????要想不用一個數學模型只用大白話說明白Black-Scholes這個偉大的期權類衍生品定價模型，似乎與用地球語言解釋火星文化一樣的困難。所以我的所謂白話也不可能是真的大白話了，總要擺出幾個簡單的數模以說明問題。只不過這些數學上的東西我相信有一點數學和統計學基礎的朋友都能看的明白了。事實上即使擺出一大堆數學模型，我也沒有能力真的寫出其推導的全過程。幸好我的目的不是寫清楚BS模型的推導，而是從其原理性的東西出發，得到在目前市場條件上使用此模型帶有“批判”性質的結論。
????我想從二叉樹模型引出一個無風險投資組合，不過在討論這個模型之前我先寫幾點預備知識：
連續復利
????復利的概念做投資的人耳熟能詳，例如一個活期賬戶，你一年取一次不如一個月取一次將本息再存，這樣一年下來你的總利息定會多一些。同理，一天取一次似乎利息更多，理論上還可以一分鐘取一次，一秒取一次，一毫秒取一次，最后的極限就是連續復利的概念，其表達式為EXP(rt)，EXP就是自然數e的指數形式（我不知道如何在電腦上寫出指數和根號之類，所以本文中都采用了EXCEL中的表達式）。例如連續復利10%的100元錢1年后的實際利息為100*EXP(10%*1)=110.517元。期權公式中由于均涉及未來價格的貼現，貼現方式在模型中采用的都是連續復利。
無套利機會
????市場應該是沒有套利機會的，即使出現套利的機會，也會因為投機者的大量買入或賣出而在短時間內填平這個“錯誤的價格”。在建立對沖組合時，這樣的無套利機會意味著你的無風險組合的收益應該等于市場無風險利率，否則總有投機者會建立頭寸用無風險利率的借款買入組合（組合收益大于無風險利率）或者賣出組合放出無風險利率的貸款（組合收益小于無風險利率）來套利，直至兩者相等。
Delta
????在期權的對沖和套保中，Delta是一個重要參數。它定義為期權價格變動與標的股票價格變動之比。例如我們下面的例子中股票從15到25元變動的10元，這一過程中股票的期權變動為4元，則Delta為4/10=0.4。說明0.4份股票和1份期權的組合可以對沖掉風險。
????現在我們可以開始談二叉樹模型了，這個模型其實簡單，就是事情發展的兩種可能性。例如一只現價20元的股票，一年后可能是25元，還有一條分叉可能是15元，如果現在有一個行權價格為21元的看多期權，那這個期權在一年后在兩個分叉上對應的價值分別是4元和0元。我們現在來看看這只期權現在的價格應該是多少呢？
????在這個例子里Delta是0.4，也就是說無風險組合為買入0.4份股票而賣出1份看多期權，這樣組合在1年后的價值肯定是6元，其可能是一條分叉中的25*0.4-4=6元或者是另一條分叉中的15*0.4-0=6元。如果市場無風險利率為10%，這個1年后的6元現值為6*EXP(-10%)=5.429元。那么這個組合在構建時的成本就應該是5.429元，即20*0.4-f*1=5.429，計算f=2.57元。這就應該是期權的現價。
????這個模型我們可以整理出其一般形式，即f=EXP(-r*t)*(p*Fu+(1-p)*Fd)；其中p=(EXP(r*t)-d)/(u-d)；r為無風險利率；t為期限；u為現貨期末價的可能漲幅（Up分叉），上例中為25/20=1.25，d為現貨期末可能跌幅（Down分叉），上例中為15/20=0.75；Fu為期權Up分叉的期末價值，上例中為4元；Fd為期權Down分叉的期末價值，上例中為0元。上例通過這個公式可以計算一下f正好等于2.57元。但是，這個價格有意義嗎？兩個分叉的期末價格完全是主觀上的猜測！在不加主觀因素的條件下如何設定這個u和d呢？于是波動率的概念出場了。
????波動率σ是一年內股票連續復利收益的標準差。在一個很小的Δt時間內，收益的方差為σ^2*Δt，經過一連串的推導之后，u=EXP(σ*SQRT(Δt))，d=EXP(-σ*SQRT(Δt))，SQRT是根號。例如上例中如果通過歷史數據計算σ為30%，則u=EXP(30%*SQRT(1))=1.3498588，d=EXP(-30%*SQRT(1))=0.7408182，代入二叉樹的一般形式，即可得到期權的現價。
????利用波動率計算后的期權定價似乎完全避免了主觀的成分，因為它僅僅依靠了波動率，無風險利率，時間期限這些給定的原始數據推出。這似乎對于在我們這個以做投機為主的市場來看有點不可思議。這種之后我會再次提及的所謂風險中性(risk neutral)體系，也是BS模型的重要前提，也成為我“批判”的原因之一。不過這個批判是打引號的，因為錯的不是體系和模型，我只是提醒使用者不要忘記這些推導的前提，而我們的市場和投資者性質注定我們目前還無法使用它。
????模型的優化遠遠沒有結束，這個單步二叉樹是最簡單的，問題多多。BS模型要是這么簡單就不會有人因此獲諾貝爾獎了。我們可以馬上想到的是，可以把時間間隔縮小，將兩個分叉各自再分出去，然后再分，再分......你馬上就發現每個“二叉”的Delta是不同的，有一些軟件可以設定時間步數來用計算機模擬這一過程，但我們想要的還是一般公式的模式，所以我們接下來要探討一下復雜的多的連續時間的股價隨機過程。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的白话解析BS模型（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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