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编程问答

卷积积分性质证明

發布時間：2024/3/12 编程问答 28 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了卷积积分性质证明小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

性質證明

兩個連續信號的卷積積分定義如下：

$∫?∞∞f(τ)g(t?τ)dτ\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau)d\tau$

卷積積分滿足交換律、結合律以及分配律，其證明如下：

交換律

$f (t) ? g (t) = g (t) ? f (t)$

即 $∫?∞∞f(τ)g(t?τ)dτ=∫?∞∞g(τ)f(t?τ)dτ\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^\infty g(\tau) f(t-\tau)d\tau$

令 $\tau$ 則 $τ=t?u\tau = t - u$ (注意積分上下限的變化)

$∫?∞∞f(τ)g(t?τ)dτ\quad\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau)d\tau$

$\int_\infty^{-\infty}f(t - u)g(u)d(t - u)$

$\int_{-\infty}^\infty f(t - u)g(u)d(u)$

令 $\tau$ 上式即為 $g (t) ? f (t)$

結合律

$f (t) ? g (t) ? h (t) = f (t) ? (g (t) ? h (t))$

由交換律，等價證明 $f (t) ? g (t) ? h (t) = (g (t) ? h (t)) ? f (t)$

即 $∫?∞∞[∫?∞∞f(u)g(τ?u)du]h(t?τ)dτ=∫?∞∞[∫?∞∞g(v)h(τ?v)dv]f(t?τ)dτ\int_{-\infty}^\infty [\int_{-\infty}^\infty f(u) g(\tau-u)du] h(t - \tau)d\tau = \int_{-\infty}^\infty [\int_{-\infty}^\infty g(v) h(\tau-v) dv] f(t - \tau) d\tau$

等式左邊（最后一步改變了積分順序）：

$∫?∞∞[∫?∞∞f(u)g(τ?u)du]h(t?τ)dτ\quad \int_{-\infty}^\infty [\int_{-\infty}^\infty f(u) g(\tau-u)du] h(t - \tau)d\tau$

$\int_{-\infty}^\infty [\int_{-\infty}^\infty f(u) g(\tau-u)h(t - \tau)du] d\tau$

$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(u) g(\tau-u)h(t - \tau)d\tau du$

等式右邊：

$∫?∞∞[∫?∞∞g(v)h(τ?v)dv]f(t?τ)dτ\quad\int_{-\infty}^\infty [\int_{-\infty}^\infty g(v) h(\tau-v) dv] f(t - \tau) d\tau$

$\int_{-\infty}^\infty [\int_{-\infty}^\infty f(t - \tau) g(v) h(\tau-v) dv] d\tau$

令 $\tau$ 則 $τ=t?u\tau = t - u$ （外層積分換元，積分上下限改變）

$\int_\infty^{-\infty} [\int_{-\infty}^\infty f(u) g(v) h(t - u -v) dv] d(t - u)$

$\int_{-\infty}^\infty [\int_{-\infty}^\infty f(u) g(v) h(t - u -v) dv] du$

令 $\tau - u$ 則 $τ=v+u\tau = v + u$ （內層積分換元，積分上下限不變）

$\int_{-\infty}^\infty [\int_{-\infty}^\infty f(u) g(\tau-u) h(t - \tau) d(\tau - u)] du$

$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(u) g(\tau-u) h(t - \tau) d\tau du$

證畢

分配律

$f (t) ? (g (t) + h (t)) = f (t) ? g (t) + f (t) ? h (t)$

令 $z (x) = g (x) + h (x)$

$∫?∞∞f(τ)z(t?τ)dτ\quad\int_{-\infty}^\infty f(\tau) z(t-\tau)d\tau$

$=∫?∞∞f(τ)(g(t?τ)+h(t?τ))dτ=\int_{-\infty}^\infty f(\tau) (g(t-\tau)+h(t-\tau))d\tau$

$\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau)d\tau + \int_{-\infty}^\infty f(\tau) h(t-\tau)d\tau$

即 $f (t) ? g (t) + f (t) ? h (t)$

平移特性

卷積積分還滿足平移特性：

若 $f (t) ? g (t) = y (t)$ 則 $f(t-t_1)*g(t-t_2)=y(t-t_1-t_2)$

證明如下：

$f(t?t1)?g(t?t2)\quad f(t-t_1)*g(t-t_2)$

$=∫?∞∞f(τ?t1)g(t?τ?t2)dτ=\int_{-\infty}^\infty f(\tau-t_1)g(t-\tau-t_2)d\tau$

注意 $g(t?τ?t2)g(t-\tau-t_2)$ 怎么來的：
對于 $g (t)$ 來說，先換元 $g(τ)g(\tau)$ ，再反折 $g(?τ)g(-\tau)$ ，再右移 $t$ 個單位 $g(?(τ?t))=g(t?τ)g(-(\tau-t)) = g(t-\tau)$
同理對 $g(t-t_2)$ 來說，先換元 $g(τ?t2)g(\tau-t_2)$ ，再反折 $g(?τ?t2)g(-\tau-t_2)$ ，再右移 $t$ 個單位 $g(?(τ?t)?t2)=g(t?τ?t2)g(-(\tau-t)-t_2) = g(t-\tau-t_2)$

令 $\tau - t1$ 則 $τ=u+t1\tau = u + t1$ （積分上下限不變）

$=∫?∞∞f(u)g(t?t1?t2?u)d(u+t1)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(t-t_1-t_2-u)d(u+t_1)$

$=∫?∞∞f(u)g(t?t1?t2?u)du=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(t-t_1-t_2-u)du$

$= y (t ? t 1 ? t 2)$

小結

交換律和分配律證明比較簡單；結合律證明中用到了交換律，我并不是一下子就想到的，而是直接推導不容易，嘗試了一些先使用交換律。平移特性中對平移后的 $g (t)$ 的變換也需要注意，容易弄錯。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的卷积积分性质证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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