卷積定理的證明

一、傅里葉變換的定義

連續函數的傅里葉變換：
令$f(x)$為實變量$x$的連續函數，$f(x)$的傅里葉變換以$F\{f(x)\}$表示，則表達式為：

$F\{f(x)\}=F(u)={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)e^{?j2\pi ux}dx(3.2.1)$

式中：$j=\sqrt{?1}$ ;
傅里葉變換中出現的變量u通常稱為頻率變量。這個名稱是這樣來的：用歐拉公式將(3.2.1)式中的指數項表示成下式：

$e^{?j2\pi ux}=cos(2\pi ux)?jsin(2\pi ux)(3.2.2)$

如果將(3.2.1)中的積分解釋為離散項的和的極限，則顯然包含了正弦和余弦項的無限項的和，而且 $u$ 的每一個值確定了它對應的正弦——余弦的頻率。

$f(x)=F^{?1}\{F(u)\}={\int }_{?\infty }^{+\infty }F(u)e^{j2\pi ux}dx(3.2.3)$

若已知F(u)，則利用傅里葉反變換為式（3.2.1）和式（3.2.2），稱為傅里葉變換對，如果$f(x)$是連續的和可積的，且$F(u)$是可積的，可證明此傅里葉變換存在（我不會o(╥﹏╥)o）。事實上這些條件基本總是可以滿足的。

二 、卷積的定義

設$f(x),g(x)$是R1上的兩個可積函數，作積分：

${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(\tau )g(x?\tau )d\tau$

這個積分就定義了一個新函數h(x)，稱為函數f與g的卷積，記為$h(x)=(f?g)(x)$。即：

$h(x)=(f?g)(x)={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(\tau )g(x?\tau )d\tau$

三、 傅里葉變換的時移(Time Shift)性質

設 $t_0,w_0$ 為實常數，$F[f(t)]=F(w)$ , 則$F[f(t?t_0)]=F(w)e^{?jw{t}_0}$。
證明：首先，根據傅里葉變換公式可得：

$F[f(t?t_0)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t?t_0)e^{?jwt}dt$

令$x=t?t_0$, 則有

$F[f(t?t_0)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)e^{?jw(x+t_0)}dx=e^{?jw{t}_0}{\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)e^{?jwx}dx=F(w)e^{?jw{t}_0}$

傅立葉變換的作用在頻域對信號進行分析，我們可以把時域的信號看做是若干正弦波的線性疊加，傅立葉變換的作用正是求得這些信號的幅值和相位。既然固定的時域信號是若干固定正弦信號的疊加，在不改變幅值的情況下，在時間軸上移動信號，也就相當于同時移動若干正弦信號，這些正弦信號的相位改變、但幅值不變，反映在頻域上就是傅立葉變換結果的模不變、而相位改變。所以，時移性質其實就表明當一個信號沿時間軸平移后，各頻率成份的大小不發生改變，但相位發生變化。

四、卷積定理

卷積定理是傅立葉變換滿足的一個重要性質。卷積定理指出，函數卷積的傅立葉變換是函數傅立葉變換的乘積。換言之，一個域中的卷積對應于另一個域中的乘積，例如，時域中的卷積對應于頻域中的乘積。
設$f_1(t)$的傅里葉變換為$F_1(w)$,$f_2(t)$的傅里葉變換為$F_2(w)$ ，那么再時域上卷積定理可以表述為

$F[f_1(t)?f_2(t)]=F_1(w)F_2(w)$

相對應地，頻域上的卷積定理可以表述為

$F[f_1(t)?f_2(t)]=\frac{1}{2\pi }{F}_1(w)?F_2(w)$

這里證明時域上的卷積定理：
將卷積定義帶入傅里葉變換公式：
$F[f_1(t)?f_2(t)]={\int }_{?\infty }^{+\infty }[{\int }_{?\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t?\tau )d\tau ]e^{?jwt}dt$

$={\int }_{?\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )[{\int }_{?\infty }^{+\infty }{f}_2(t?\tau )e^{?jwt}dt]d\tau$

$={\int }_{?\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )F_2(w)e^{?jw\tau }d\tau$

$=F_2(w){\int }_{?\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )e^{?jw\tau }d\tau$

$=F_2(w)F_1(w)$

總結

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