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一篇文章寫了1978年全國高中數學競賽的最后一題及其推廣到矩形中得到的一些結果。但上文偏向于計算，本文準備從幾何作圖角度再說說這個問題。

我們先回顧一下，上篇文章說到：

1、給定正方形ABCD及AB上點G，在AD、BC上求作E、F使得△EFG為正三角形。

解：作圖方法為：先作出正三角形ABM，對于AB上點G，過M作MG垂線與AD、BC交于E、F，則△EFG即為過G的正方形的內接正三角形。

這是因為∠GME=∠GAE=90°，于是A、G、M、E四點共圓．

∴ ∠MAG=∠MEG=60°，同理，

∠MBG=60°，即△MAB為正三角形．

顯然本結論對于矩形也是成立的，進一步對于平行四邊形ABCD呢？

2、給定平行四邊形ABCD及AB上點G，在AD、BC上求作E、F使得△EFG為正三角形

思路分析及解答：

老規(guī)矩，先假設已經作出滿足條件的正三角形EFG。

聯(lián)想到上題的證明，關鍵在于作出中點得到共圓，從而發(fā)現EF中點M為定點。本題中如果作出EF中點M，得不到共圓，后面就走不下去了。

再次回顧1中的證明，關鍵在于共圓！

從而在EF上“強行”作出點M，使得A,E,M,G共圓，

則∠GMF=∠DAB=180°-∠ABC，于是B,G,M,F四點共圓．

∴ ∠MAG=∠MEG=60°，同理，

∠MBG=60°，即△MAB為正三角形．于是M為定點。

從而作出正三角形△MAB，作△MAG外接圓交AD于E，EM交BC于F。則△EFG即為求作的正三角形。前面已經給出證明。

注：1)本題雖然是上題的推廣，不難發(fā)現其本質和上題還是相同。都是要作出正三角形ABM，EF也恒過定點M，也是兩個共圓，不同之處在于M不再是EF中點。

2)不難發(fā)現兩圓是等圓，且互相過另一圓的圓心，這和前面寫過的含有60度的三角形的性質與判定系列文章又有關系。

類似于上篇文章，這里自然的問題是什么樣的平行四邊形能做出如圖所示的正三角形？答案也是顯然的，就是M位于平行四邊形ABCD內部時可以作出。

再進一步想一下，上面的問題似乎意義不大，因為我們沒有必要非要限制此正三角形EFG頂點都要在線段內部，在延長線上也未嘗不可。

這樣我們就能掙脫平行四邊形的桎梏，讓正三角形的三個頂點在三條直線AD、AB、AC上運動了。這樣對于AB上每一個點G，都能在直線AD、BC上找到E、F，使得△EFG為正三角形。如下圖所示：

類似于上篇的第一題，這樣的正三角形邊長顯然可以任意大，故沒有最大值；但是有最小值——兩條平行直線間的距離。

這樣的正三角形必然存在了，那下面進一步的問題當然是：這樣的正三角形有幾個？即

3、給定平行四邊形ABCD及AB直線上點G，求作在直線AD、BC上的點E、F，使得△EFG為正三角形，求這樣的△EFG的個數。

由對稱性，不難想象，正三角形ABM在直線AB上下各有一個，因此所求作的正三角形也有兩個，如上圖所示：EFG,E’F’G即為所求。

由圖可知，顯然MAB,M’AB關于AB對稱，但是兩個正三角形EFG,E’F’G并不關于AB對稱。看圖感覺兩個正三角形似乎全等，這個也是不難證明的。

這是因為由以上作圖過程知

A,E,M,G共圓，A,E',M',G共圓，

則∠GEA=∠GMA=∠GM'A=∠GE'A，故GE=GE'．

到了這里，我們發(fā)現其實四邊形只是表象，本題關鍵是：

4、作出一個正三角形EFG，使得其一個頂點G固定，另兩個頂點E、F分別在兩條平行的直線上運動。

一個作法就是按上述解法，過此點G任意作一條直線與兩直線交于A、B，作正三角形ABM，

GAM外接圓交A所在直線于E，EM交另一條直線于F，則三角形EFG即為求作的正三角形，當然這樣的正三角形有兩個，而且是全等的。

為了更好看，本題也可以敘述為：

給定三條平行線，用尺規(guī)在三條線上面各找一點EFG，使其構成正三角形。

這個問題是經典問題，前段時間微信好友“西昌新高度創(chuàng)始朱小松”問到這個問題，我就決定寫一篇文章敘述此題的前世今生。

到這里自然還會提出一個問題，此正三角形由三條平行線決定，邊長如何定量的表示呢？我編過這樣一道初中中考級別的問題：

思路分析1：作出距離，利用勾股定理，列出方程并解方程即可。

解法1：如圖，作出距離，

由勾股定理得到：

思路分析2：想到上述第2題作圖方法，找到AC、HI中點M、T，用勾股定理用a,b算出BM，即可得到x表達式。

注：1)解法1思路簡單，自然，不過方程似乎不太好解，對于初中學生是一個考驗，不過通過將根式移項平方，最后其實是一個一次方程，并不算復雜。不過算是一個比較綜合的初中題，考察學生的勾股定理、解分式方程等的綜合能力，難度中等偏上，是一個不可多得好題。

2)解法2利用上述第2題結論，計算量迅速下降，很快能得到結果，算是利用幾何特征簡化運算量的典范。

3)本結論一方面定量的描述了此正三角形。另一方面也證明了所做的正三角形的邊長是唯一的，以B為圓心此長度畫圓與最上面的直線交于A，A’，即可作出所求的正三角形。

4)此題中作此正三角形的作法很多。

下面還有進一步的問題，對于問題4，如果兩條直線不平行呢？

6、給定直線m,n和直線外定點A，若m交n于E，在m、n上求作B、C，使得△ABC為正三角形;

思路分析：老規(guī)矩，還是假設正三角形ABC已經作出。一個自然的思路是希望將直線相交的情形轉化為直線平行的情形解決。這樣就可以過A作BE平行線交CE于D。即可將本題轉化為上題，以下按圖索驥即可。

解：過A作AD//m，作正三角形DEF，連接AF交m于B，作∠BAC=60°其中C在n上，則△ABC為正三角形。

證明：依題意∠BAC=60°=∠FDE，則AFCD共圓，又AD//m則∠BEC=∠ADH=∠AFC, 則BFCE共圓,故∠ABC=∠FEC =60°,故△ABC為正三角形。

這樣就能徹底解決：一點固定另兩點在兩直線上的正三角形的尺規(guī)作圖問題。本題是前幾年本人研究上篇文章第1題得到的一些結果，在2017年全國數學競賽命題人研討會上講過這個題目。后來發(fā)表在[1]上。

這里當然還有一個相關的問題，對于任意三角形如何作出其內接正三角形？即

7、給定△ABC，在三邊AB、BC、CA上作出C’、A’、B’，使得△A’?B’?C’為正三角形。

本題點當然最好也拓廣到直線上，作法可以利用第6題的解法，也有其他的解法，這樣的正三角形顯然有無數個，下面想說一下所有的正三角形的公共性質。

對密克點比較熟悉讀者知道，上面的三個三角形AB’C’, A’BC’, A’B’C外接圓交于一點S，這個倒角證明也是顯然的。故∠ASB=∠ACB+∠CAS+∠CBS

=∠ACB+∠B'C'S+∠A'C'S=∠ACB+∠B'C'A'

=∠ACB+60°,為定值，同理∠CSB=∠CAB+60°，

從而S為定點，此點一般稱為三角形ABC等力點。

因此本題另一種作法為：不難尺規(guī)作出S，對于給定點A’, △A’SB外接圓交AB于C’, △C’SA外接圓交AC于B’,則△A’?B’?C’即為求作的正三角形。

比較有意思的是，當AC//BC，即C為無窮遠點時，∠ACB=0°，∠ASB=60°，∠A’S’B’=180°-∠ACB =180°,即本題退化為問題2。

本文解決了一點固定另兩點在兩直線上的正三角形的尺規(guī)作圖問題。當然本問題還能進一步推廣到空間中，感興趣的讀者可以自行探究。

參考文獻

1 數學奧林匹克問題 ?《中等數學》2018年第8期 ?天津師范大學出版社?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的上面两点下面一个三角形_一点固定另两点在两直线上的正三角形的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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