位移。換句話說，給定方位a和b，就能計算a旋轉到b的角位移d。

四元數點乘

對于單位四元數a和b，有-1 ≤ a·b ≤ 1。通常我們僅僅關心a·b的絕對值，由于a·b=-(a·-b)，所以b和-b代表同樣的角位移。

四元數點乘的幾何解釋類似于向量點乘的幾何解釋。四元數點乘a·b的絕對值越大，a和b代表的角位移越相似。

四元數的對數、指數和標量乘運算

四元數求冪

對四元數求冪在3D編程中很實用，由于它能夠從角位移中抽取一部分，比如四元數q代表一個角位移，如今想得到代表1/3這個角位移的四元數，能夠計算q^1/3

四元數數冪的求法

在實際3D轉換中我們使用這個的代碼進行抽取角位移的部分

// 四元數（輸入、輸出）
float w,x,y,z;
// 指數（輸入）
float zhishu;
// 為了避免除零，我們這里做一個推斷，由于第一個變量時cos，所以這里是.9999f
if (fabs(w) < .9999f) {
// 提取半角alpha
float alpha = acos(w);
// 計算新的alpha
float newAlpha = alpha * exponent;
// 計算新的w值
w = cos(newAlpha);
// 計算新的xyz的值
float temp = sin(newAlpha) / sin(alpha);
x *= temp;
y *= temp;
z *= temp;
}

使用程序前應先進行單位四元數的檢查，由于w=±1會導致temp的計算中出現除零的現象，假設檢測出是單位四元數，直接返回原四元數就可以。

四元數插值

當今3D數學中四元數存在的理由是由于一種叫做slerp的運算，它是球面線性插值的縮寫(Spherical Linear Interpolation)。slerp運算很實用，由于它能夠在兩個四元數間平滑插值。slerp運算避免了歐拉角插值的全部問題。

slerp是一種三元運算，這意味著它有三個操作數。前兩個操作數是兩個四元數，將在它們中間插值。設這兩個開始和結束的四元數分別為q0和q1.差值參數設為變量 t，t 在0到1之間變化。slerp函數：slerp(q0,q1,t)
將返回q0和q1之間的插值方位。

// 兩個輸入四元數
float w0,x0,y0,z0;
float w1,x1,y1,z1;
// 差值變量
float t;
// 輸出四元數
float w,x,y,z;
// 用點乘計算兩個四元數夾角的cos值
float cosJiao = w0*w1 + x0*x1 + y0*y1 + z0*z1;
// 假設點乘為負，則反轉一個四元數以取得短的4D弧
if (cosJiao < 0.0f) {
w1 = –w1;
x1 = –x1;
y1 = –y1;
z1 = –z1;
cosJiao = –cosJiao;
}
// 檢查防止除零
float k0, k1;
if (cosJiao > 0.9999f) {
// 假設很接近，就線性插值
k0 = 1.0f–t;
k1 = t;
} else {
// 利用三角公式sin2+cos2=1計算sin值
float sinJiao = sqrt(1.0f – cosJiao*cosJiao);
// 通過sin和cos計算角度
float Jiao = atan2(sinJiao, cosJiao);
// 計算分母的倒數從而避免使用除法
float oneOverSinJiao = 1.0f / sinJiao;
// 計算插值變量
k0 = sin((1.0f – t) * Jiao) * oneOverSinJiao;
k1 = sin(t * Jiao) * oneOverSinJiao;
}
// 插入值
w = w0*k0 + w1*k1;
x = x0*k0 + x1*k1;
y = y0*k0 + y1*k1;
z = z0*k0 + z1*k1;

嘿嘿，四元數這個地方確實有點難度。。只是3D總體都不太簡單，全部好好加油！

—End—

參考文獻： （1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》

（2） 維基百科

（3） 《計算機圖形學》

總結

以上是生活随笔為你收集整理的3D数学读书笔记——四元数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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