真空衰變對事件概率的影響

在對一些哲學問題思考了一段時間后，于2019年三月寫下了這一篇論文。當然，這篇論文是不能發表的，因為它的內容不深刻（只用到高等數學），理論成立的可能性太小，而且過于有意思。注意：在這篇論文中，沒有任何一個地方在開玩笑。請看：
摘要
到目前為止，并沒有文獻提出觀測真空衰變效應的可行實驗。本文首先討論了事件的概率以及對真空衰變的一種考察方法，得出了真空衰變對其他事件的概率的影響公式。接著，提出了有可能可以檢驗本文中理論的實驗方法，并計算了這個實驗中需要用到的概率公式$$P^D(t)=\frac{p(1?exp(?(p+\mu )t)}{p+\mu exp(?(p+\mu )t)}$$最后，討論了真空衰變的實際應用。衷心希望本文中的實驗方案可以最終證明粒子加速器是安全的。
關鍵詞：真空衰變，概率，粒子加速器

一、引言

自從量子力學被提出開始，出現了很多關于量子力學解釋的爭論。人們提出了很多實驗來區分兩種較為重要的解釋：哥本哈根解釋和多世界理論[1]，但這些實驗的要求都遠遠超出現有的科技水平。真空衰變[2]是量子場論和宇宙學中的一個具有爭議的問題。根據最新的實驗觀測[3]和計算結果[4]、[5]，幾乎可以肯定我們宇宙的真空處于介穩態，但我們仍然不能確定真空衰變可以發生。如果真空衰變可以發生，那么粒子加速器的使用就有可能觸發真空衰變[6]（雖然目前的加速器觸發真空衰變的概率非常小[7]）。在本文中，我們假設粒子加速器可以觸發真空衰變，并且我們將重點考察這一假設。過去有論文[8]指出，多世界理論和真空衰變可能會導致宇宙中出現一些可觀測的大尺度結構，但是，這些結構暫時沒有被觀測到。
為了嘗試解決上述問題，本文通過多世界理論推導出事件的觀測概率的公式，然后通過解微分方程的方法得出了通過粒子加速器檢驗真空衰變并同時在某種程度上檢驗多世界理論的簡單方法，并且指出了真空衰變在高能物理和日常生活中廣泛的應用前景。

二、有關多世界理論的討論及事件概率的定義

多世界理論認為，任何一個孤立系統的演化（近似地）符合薛定諤方程。所以，我們當前的宇宙應該是一系列波函數的疊加態。其中，有些波函數中我們根本沒有出生，另一些中根本不存在地球。假如任何一個時刻我們都隨機地感知到我們宇宙的某個波函數，那么將會出現一個問題：我們是否有可能在下一時刻 “感知”到一個狀態，這個狀態中不存在我們？
我們不能排除這種情況的可能性，但是必須指出一點：上述情況不具有可觀測的現象。若發生上述情況，則我們并不能感知到我們處于那種狀態。
可以認為上面的討論支持如下觀點：1.必須從我們考慮的狀態中除去那些不能被我們觀測到的狀態（這個觀點在“量子自殺”思想實驗[9]中首次被提出）。2.物理規律與是否存在有意識的觀察者無關，但是有意識的觀察者觀測到的現象和他自己有關。
在下文中，我們主要對事件的概率進行討論。下文中的“概率”有兩個不同的定義，我們在這里分別說明：
第一個定義為：對于某一個初態，在經過一段時間后，若末態可以寫為$${\lambda }_1{\psi }_1+{\lambda }_2{\psi }_2$$其中$${\psi }_1$$中A發生，$${\psi }_2$$中A不發生（雖然“事件A發生”這個陳述在某些情況下會比較模糊，例如，當A代表真空衰變時就是這樣，但這種模糊性不影響本文中的討論），則稱A發生的概率為$$P(A)=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_1^{?}}{{\lambda }_1{\lambda }_1^{?}+{\lambda }_2{\lambda }_2^{?}}(1)$$其中*表示取共軛。
第二個定義為：對于某一個初態及某個觀察者O，在經過一段時間后，若末態可以寫為$${\mu }_1{\phi }_1+{\mu }_2{\phi }_2$$其中在$${\phi }_1$$中O具有觀測A是否發生的能力（簡單地說，就是O活著），在$${\phi }_2$$中O不具有觀測A是否發生的能力（簡單地說，就是O死了），并且$${\phi }_1$$可以寫為$${\lambda }_1{\psi }_1+{\lambda }_2{\psi }_2$$其中$${\psi }_1$$中A發生,$${\psi }_2$$中A不發生，則稱A相對于O發生的概率為$$P(A,O)=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_1^{?}}{{\lambda }_1{\lambda }_1^{?}+{\lambda }_2{\lambda }_2^{?}}(2)$$

三、真空衰變對事件概率的影響

現在，我們考察如下問題：對于一個觀察者O，將可以殺死O的事件統稱為B；O正在觀測一個事件A發生的概率，假設A發生的概率為P(A)。顯然，A相對于O發生的概率為
$$P(A,O)=P(A│\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(A)?P(AB)}{1?P(B)}(3)$$其中$$\overline{B}$$表示B的對立事件。所以，當且僅當A與B互相獨立時$$P(A,O)=P(A)$$在這一節接下來的討論中，為了方便起見，我們認為能夠殺死人的事件只有真空衰變，這相當于在上面的討論中將B取為真空衰變。由于真空衰變發生的概率不可能恰為1，故公式（3）不會出現問題。并且，因為真空衰變可以殺死所有人，所以沒有必要指明觀察者O到底是誰。這樣，我們得到公式$$P^D(A)=P(A│\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P\overline{B})}=\frac{P(A)?P(AB)}{1?P(B)}(4)$$其中$$P^D(A)$$表示A相對于任意觀察者發生的概率。
由公式（4）可知$$P^D(A)>P(A)?P(AB)<P(A)P(B)?P(B│A)<P(B)(5)$$從（5）可以看出：若人為地設置：“A的發生導致真空衰變的概率減小”，例如A一旦發生就關閉粒子加速器，那么會觀測到A發生的概率增大。反之，若人為地設置：“A的發生導致真空衰變的概率增大”，例如A一旦發生就打開粒子加速器，那么會觀測到A發生的概率減小。在下文中我們將說明：這兩個現象并不違背因果律。
事實上，由于高能物理中反應截面就是概率，故真空衰變對反應截面有影響。并且，因為各種場之間都有直接或間接的相互作用，所以真空衰變對所有物理現象都有影響。如果運氣好的話，真空衰變可能可以解釋為何希格斯場的有效自相互作用不為0：因為高階修正中的高能量過程導致真空衰變，所以它們對相互作用的貢獻沒有我們原來認為的那么大。

四、在粒子加速器上檢驗本文中理論的方法

取一放有適量放射性元素的容器C，其中放射性元素的量使得在?t時間內檢測到放射性衰變的概率為p?t（p可以精確測量），并且放射性元素的半衰期足夠長，使得p在相當長的一段時間內幾乎不變。將C連接到某個正常運行的粒子加速器上，取定一個時間t，并設置：一旦在t時間內檢測到放射性衰變，就停止粒子之間的撞擊（例如：在回旋加速器中，可以改變磁感應強度使得束流不再相互對準），若達到t時間時仍然沒有檢測到放射性衰變，那么也停止粒子之間的撞擊。記在t時間內檢測到放射性衰變的概率為$$P^D(t)$$其中括號里的t表示“在t時間內檢測到放射性衰變”這一事件。多次進行實驗，測量$$P^D(t)$$下面，我們計算P^D (t)的表達式。假設粒子加速器正常運行時，在?t時間內發生真空衰變的概率為μ?t。記t時間內未檢測到放射性衰變并且未發生真空衰變的概率為P1(t)，記t時間內未檢測到放射性衰變并且發生真空衰變的概率為P2(t)，記t時間內檢測到放射性衰變并且未發生真空衰變的概率為P3(t)，記t時間內檢測到放射性衰變并且發生真空衰變的概率為P4(t)。這樣，我們可以列出四個簡單的微分方程：$$?\begin{array}{l}dP1(t)=?(p+\mu )P1(t)dt\\ dP2(t)=\mu P1(t)dt\\ dP3(t)=pP1(t)dt\\ dP4(t)=P1(t)pdt\mu dt=0\end{array}(6)$$再加上初始條件$$P1(0)=1(7)$$解得$$?\begin{array}{l}P1(t)=exp?(?(p+\mu )t)\\ P2(t)=\frac{\mu }{(p+\mu )}[1?exp?(?(p+\mu )t)]\\ P3(t)=\frac{p}{(p+\mu )}[1?exp?(?(p+\mu )t)]\\ P4(t)=0\end{array}(8)$$由公式（4）$$P^D(t)=\frac{P3(t)}{1?P2(t)?P4(t)}=\frac{p[1?exp?(?(p+\mu )t)]}{p+\mu exp?(?(p+\mu )t)}(9)$$記Q(t)為正常狀態下在t時間內檢測到放射性衰變的概率，則$$Q(t)=1?exp?(?pt)(10)$$在不知道μ的具體數值時，如果在實驗中測得$$Q(t)>P^D(t)$$就說明本文中的理論可能正確。在N次實驗后，測得的概率的誤差為
$$\sigma =\sqrt{P^D(t)(1?P^D(t))/N}(11)$$$$Q(t)>P^D(t)$$的統計顯著性為$$\frac{Q(t)?P^D(t)}{\sigma }=\frac{Q(t)?P^D(t)}{\sqrt{P^D(t)(1?P^D(t))/N}}(12)$$
于是，為了得到kσ的統計顯著性，所需的實驗次數為
$$N(t)=\frac{P^D(t)(1?P^D(t))}{(Q(t)?P^D(t){)}^2}{k}^2=k^2\frac{(p(p+\mu )exp?((p?\mu )t)[1?exp?(?(p+\mu )t)]}{[p(1?exp?(?\mu t))?\mu exp?(?\mu t)(1?exp?(?pt)){]}^2}(13)$$
上述公式只有在N(t)的數值較大時成立，當通過（13）計算出的N(t)小于1時，我們應當認為N(t)=1。于是，為了得到kσ的統計顯著性，所需的實驗總時間為
$$T(t)=tN(t)=\{\begin{array}{l}tN(t)(N(t)\ge 1)\\ t(N(t)<1))\end{array}(14)$$假設我們需要8σ的統計顯著性。經過數值計算，在μ固定時，取
$$p=0.162544k^2\mu ,t=5.36011k^2/\mu (15)$$時，所需實驗總時間最少，此時總時間為$$T_{m}in=5.36011k^2/\mu (16)$$正好等于（15）中的t。
上述實驗至少有三個問題：1.對于我們目前建造的粒子加速器來說，μ可能很小，所以可能需要花很長時間才能得到結論；2.粒子加速器故障導致真空衰變無法發生，即故障發生導致真空衰變概率減小，所以粒子加速器開著時發生故障的概率會增大；3.真空衰變可能不能在我們的宇宙中發生。
上面三個問題中，第一個問題可以通過建造更大的粒子加速器來解決，第二個問題可以通過不斷地修復粒子加速器來解決。第三個問題是無法解決的，不過，即使真空衰變不能發生，我們還是可以用“量子自殺”思想實驗中的不切實際的方法檢驗本文中的公式（3）：我們可以把真空衰變換作其他可以殺死觀察者的事件。

五、真空衰變的應用

上文中提到一個現象：若人為地設置：“A的發生導致真空衰變的概率減小”，那么會觀測到A發生的概率增大。這個現象似乎違背了因果律：真空衰變發生在A之后，卻影響了A發生的概率，即結果先于原因。
上述問題的解釋可能是：真空衰變發生之前，觀測到的事件A的概率沒有受到影響。在真空衰變發生之后，事件A沒有發生的狀態有更大的可能發生真空衰變，此時觀測到的事件A發生的概率受到影響。
上述現象使得真空衰變可以幫助人們實現愿望。例如，我們可以設置：“如果某人的愿望沒有實現，那么我們就打開粒子加速器”。
如果真空衰變不能在我們的宇宙中發生，但是本文中的公式（3）是正確的，那么我們仍然有兩個不太現實的方法辦法幫人們實現愿望。第一種方法是：人為地設置：“若某人A的愿望沒有實現，則殺死A”，這種方法可以保證A感覺自己實現了愿望，但是其他人則可能看到A被殺死。第二種方法是：人為地設置：“若某人A的愿望沒有實現，則殺死所有人”，這種方法可以保證所有人都感覺A實現了他的愿望。
如果真空衰變真的可以發生，并且本文中的理論是正確的，那么我們可能需要制定法律來控制人們對粒子加速器的使用。
我們必須注意到一個問題：如果我們真的計劃在本文中理論被驗證之后開始應用真空衰變，那么本文中理論被驗證的概率就會減小。這是因為：如果本文中理論被驗證，那么由于我們不斷地應用真空衰變，真空衰變在我們的宇宙中發生的概率就會比理論不被驗證的情況大很多，進而導致本文中理論被驗證的概率減小。不過，人類的行為太過復雜，有可能我們并不能這么武斷地得到這個結論。
我想，真空衰變的最強大的潛在應用是：它或許可以改變物理規律，尤其是基本物理常數。例如，目前（2019年3月）萬有引力常數的測量值為$$6.67408(31)\times 10^{?11}$$如果我們打開粒子加速器，然后設置：“如果測得萬有引力常數小于$$6.6735\times 10^{?11}$$就關閉粒子加速器”，那么經過一段時間后，萬有引力常數的測量值就可能真的變得比$$6.6735\times 10^{?11}$$小。但是，我們不必擔心。如果萬有引力常數的測量值真的變小，這只能說明我們之前測量的時候運氣不好，而不會導致恒星爆炸

六、利用真空衰變促使極稀有事件發生

現在，我們考慮一個稍復雜些的模型。
我們希望觀測到一個極稀有事件H。取一探測器C，設C在?t時間內檢測到H發生的概率為p?t。取一粒子加速器，設加速器正常運行時，在?t時間內出故障的概率為q?t，發生真空衰變的概率為r?t。一旦出現故障，便派工人去修復故障，為了列出一個簡單的微分方程組，我們將維修加速器的效應作如下處理：對于一個出現故障的加速器，假設?t時間內修好加速器并打開的概率為s?t。將C連接到一個正常運行的粒子加速器上，取定一個較大的時間t，并設置：一旦在t時間內檢測到H發生，就停止粒子之間的撞擊；若達到t時間時仍然沒有檢測到H發生，那么也停止粒子之間的撞擊（注：t表示總時間，包括加速器正常運行的時間和加速器故障的時間）。記在t時間內檢測到H發生的概率為$$P^D(t)$$其中括號里的t表示“在t時間內檢測到H發生”這一事件。多次進行實驗，直到H發生為止。
下面，我們計算$$P^D(t)$$的表達式，從而了解怎樣設置t才能使我們盡量快地檢測到H發生。記t時間內未檢測到H發生，未發生真空衰變并且t時刻儀器正常的概率為P1(t)；記t時間內未檢測到H發生，未發生真空衰變并且t時刻儀器故障的概率為P2(t)；記t時間內未檢測到H發生并且發生真空衰變的概率為P3(t)；記t時間內檢測到H發生的概率為P4(t)。這樣，我們可以列出四個簡單的微分方程：$$?\begin{array}{l}dP1(t)=?(p+q+r)P1(t)dt+sP2(t)dt\\ dP2(t)=?(p+s)P2(t)dt+qP1(t)dt\\ dP3(t)=rP1(t)dt\\ dP4(t)=p(P1(t)+P2(t))dt\end{array}(17)$$再加上初始條件$$P1(0)=1(18)$$可以求得四個概率的表達式（由于表達式太復雜，故本文不具體給出）。由公式（4），$$P^D(t)=\frac{P4(t)}{1?P3(t)}(19)$$計算結果表明：在$$P^D(t)?1$$時，$$P^D(t)$$隨著t的增大而指數增長，并且$$P^D(t)\approx 1$$時，隨著t的增大，$$P^D(t)$$快速地趨向于1。所以，我們只要將t設置成$$|ln(p)|$$的數量級，使得$$P^D(t)\approx 1$$就很可能僅通過一次實驗就檢測到H發生。
將H取為事件：在每隔$$t_0$$時間就有一個質量為m，能量為E的粒子入射至長度為a，高度為$$V(V?E)$$的勢壘的情況下，有一個粒子穿透勢壘。在正常情況下，H在?t時間內發生的概率約為$$\frac{16E}{V{t}_0}exp(?2a\sqrt{2m(V?E)/{?}^2})?t[10]$$所以，通過上述實驗觀測到H發生時間大約與$$a\sqrt{m(V?E)}$$成正比，這是一個很重要的結論，它的一個推論是：如果大統一理論的X、Y玻色子存在，那么用上述方法觀測到質子衰變平均花費的時間與X、Y玻色子的質量大致成正比。

七、另一種理論

多世界理論的基本假設是：任何一個孤立系統的演化（近似地）滿足薛定諤方程。在這個假設之上，DeWitt發展了一種理論[11]，這種理論認為我們的宇宙在某些情況下會不斷地分裂成所有可能的狀態，從而形成一種樹形結構。由于DeWitt理論有一些缺點，例如沒有說明宇宙到底在怎樣的時刻會“分裂”，所以，在前文中，我們并沒有考慮這個理論。事實上，從DeWitt的理論和一個額外的假設出發，可以得出與上文中的理論不同的另一個理論。
現在，我們假設DeWitt的理論成立。設宇宙在t=0時處于未分裂的狀態Ψ。由于我們著重考慮真空衰變，所以我們假設宇宙每次分裂都分成兩個狀態，其中一個狀態發生真空衰變，另一個不發生真空衰變。設t=t_0的前一刻，宇宙已經分裂為$$P_i{\psi }_i(i=1,2,3,\dots )(其中P_i{\psi }_i表示宇宙處于狀態{\psi }_i的概率為P_i)$$并且在$$t=t_0$$時$${\psi }_1$$分裂為$$Q_1{?}_1和Q_2{?}_2$$其中$${?}_1$$發生了真空衰變，$${?}_2$$不發生真空衰變。
若采用前文中的理論，那么在$$t=t_0$$時，宇宙分裂為$$P_1{Q}_1{?}_1、P_1{Q}_2{?}_2和P_i{\psi }_i(i=2,3,4,\dots )$$即宇宙處于狀態$${?}_1$$的概率為$$P_1{Q}_1$$處于狀態$${?}_2$$的概率為$$P_1{Q}_2$$處于狀態$${\psi }_i(i=2,3,4,\dots )$$的概率為$$P_i$$但是上面的理論只是一種可能，另一種可能是：在$$t=t_0$$時，宇宙分裂為$$P_1{?}_1和P_i{\psi }_i(i=2,3,4,\dots )$$即宇宙處于狀態$${?}_1$$的概率為$$P_1$$處于狀態$${?}_2$$的概率為0，處于狀態$${\psi }_i(i=2,3,4,\dots )的概率為P_i$$我們把前一種可能的理論（即前文中的理論）稱為“理論1”，后一種可能的理論簡稱為“理論2”。
如果用理論2來考察第四節中的實驗，可以發現觀測到的放射性衰變概率仍然為正常狀態下的概率，即$$P^D(t)=Q(t)=1?exp?(?pt)$$如果用理論2來考察第六節中的實驗，同樣可以發現在t時間內檢測到H發生的概率等于正常狀態下的概率。
事實上，理論2帶來的效果是：我們不能觀測到真空衰變，也不能觀測到真空衰變對事件概率的影響。在理論2成立的條件下，如果人為地設置：“A的發生導致真空衰變的概率減小”，那么觀測到的A發生的概率將不會有任何變化。所以，理論2不會像理論1那樣看起來違背因果律。
真空衰變和觀察者似乎在理論2中起了特殊的作用，所以理論2不大可能是對的。但是，如果我們確認真空衰變在我們的宇宙中可以發生，并且我們無法觀測到真空衰變以及真空衰變對事件概率的影響，那么就說明理論2是正確的。

八、結論

從上面的討論和計算中可以看出，在理論1成立的條件下，真空衰變必然有可觀測現象，而在理論2成立的條件下，真空衰變不能影響事件的概率。為了判斷到底哪個理論正確（當然兩個理論可能都不正確），只要在粒子加速器上連接一個可以檢測放射性衰變的儀器，這顯然十分地方便，并且不會花費太多的資金。希望這個實驗可以盡快進行。

參考文獻
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總結

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