本篇內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、奇偶性、周期性。

單調(diào)性

設(shè)區(qū)間D
單調(diào)遞增： 對(duì)任意的x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁<x₂恒有f(x₁)<f(x₂)
單調(diào)遞減： 對(duì)任意的x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁<x₂恒有f(x₁)>f(x₂)

對(duì)稱性

軸對(duì)稱

f(x)關(guān)于x=x_a軸對(duì)稱的含義：若(x₁+x₂)/2=x_a (x_a為常數(shù))，則f(x₁)=f(x₂)

比如f(1+x)=f(-2-x)，(1+x)+(-2-x)=-1,所以f(x)關(guān)于x=-(1/2)對(duì)稱

中心對(duì)稱

f(x)關(guān)于(a,b )中心對(duì)稱的含義：若(x₁+x₂)/2=a ，則[f(x₁)+f(x₂)]/2=b

奇偶性

奇函數(shù)

奇函數(shù)的性質(zhì)

定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

f(x)+f(-x)=0 <=> f(-x)=-f(x)

關(guān)于(0,0)對(duì)稱

奇函數(shù)f(0)不一定存在，如果f(0)存在，f(0)=0

偶函數(shù)

偶函數(shù)的性質(zhì)

定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

f(-x)-f(x)=0 <=> f(-x)=f(x)

關(guān)于x=0對(duì)稱

敲黑板：只有奇次冪的函數(shù)是奇函數(shù)，只有偶次冪的函數(shù)是偶函數(shù)，任意函數(shù)都可以拆分為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和
證明：
例題
證明f(x)=x+x²為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和

不僅非奇非偶函數(shù)可以拆分為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，奇函數(shù)（或偶函數(shù)）也可以如此拆分，結(jié)果一部分為奇函數(shù)（或偶函數(shù)）另一部分為0

周期性

f(x)以T為周期的性質(zhì)

f(x+T)=f(x)

f(x-T)=f(x)

T為周期，2T、3T…nT都是周期

周期性的數(shù)學(xué)描述
若x₁-x₂=T，則f(x₁)=f(x₂)<=>以T為周期

f(x)以t為反周期的性質(zhì)
emmm“反周期”這個(gè)名字引用了永樂(lè)大帝的自制概念，實(shí)際上是沒(méi)有這個(gè)東西的，具體是什么東西往下看吧。

f(x+t)=-f(x)

f(x-t)=-f(x)

T=2t
到這應(yīng)該知道t是個(gè)什么了，愛(ài)怎么叫都行，我就叫他反周期（有時(shí)候也叫小周期 doge）
反周期的數(shù)學(xué)描述
若x₁-x₂=t，則f(x₁)=-f(x₂)<=>以t為反周期

小結(jié)

辨識(shí)下列函數(shù)分別代表什么性質(zhì)？
①f(1+x)+f(1-x)=0
②f(1+x)-f(1-x)=0
③f(x+1)+f(x-1)=0
④f(x+1)-f(x-1)=0

解析：
①(1+x)+(1-x)=2,對(duì)稱性，f(1+x)+f(1-x)=0,和為常數(shù)，點(diǎn)對(duì)稱，f(x)關(guān)于(1,0)點(diǎn)對(duì)稱
②(1+x)+(1-x)=2,對(duì)稱性，f(1+x)-f(1-x)=0，差為常數(shù)，或f(1+x)=f(1-x)，函數(shù)值相等，軸對(duì)稱，f(x)關(guān)于x=1軸對(duì)稱
③(x+1)-(x-1)=2,周期性，f(x+1)=-f(x-1)，反周期t=2，周期T=4
④(x+1)-(x-1)=2,周期性，f(x+1)=f(x-1)，周期T=2
敲黑板 干貨來(lái)了
對(duì)稱、周期、奇偶之間的關(guān)系，上圖

我把這個(gè)圖叫三角關(guān)系圖，還是兩個(gè)三角關(guān)系，圖中共有6個(gè)關(guān)系,刺不刺激？好了上解釋。
以左邊為例，如果已知一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)，反周期為2a，則其對(duì)稱軸為x=a；如果已知一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)，對(duì)稱軸為x=a，則反周期為2a；如果一個(gè)函數(shù)有對(duì)稱軸x=a，反周期為2a可得次函數(shù)為奇函數(shù)。

舉其中一個(gè)關(guān)系的例子證明，已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(x)關(guān)于x=a軸對(duì)稱，證明T=2a
∵f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱
∴f(x)=f(2a-x)
∵f(x)為偶函數(shù)
∴f(2a-x)=f(x-2a)
得 f(x)=f(x-2a)

總結(jié)

本篇內(nèi)容為函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性和周期性，先說(shuō)奇偶性，后面兩個(gè)對(duì)照理解

• 奇偶性：首先無(wú)論奇偶，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)有f(x)-f(-x)=0，奇函數(shù)有f(x)+f(-x)=0，奇函數(shù)還有一條，不一定在x=0處有定義，比如反比例函數(shù)f(x)=1/x就是奇函數(shù)，但在x=0處沒(méi)有定義，但是如果奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義，則f(0)=0
• 對(duì)稱性和周期性：判斷對(duì)稱性和周期性，首先看自變量的關(guān)系，然后看函數(shù)值的關(guān)系。若自變量和為常數(shù)即為對(duì)稱性，函數(shù)值和為常數(shù)——點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)值相等——軸對(duì)稱。若自變量差為常數(shù)，即為周期性，函數(shù)值相等為周期，函數(shù)值相反為反周期。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的函数的奇偶性、周期性和单调性的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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