懶得打字了，直接貼圖上來。其實還有別的方法，但是我覺得沒有我這個簡單快速直觀。下面是問題描述：

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問題

在一個2維賦范線性空間中，給定一個直角坐標系，兩個向量$\mathbf{a}$,$\mathbf{b}$，坐標分別為$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。

定義內積操作 $\mathbf{a}?\mathbf{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

證明：$\mathbf{a}?\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$, $\theta$是兩個向量的夾角。

證明

只需要旋轉一下坐標系，重新算一下兩個向量的坐標值，那么利用內積定義，即可證明出：

旋轉以后，顯然，利用三角函數定理，可以看出，新的向量 ${\mathbf{a}}^{{}^{\prime }}$,${\mathbf{b}}^{{}^{\prime }}$，坐標分別為$(|\mathbf{a}|\cos \theta ,\mathbf{a}\sin \theta )$和$(|\mathbf{b}|,0)$。因為旋轉以后內積不變（證明見文章末尾），再利用內積定義，即可得出。

題外話

這里有幾個知識點：

線性空間，向量空間，內積，長度，距離，坐標系，坐標系旋轉，基，賦范線性空間，內積，相似性。

這些都是基礎知識，除了熟練掌握，要深刻理解起來，并非易事。

最近在研究雙曲空間，發現不容易理解透。對于計算機選手，非數學系的，如果討論的空間變得復雜了，比如雙曲空間中，很容易就迷失了方向。所以還是得從基礎構建起來。

評論問題

感謝 “vcfanwxf” 評論問了一個好問題：

• 請問“旋轉后內積不變”又以什么為依據來證明呢？

回答：

這里依據的是正交基旋轉的簡單計算：假設旋轉矩陣為$R$，$a^{\prime },b^{\prime }$ 為旋轉后對應向量$a，b$的新向量，那么：$a^{\prime }=Ra，b^{\prime }=Rb$。再根據題目里內積的定義，可以寫成矩陣的形式：
$$a^{\prime }?b^{\prime }=a^{\prime T}{b}^{\prime }=(Ra{)}^{T}Rb=a^T{R}^{T}Rb=a^{T}Ib=a^{T}b=a?b$$
這里$I$就是identiy matrix，因為是直角坐標系，也就是正交基，所以旋轉矩陣$R$也是正交的，故$R^{T}R=I$.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的如何证明内积公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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