黎曼ζ函數,中文維基百科
黎曼$\zeta$函數$\zeta (s)$的定義如下： 設一復數 $s$，其實數部分 $>1$,而且：

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$

它亦可以用積分定義：

$$\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}{\int }_0^{\infty }\frac{x^{s?1}}{e^x?1}\mathrm{d}x$$

在區域 $s:Re(s)>1$上，此無窮級數收斂并為一全純函數（其中$Re$表示復數的實部，下同）。歐拉在1740年考慮過$s$為正整數的情況，后來切比雪夫拓展到$s>1$。[2]波恩哈德·黎曼認識到：$\zeta$ 函數可以通過解析開拓來擴展到一個定義在復數域$(s,s=1)$上的全純函數$\zeta (s)$。這也是黎曼猜想所研究的函數。

雖然黎曼的 $\zeta$ 函數被數學家認為主要和“最純”的數學領域數論相關，它也出現在應用統計學（參看齊夫定律（Zipf’s Law）和齊夫-曼德爾布羅特定律（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及調音的數學理論中。

目錄

1 歷史
1.1 奧里斯姆
1.2 歐拉
1.3 黎曼
1.4 阿達馬與普森
1.5 希爾伯特
1.6 玻爾與蘭道
1.7 哈代與李特爾伍德
1.8 塞爾伯格
2 解析延拓
3 和數論函數的關系
4 佩龍公式
5 和素數的關系
5.1 歐拉乘積
5.2 更進一步的聯系
5.2.1 黎曼階梯素數計數函數
5.2.2 切比雪夫函數
6 零點
7 函數值
7.1 當s為正整數
7.2 s趨近于1
7.3 負整數
7.4 復數值
7.5 幅角
7.6 函數值表
7.7 臨界線上的數值計算
8 參考資料
9 相關條目

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總結

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