前言

沒時間了，進度拖了兩周 ! 好想游泳！

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目錄

• • 前言
  • 量子數
  • 泡利不相容原理
  • 核外電子排布
  • 能級分裂成能帶
  • • 允帶禁帶價帶導帶
    • 固體中的導帶價帶
  • Kronig-Penney模型
  • • 單個原子勢函數
    • 一維單晶勢函數
    • 一維周期性勢函數
    • 求能量E與勢函數V與k的關系
  • 自由粒子的E-k關系
  • k空間能帶圖
  • • 簡約布里淵區
  • 固體電
  • • 本征激發
    • 能帶和鍵模型

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量子數

主量子數n

n=1,2,… 正整數，是 決定軌道能量（電子能量） 的主要的量子數。一般來說，同一元素軌道增加，n增大。

主量子數相同的軌道，電子出現的幾率最大的范圍是相同的，所以主量子數相同的軌道劃為一個電子層。主量子數越大，電子離核越遠。

角量子數l

l=0,1,2,…,n-1 其中n是主量子數。角量子 決定電子空間運動角動量 。也決定原子軌道和電子云形狀。

在多原子中，與主量子數共同決定電子能量高低。

磁量子數m

$?l\le m\le +l$ 取范圍內所有整數。原子軌道（電子云）在空間中有 $2l+1$ 個伸展方向——每一個伸展方向稱為一個軌道。

磁量子數表示 軌道角動量方向沿磁場的分量 。

自旋量子數$m_s$

$m_s=\frac{1}{2}$ ，記 $\uparrow$ ，表示電子順磁場方向 ，逆時針自旋。

$m_s=?\frac{1}{2}$ ，記 $\downarrow$ ，表示電子逆磁場方向 ，順時針自旋。

自旋量子數 決定電子自旋的角動量方向沿磁場的分量

電子有兩個方向的自旋，順時針方向的自旋和逆時針方向的自旋。

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一個軌道最多只能容納自旋相反的兩個電子，也就是只能容納兩個量子態

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泡利不相容原理

在費米子組成的系統中，不能有兩個或兩個以上的粒子處于完全相同的狀態。

原子中的電子的泡利不相容原理：

不能有兩個或兩個以上的電子具有完全相同的四個量子數 ，或者說在軌道量子數$m、l、n$確定的一個原子軌道上最多可容納兩個電子，并且這兩個電子自旋方向必須相反。

——這是電子在核外排布形成周期性，以解釋元素周期表的準則之一

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核外電子排布

核外電子排布遵循泡利不相容原理、能量最低原理、洪特規則。

能量最低原理：核外電子先占有能量最低的軌道，當低能量軌道被占滿后，電子才進入能量較高 的軌道。

洪特規則：電子在能量相同的軌道（等價軌道）上排布時，總是盡可能分占不同的軌道，且自旋方向相同，因為這樣排布總能量最低。

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能級分裂成能帶

兩個或多個原子的相互作用或者微擾動，會導致離散的能級分裂成兩個分立的能級。

如果將最初相矩很 遠 的原子按一定規律周期排列起來，當他們聚到一起，能級就會分裂成很多能級，這些能級的能量范圍就是能帶。所以也可以說是當他們聚到一起，能級就會分裂成能帶。

$r_0$表示晶體中平衡原子間的距離。

能帶內不同能級能量差別小，有時候可以認為能量是準連續分布的。

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原子聚集成的系統，無論大小怎么變化，量子總數都不變。根據泡利不相容原理，任何兩個電子不能有完全相同的四個量子數，所以離散的能級必須分裂成一個能帶，這樣保證每個電子占據不同的量子態

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允帶禁帶價帶導帶

允帶就是能帶，是由一條能級分裂成的一組差別很小的能級。

禁帶就是能帶之間能量密度為零的能量區間

當原子處于基態，她的電子會從最低能級向上填充，被填滿的能帶叫滿帶，滿帶中能量最高的一條叫價帶。

因為價帶被電子填滿，所以不導電，而高于價帶的能帶是不滿的，能導電，稱為導帶

• 導帶價帶都是對于電子而言的，能級越高電子能量越大。如果是空穴，那就是導帶中不導電（全是空穴），價帶中導電（沒有空穴）。

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固體中的導帶價帶

半導體中導帶價帶間有禁帶，絕緣體中的禁帶寬度更大，電子不可能躍遷過去。金屬中沒有禁帶，導帶和價帶重合，電子不需要躍遷就可以導電了。

• 能級和軌道有關，能級低的軌道低，該軌道的電子云更靠近核

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Kronig-Penney模型

單個原子勢函數

電子勢函數 $V(r)\propto \frac{1}{r}$ ，離原子越遠的電子，勢越小。勢函數描述原子間相互作用，勢越小，表示電子受原子的作用越小。

脫離原子作用的電子，能量越來越大。能級越來越高。

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一維單晶勢函數

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一維周期性勢函數

Kronig-Penney模型是一維單晶的理想化模型，但也可以說明周期晶格中電子的量子狀態的很多重要特點

每一個勢壘就是一個原子作用范圍，電子在勢壘間被束縛，稱為束縛態電子，其勢能$V$小于勢壘勢能$V_0$

布洛赫數學定理：存在一波矢量$k$ ，使得 $\psi (r+R_n)=\psi (r)exp(ik{R}_n)$ 對屬于布拉維格子的所有格矢量 $R_n$ 都成立

為了得到薛定諤方程的解，利用布洛赫數學定理，所有周期性變化的單電子勢函數必須寫成

$$\psi (x)=u(x)exp(ikx)$$

其中k是運動常量，$u(x)$是以a+b為周期的函數

通過量子力學可知，波動方程是由與時間無關的部分加上與時間有關的部分組成的，即

$$\Psi (x,t)=\psi (x)?(t)=u(x)exp(ikx)exp(?i\frac{E_{n}t}{?})=u(x)exp\left\{i[kx?\frac{E_{n}t}{?}]\right\}$$

方程表示電子在單晶材料中的運動。波的整幅是周期函數，k表示波數

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求能量E與勢函數V與k的關系

一維，定態，與時間無關的薛定諤方程為

$$E\psi (x)=\left[?\frac{{?}^2}{2m}{?}^2+V(r)\right]\psi (x)$$

化成

$$\frac{{?}^2\psi (x)}{?x^2}+\frac{2m}{{?}^2}(E?V(x))\psi (x)=0(1)$$

假設區域1（$0\le x\le a$）內$V=0$,對單電子勢函數求二階導有

$${\psi }^{\prime \prime }=\left\{u^{\prime \prime }+2ik?u^{\prime }?k^2?u\right\}exp(ikx)$$

代入(*)有

$$u^{\prime \prime }+2ikx?u^{\prime }+({\alpha }^2?k^2)u=0$$
其中 ${\alpha }^2=2mE/{?}^2$

解得區域1內，假設$V=0$的電子運動的波的振幅函數為

$$u_1(x)=Aexp\left\{i[\alpha ?k]x\right\}+Bexp\left\{?i[\alpha +k]x\right\}0\le x\le a$$

同理，在區域2（$?b\le x\le 0$），假設 $V=V_0$,則

$$u_2(x)=Cexp\left\{i[\beta ?k]x\right\}+Dexp\left\{?i[\beta +k]x\right\}?b\le x\le 0$$

其中

$${\beta }^2=\frac{2m}{{?}^2}(E?V_0)={\alpha }^2?\frac{2m{V}_0}{{?}^2}$$

在$x=0$處,波振幅連續，并且勢函數$\psi (x)$和一階導數${\psi }^{\prime }(x)$ 也連續，有

$$\{\begin{array}{l}{u}_1(0)=u_2(0)\\ u_1^{\prime }(0)=u_2^{\prime }(0)\end{array}$$

$$?\begin{array}{l}A+B?C?D=0(1)\\ \\ (\alpha ?k)A?(\alpha +k)B?(\beta ?k)C+(\beta +k)D=0(2)\end{array}$$

因為Kronig-Penne模型的一維周期勢函數的周期性和連續性，有

$$\{\begin{array}{l}{u}_1(a)=u_2(?b)\\ u_1^{\prime }(a)=u_2^{\prime }(?b)\end{array}$$

$$?\begin{array}{l}A{e}^{i(\alpha ?k)a}+B{e}^{?i(\alpha +k)a}?C{e}^{?i(\beta ?k)b}?D{e}^{i(\beta +k)b}=0(3)\\ \\ (\alpha ?k)A{e}^{i(\alpha ?k)a}?(\alpha +k)B{e}^{?i(\alpha +k)a}?(\beta ?k)C{e}^{?i(\beta ?k)b}+(\beta +k)D{e}^{i(\beta +k)b}=0(4)\end{array}$$

(1)(2)(3)(4)四個式子組成齊次方程組，A,B,C,D是未知數，系數矩陣就是A,B,C,D的系數。行列式為零時，A,B,C,D有非零解

經過復雜的運算得到如下方程

$$?\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{2\alpha \beta }sin\alpha a?sin\beta b+cos\alpha a?cos\beta b=cosk(a+b)$$

這個方程已經將參數k、能量E、勢函數$V_0$聯系起來了。

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當電子處于晶體的束縛中$V<V_0$，又因為$\beta$的虛數，不妨定義

$$\beta =i\gamma$$

$$\frac{{\gamma }^2?{\alpha }^2}{2\alpha \gamma }sin\alpha a?sin\gamma b+cos\alpha a?cos\gamma b=cosk(a+b)$$

方程得不到解析解，只能通過數值和圖形得到$k、E、V_0$的關系

• 對于一個單獨的被束縛的束縛態粒子，薛定諤方程解的結果是分立的能量，即允帶的能量分布

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令勢壘寬度$b\to 0$,勢壘高度$V_0\to \infty$ ，這樣的話$b{V}_0$仍然有限。方程化成

$$P^{\prime }\frac{sin\alpha a}{\alpha a}+cos\alpha a=coska$$

$$P^{\prime }=\frac{m{V}_{0}ba}{{?}^2}$$

$$\alpha =\frac{\sqrt{2mE}}{?}$$

這樣化成的方程不是薛定諤波動方程的解，只是給出了一個解的條件。

如果晶體無限大，則方程中的$k$可以假設為連續的實值！！！

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自由粒子的E-k關系

由
$$?\begin{array}{l}P=mv\\ \\ E=\frac{P^2}{2m}\\ \\ P=?k\end{array}$$

有

$$?\begin{array}{l}v=\frac{?k}{m}\\ \\ E=\frac{{?}^2{k}^2}{2m}\end{array}$$

隨著波矢量$k$的連續變化，自由電子能量是準連續的。
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不存在真正的自由電子
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k空間能帶圖

由${\alpha }^2=2mE/{?}^2$ 有 $E={?}^2{\alpha }^2/2m$

令$k、E、V_0$的關系方程為

$$\begin{gathered} f(\alpha ?a)=P^{\prime }\frac{sin\alpha a}{\alpha a}+cos\alpha a=coska \\ =cos(ka+2n\pi ) \\ =cos(ka?2n\pi ) \end{gathered}$$

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簡約布里淵區

把E-k關系圖中的不同允帶，以$2\pi$為周期平移到簡約布里淵區內。簡約布里淵區對應的波矢量稱為簡約波矢

第一布里淵區（簡約布里淵區）：$?\pi /a<k<\pi /a$

第二布里淵區：$?2\pi /a<k<?\pi /a,\pi /a<k<2\pi /a$

第三布里淵區：$?3\pi /a<k<?2\pi /a,2\pi /a<k<3\pi /a$

。
。
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• 當$k=2n\pi /a,n為除零外的整數$時，能量不準連續，形成允帶和禁帶。所以禁帶出現在$k=2n\pi /a$ 處
• $E(k)=E(k+2n\pi /a)$ ，E(k)是k的周期函數，周期$2\pi /a$，所以考慮能帶結構的時候，只需要考慮第一布里淵區就行了
• 每一個布里淵區對應一個能帶

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固體電

本征激發

共價鍵上的電子，激發稱為準自由電子的過程

價帶上的電子激發稱為導帶電子的過程

本征激發特點是成對的產生導帶電子和價帶空穴——空穴要在價帶上才導電，電子要在導帶才導電
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能帶和鍵模型

溫度升高、外加電場等情況下，原本空著的導帶變成半滿，而價帶頂，因為出現空的量子態，也變成了半滿帶。此時導帶和價帶中的電子都可以參與導電。

半導體中真正起作用的是那些能量狀態位于能帶極值附近的電子和空穴

$k=0$為能帶極值

導帶底附近

$$E(k)?E(0)=\frac{{?}^2{k}^2}{2m_n^{?}}$$

價帶頂附近
$$E(k)?E(0)=?\frac{{?}^2{k}^2}{2m_p^{?}}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的半导体器件物理【5】固体量子 —— 能带与k空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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