時間復雜度
算法分析

同一問題可用不同算法解決，而一個算法的質量優劣將影響到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于選擇合適算法和改進算法。一個算法的評價主要從時間復雜度和空間復雜度來考慮。

一、時間復雜度

（1）時間頻度

一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。并且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。一個算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為T(n)。

（2）時間復雜度

在剛才提到的時間頻度中，n稱為問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現什么規律。為此，我們引入時間復雜度概念。

一般情況下，算法中基本操作重復執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n),使得當n趨近于無窮大時，T（n)/f(n)的極限值為不等于零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n)),稱O(f(n)) 為算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。

在各種不同算法中，若算法中語句執行次數為一個常數，則時間復雜度為O(1),另外，在時間頻度不相同時，時間復雜度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4與T(n)=4n2+2n+1它們的頻度不同，但時間復雜度相同，都為O(n2)。

按數量級遞增排列，常見的時間復雜度有：

常數階O(1),對數階O(log2n),線性階O(n),

線性對數階O(nlog2n),平方階O(n2)，立方階O(n3),…，

k次方階O(nk),指數階O(2n)。隨著問題規模n的不斷增大，上述時間復雜度不斷增大，算法的執行效率越低。

2、空間復雜度

與時間復雜度類似，空間復雜度是指算法在計算機內執行時所需存儲空間的度量。記作:

S(n)=O(f(n))

我們一般所討論的是除正常占用內存開銷外的輔助存儲單元規模

二、常見算法時間復雜度：

O(1): 表示算法的運行時間為常量

O(n): 表示該算法是線性算法

O(㏒2n): 二分查找算法

O(n2): 對數組進行排序的各種簡單算法，例如直接插入排序的算法。

O(n3): 做兩個n階矩陣的乘法運算

O(2n): 求具有n個元素集合的所有子集的算法

O(n!): 求具有N個元素的全排列的算法

優<---------------------------<劣

O(1)<O(㏒2n)<O(n)<O(n2)<O(2n)

時間復雜度按數量級遞增排列依次為：常數階O(1)、對數階O(log2n)、線性階O(n)、線性對數階O(nlog2n)、平方階O(n2)、立方階O(n3)、……k次方階O(nk)、指數階O(2n)。

三、算法的時間復雜度（計算實例）

定義：如果一個問題的規模是n，解這一問題的某一算法所需要的時間為T(n)，它是n的某一函數 T(n)稱為這一算法的“時間復雜性”。

當輸入量n逐漸加大時，時間復雜性的極限情形稱為算法的“漸近時間復雜性”。

我們常用大O表示法表示時間復雜性，注意它是某一個算法的時間復雜性。大O表示只是說有上界，由定義如果f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個上界，但并不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。

此外，一個問題本身也有它的復雜性，如果某個算法的復雜性到達了這個問題復雜性的下界，那就稱這樣的算法是最佳算法。

“大O記法”：在這種描述中使用的基本參數是 n，即問題實例的規模，把復雜性或運行時間表達為n的函數。這里的“O”表示量級 (order)，比如說“二分檢索是 O(logn)的”,也就是說它需要“通過logn量級的步驟去檢索一個規模為n的數組”記法 O ( f(n) )表示當 n增大時，運行時間至多將以正比于 f(n)的速度增長。

這種漸進估計對算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，一個低附加代價的O(n2)算法在n較小的情況下可能比一個高附加代價的 O(nlogn)算法運行得更快。當然，隨著n足夠大以后，具有較慢上升函數的算法必然工作得更快。

O(1)

Temp=i;i=j;j=temp;

以上三條單個語句的頻度均為1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間復雜度為常數階，記作T(n)=O(1)。如果算法的執行時 間不隨著問題規模n的增加而增長，即使算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間復雜度是O(1)。

O(n^2)

2.1. 交換i和j的內容

sum=0； （一次）for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）sum++； （n^2次 ）

解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.

for (i=1;i<n;i++){y=y+1; ① for (j=0;j<=(2*n);j++) x++; ② }

解： 語句1的頻度是n-1

語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2該程序的時間復雜度T(n)=O(n^2).

O(n)

2.3.

a=0;b=1; ①for (i=1;i<=n;i++) ②{ s=a+b;　　　　③b=a;　　　　　④ a=s;　　　　　⑤}

解： 語句1的頻度：2,

語句2的頻度： n, 語句3的頻度： n-1, 語句4的頻度：n-1, 語句5的頻度：n-1, T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

O(log2n )

2.4.

i=1; ①while (i<=n)i=i*2; ②

解： 語句1的頻度是1,

設語句2的頻度是f(n), 則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n 取最大值f(n)= log2n,T(n)=O(log2n )

O(n^3)

2.5.

for(i=0;i<n;i++){ for(j=0;j<i;j++) {for(k=0;k<j;k++)x=x+2; }}

解：當i=m, j=k的時候,內層循環的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,…,m-1 , 所以這里最內循環共進行了0+1+…+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+…+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間復雜度為O(n^3).

我們還應該區分算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最 壞情況運行時間是 O(n^2)，但期望時間是 O(nlogn)。通過每次都仔細 地選擇基準值，我們有可能把平方情況 (即O(n^2)情況)的概率減小到幾乎等于 0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以 (O(nlogn)時間運行。

下面是一些常用的記法：

訪問數組中的元素是常數時間操作，或說O(1)操作。一個算法如 果能在每個步驟去掉一半數據元素，如二分檢索，通常它就取 O(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字符的串需要O(n)時間 。常規的矩陣乘算法是O(n^3)，因為算出每個元素都需要將n對 元素相乘并加到一起，所有元素的個數是n^2。

指數時間算法通常來源于需要求出所有可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的算法將是O(2n)的 。指數算法一般說來是太復雜了，除非n的值非常小，因為，在 這個問題中增加一個元素就導致運行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名 的“巡回售貨員問題” )，到目前為止找到的算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況， 通常應該用尋找近似最佳結果的算法替代之。

總結

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