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《用莫比乌斯带巧解内接矩形问题：拓扑学的用处》学习笔记

發(fā)布時(shí)間：2024/3/12 编程问答 34 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了《用莫比乌斯带巧解内接矩形问题：拓扑学的用处》学习笔记小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

昨天 Rocket101 孟美岐發(fā)歌了，剛剛看到，猶豫了一會(huì)磕不磕。最后含是氪了一發(fā)，唱的含行，可惜旋律一般好聽，沒有加入歌單。

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用莫比烏斯帶巧解內(nèi)接矩形問題：拓?fù)鋵W(xué)的用處。——3Blue1Brown
以下圖片部分來自視頻。

問題描述

在一個(gè)平面上，有一個(gè)首尾相接的、與自身無交點(diǎn)的曲線，求證：在這個(gè)曲線上，至少存在一組點(diǎn) $A, B, C, D$ ，使四邊形 $A B C D$ 是矩形。

感悟

視頻用拓?fù)鋵W(xué)的知識(shí)感性地證明了命題，最好全神貫注且耐心地觀看一次。
下面是筆者的復(fù)述。

復(fù)述過程

證明： 以該曲線所在平面作為 $X ? Y$ 面，建立空間直角坐標(biāo)系 $X ? Y ? Z$ 。
設(shè)曲線上有兩點(diǎn) $X(a,b,0),Y(c,d,0)X(a,b,0),\ Y(c,d,0)$ 。
定義函數(shù) $f(X,Y)=(a+c2,b+d2,(a?b)2+(c?d)2)f(X,Y)=(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2},\sqrt{(a-b)^2+(c-d)^2})$
換句話說，設(shè) $M$ 是線段 $X Y$ 的中點(diǎn)，線段 $X Y$ 的長(zhǎng)度為 $d i s$ ，則 $f (X, Y)$ 是在點(diǎn) $M$ 正上方 $d i s$ 長(zhǎng)度的點(diǎn)。如下圖所示。

對(duì)于 $?{X,Y}\forall \{X,Y\}$ ，它們的 $f$ 點(diǎn)在坐標(biāo)系中形成了一個(gè)曲面。

設(shè)矩形 $A B C D$ 對(duì)角線 $A C$ 與 $B D$ 的交點(diǎn)為 $O$ ，則 $A O = O B, C O = O D$ 。不難得到，若一點(diǎn) $M$ 既是線段 $X_1Y_1$ 的中點(diǎn)，也是線段 $X_2Y_2$ 的中點(diǎn)，且 $X_1Y_1=X_2Y_2$ ，則 $X_1,Y_1,X_2,Y_2$ 四個(gè)點(diǎn)一定能圍成一個(gè)矩形。

此時(shí) $f(X_1,Y_1)=f(X_2,Y_2)$ ，所以問題轉(zhuǎn)化為：證明 $f$ 圍成的曲面自交（此處的自交指的是，自己與自己有交點(diǎn)，也就是有重合的點(diǎn)）。

那這個(gè)東西怎么證呢？

考慮在這個(gè)曲線上選定一點(diǎn)，并沿這個(gè)點(diǎn)將曲線剪開，再拉直成一條線段。這樣，曲線上的點(diǎn)就與這條線段上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)了。

不妨設(shè)這條線段的長(zhǎng)為 $1$ ，并以其一端點(diǎn)為原點(diǎn)，線段方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系。如下圖所示。

我們不妨加上兩條邊，讓它們與坐標(biāo)軸圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為 $1$ 的正方形。

不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于 $?p∈[0,1]\forall p\in[0,1]$ 此坐標(biāo)系上的點(diǎn) $P (0, p)$ 和 $P (1, p)$ ，它們?cè)谇€上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是重合的。
換句話說，它們表示的曲線上的點(diǎn)是等價(jià)的。
同理，上下兩條邊上對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示的曲線上的點(diǎn)也是對(duì)應(yīng)等價(jià)的。

那我們就可以把這個(gè)正方形卷起來，使左右邊重合。這樣就卷成一個(gè)無蓋圓柱。

同理，如果我們?cè)侔焉舷聝蛇吘砥饋?#xff0c;就得到一個(gè)形如

的環(huán)面。（沒錯(cuò)，就是看到這里我投了兩個(gè)幣）

仔細(xì)觀察那個(gè)邊長(zhǎng)為 $1$ 的正方形。我們發(fā)現(xiàn)：將 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$ 連成線段，這個(gè)正方形上所有的點(diǎn)關(guān)于這條線段對(duì)稱。如下圖所示。

我們不妨沿這條對(duì)角線折疊，得到一個(gè)三角形。這樣，除切割點(diǎn)外，曲面上的每一個(gè)點(diǎn)在這個(gè)三角形上出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。

再次嘗試將這個(gè)三角形拼接。請(qǐng)讀者自己試試，再往下看。

這次，我們得到了一個(gè)莫比烏斯環(huán)。
容易得到，一莫比烏斯環(huán)的邊線的平面投影一定有自交，所以一定存在兩組不同的自變量使得它們的 $f$ 函數(shù)值相同。

你可以這么理解。既然莫比烏斯環(huán)上的每個(gè)點(diǎn)分別代表曲線上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)你嘗試把莫比烏斯環(huán)映射到一個(gè)平面時(shí)，一定有兩個(gè) $f$ 點(diǎn)是重合的。

而且，它們連成的線段一樣長(zhǎng)，且這兩條線段的中點(diǎn)重合。所以這四個(gè)點(diǎn)可以圍成矩形。 $Q.E.D..\text{Q.E.D..}$

那如果是正方形呢？

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《用莫比乌斯带巧解内接矩形问题：拓扑学的用处》学习笔记的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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