一、材料的各向異性屬性

在結構力學有限元仿真中，材料的力學屬性是我們需要著重考慮的核心要素。在對結構進行最常見的 靜力學響應問題 分析時，如果我們假設構成結構的材料具備最為簡單而普遍的各向同性線彈性本構關系，那么為了完成有限元分析，我們就需要使用四個參數分別定義材料的密度、楊氏模量、泊松比與剪切模量。

然而，各向同性線彈性材料這樣一種模型假設有著 局限 的適用范圍。一般來說，各向同性線彈性材料適合對以 金屬、塑料 為基材的、熔鑄成型的結構件進行 小變形問題 的分析。對于一般的金屬及塑料材料，它們確實有著 均一的各向同性材料本構關系 ，換句話說，假如我們從這樣的金屬或塑料材質的 構件的任意位置上切割下一個球型試件進行力學試驗，無論從試件的哪一個方向上進行力學實驗，測量得到的應力-應變關系都是一致的。

而對于 天然橡膠、硅膠 這類可以承受大變形的柔性材料，其應力-應變關系就不能以簡單的線彈性來描述了。簡單來說，在橡膠受力拉伸的不同階段，其產生單位變形所需施加的外力是不同的。因此，我們需要使用一系列超彈性材料模型與模型對應的 應變能密度函數 來對這些材料進行描述，常見的超彈性材料拉伸-應力曲線如 圖一 所示。對于這一問題，我們在博客《超彈性模型有限元分析入門》中嘗試開展了更深入詳細的討論。

圖 1 BASF Elastollan-1175聚氨酯材料的拉伸-應力曲線

除此之外，即使在線性的應力-應變關系下，也存在著與金屬等各向同性材料特點不同的材料類型。天然木材、竹材與纖維增強材料即是如此。在微觀結構上，諸如竹材與纖維增強復材的材料內部包含了有向且均勻分布的增強纖維，纖維與纖維間由基體聯粘。由于增強纖維的有向分布，材料在宏觀的各個方向上即會具備不同的力學響應特性，換句話說，在材料的各個方向上有著不同的楊氏模量、剪切模量乃至泊松比。一般來說，這類材料在鋪設纖維的方向上具有最優異的力學性能，在另外兩個方向上力學性能稍弱。如果纖維增強材料的內部交錯鋪設了不同方向的纖維，其力學性能的各向異性將進一步增強。

二、各向異性與正交各向異性

對于線彈性各向異性材料，考慮到材料的 線彈性 特點，我們可以直接通過其不同方向上應力與應變的 線性 關系來描述材料的 方向敏感性 。材料微元所受的應力可以使用一個6×1維的向量σ表示，它的六個分量分別為微元所受到的三方向正應力與三方向切應力。對應地，應變ε也是一個6×1維的向量，其六個分量分別為微元產生的三方向正應變與三方向切應變。（從應力與應變張量的角度來說，σ與ε均為3×3的二階張量，但由于切應力互等定理，應力與應變張量的實際自由度僅有6個。）應力與應變的線性關系可以使用一個6×6維的本構對稱矩陣D表示：
$$\sigma =D\epsilon$$

正交各向異性是各向異性的一種特殊情況。在正交各向異性材料中，三個正交方向上的正軸向運動與剪切運動解耦。換句話說，當材料微元沿其中一個主方向軸向拉伸時，只會在與該主方向垂直的另外兩個方向上收縮，而不會產生切應變。

因此，完整描述正交各向異性材料的線彈性本構關系，不再需要36個參數，而僅僅需要9個參數，分別是：三個主方向上的楊氏模量 E、泊松比 μ以及剪切模量 G。

三、 在COMSOL中定義各向異性材料

COMSOL 結構力學模塊下的多個物理場（例如固體力學物理場、殼物理場等）均支持對各向異性線彈性材料組成的結構進行分析。在不同的結構力學物理場下，各向異性線彈性材料的設置方法是類似的。

簡單來說，在COMSOL結構力學模塊中，我們需要通過以下 3個主要操作步驟，實現各向異性線彈性材料的設置：

在 “材料節點>> 目標材料(mat) 子節點” 下定義目標材料的各向異性屬性參數；

在 “定義節點” 添加并定義表征材料空間指向的 “坐標系節點” ；

在“固體力學節點”下添加新的“線彈性材料子節點”，并在“線彈性材料”分欄中選擇并定義 "各向異性固體模型"或 “正交各向異性固體模型”。

接下來，我們就通過我們經常討論的竹纖維片橋梁案例（我們曾以它為例，討論了“如何構建殼模型所需的模型幾何”），以 固體力學物理場 與 正交各向異性材料 為例，介紹定義各向異性材料的方法。

3.1 有限元分析的初始化設置

圖 2 竹纖維片橋梁模型的Solidworks建模

圖二 展示了我們在Solidworks中繪制的一座簡化的竹纖維片橋梁模型。對于這樣一座完整的橋梁，在有限元分析中，我們可以利用對稱邊界條件降低計算消耗，取橋梁的四分之一分析它完整的受力與響應。
首先通過模型向導進行有限元分析的快速初始化。依次，我們需要：

在“選擇空間維度”界面選擇 “三維” ；

圖 3 模型初始化：選擇空間維度

在“選擇物理場”界面添加“固體力學（solid）物理場”；

圖 4 模型初始化：選擇物理場

在“選擇研究”界面添加“穩態研究”；

圖 5 模型初始化：選擇研究

隨后，我們在 “幾何節點” 中添加 “導入子節點” ，導入在Solidworks中預先繪制的模型幾何。如此，便完成了模型的初始化設置。

3.2 在“材料節點”中定義各向異性材料參數

我們首先右鍵單擊“材料節點”，選擇“從庫中添加材料”，隨后在材料庫中雙擊“Wood(pine)”以將該材料添加至模型樹中。

圖 6 操作：從庫中添加材料

將“Wood(pine)”這一材料添加至模型樹后，我們發現，在“材料節點”下已經新增了一個“Wood(pine) (mat1) 子節點”，該子節點已對密度預先進行了定義。在第二節我們已經介紹，如果需要對正交各向異性材料的力學特性進行定義，我們至少需要9個參數。因此，我們需要在“Wood(pine) (mat1) 子節點”中添加各向異性材料屬性，并輸入竹纖維片對應的力學屬性參數。

圖 7 操作：展開材料屬性分欄

單擊展開上圖紅色方框標識的“材料屬性分欄”，可以在目標材料子節點下增加所需屬性的定義子節點。展開“材料屬性分欄”后，我們可以在“固體力學>>線彈性材料>>正交各向異性”下找到一系列定義正交各向異性所需的參數，包括剪切模量、楊氏模量、泊松比等，如 圖八 。

圖 8 操作：添加正交各向異性子節點

雙擊“正交各向異性”，它即會被添加至 “ Wood(pine) (mat1) 子節點” 下，如圖九所示。竹纖維片是典型的正交各向異性材料，以其纖維布置方向為第一主方向，則材料三方向上的楊氏模量、剪切模量和泊松比分別為：

材料屬性屬性參數

楊氏模量E (1, 2, 3)	{12.3GPa, 4.5GPa, 4.5GPa}
泊松比μ (12, 23, 13)	{0.3, 0.3, 0.3}
剪切模量G (12, 23, 13)	{2.9GPa, 1.7GPa, 2.9GPa}

將上述參數如 圖九 方式填入 “Wood(pine)>>正交各向異性子節點>>輸出屬性分欄” ，即完成了 “材料節點” 部分的定義。

圖 9 操作：輸入正交各向異性材料參數

3.3 在“定義節點”中定義基矢坐標系

上一步中，我們定義了竹纖維片材料內部不同方向上的力學性能參數。然而，我們尚未在模型中指定材料的空間指向。換句話說，在COMSOL中，我們已經制作出了一種具備正交各向異性屬性的材料；怎么在空間中安放竹纖維片，是我們接下來要解決的問題。

對于正交各向異性材料，COMSOL支持使用基矢坐標系等多種坐標系對材料的空間指向進行定義。本篇博客里，我們即以最為基礎的“基矢坐標系”進行介紹。基矢坐標系通過指定三坐標軸在COMSOL全局坐標系中的指向來完成坐標系的空間定向。

右鍵單擊 “定義節點” ，添加 “坐標系>>基矢坐標系子節點” 。隨后，我們既可以在 “基矢坐標系子節點” 的設置菜單中，定義我們所需的空間指向。對于圖二所示的橋梁橫向主梁，其最長軸也即竹纖維布置方向與全局坐標系的z軸平行，如圖十。因此，我們需要將新添加的 “基矢坐標系(sys2)” 的第一軸的空間指向定為（0，0，1）,并完成其第二、第三軸的定義。

圖 10 橫向主梁在全局坐標系中的方向

此外，我們需要勾選“假設正交”復選框，將其轉換為 正交坐標系 ，以適配正交各向異性材料的內在需求。基矢坐標系的完整定義如 圖十一 所示：

圖 11 操作：定義基矢坐標系

3.4 在“固體力學節點>>線彈性材料子節點”選擇與定義固體模型

定義好了各向異性線彈性材料與它的空間指向，我們就需要在我們的 “固體力學節點” 中通過 “線彈性材料子節點” 將它們鏈接起來。在模型初始化后， “固體力學節點” 中包含一個默認的 “線彈性材料子節點” ，其默認作用域包含我們在幾何節點中構件的完整模型幾何。

右鍵單擊“固體力學節點”并添加一個新的 “線彈性材料子節點” 。在新的 “線彈性材料子節點” 中，我們首先選擇模型的作用域，也即橋梁的橫向主梁。
隨后，在 “坐標系選擇分欄 ”下選擇我們定義好的 “基矢坐標系(sys2)” 。
其次，在 “線彈性材料分欄” 中將固體模型選擇為 “正交各向異性” 。此時可以看到，楊氏模量、密度等參數均自動選擇為 “來自材料” ，由 “材料節點” 導入。我們需要注意的則是我們在“材料節點”中定義的楊氏模量等向量參數，其 材料數據順序 是否與“線彈性材料分欄中” 要求的一致。對比 材料屬性表 、圖九 和 圖十二 ，我們發現，我們輸入的參數順序是相一致的。這樣，便完成了橋梁模型中主橫梁竹纖維片材料的定義。

圖 12 操作：選擇與定義固體模型

進一步對縱梁的竹纖維片材料進行定義，我們不再需要新建一個 “**Wood(pine)**子節點” ，而僅需要分別新建一個描述新指向的 “基矢坐標系子節點” 與一個鏈接材料與坐標系的 “線彈性材料子節點” 。如果在我們需要分析的結構中有著更為復雜的各向異性材料鋪設，我們可以重復以上的步驟，即可在COMSOL中定義所有的各向異性材料。

四、案例演示

我們通過兩根受力情況相同的矩形空心梁，展示在構件內部鋪設不同方向的各向異性材料，對構件的承力能力會產生怎樣的影響。下圖所展示的兩根梁，內部竹纖維片的鋪設方向不同，竹纖維材料的第一主方向可由圖中的箭頭展示。

圖 13 橫梁內部材料第一主方向的不同指向

以懸臂梁的方式定義其受力，兩根梁在相同受力情況下產生的形變如 圖十四 所示，我們可以很明顯的觀察到各向異性材料鋪設方向所產生的影響。

圖 14 橫梁的位移場

至此，我們就通過理論的簡單討論和案例的演示簡單介紹了在COMSOL中進行各向異性結構力學有限元分析的過程。然而，問題并不至于此，更為復雜的，假若在結構中材料的主軸如圖15分布，那么我們應該如何構建坐標系分析這一問題呢？

圖 15 更為復雜的材料主軸分布

這里，我們將運用COMSOL中的另一種物理場接口——“曲線坐標系”來實現。關于曲線坐標系的介紹，我們將在博客《分析具有復雜空間指向的各向異性材料結構》中詳細介紹。

五、參考資料

[1] COMSOL博客：通過各種超彈性材料模型對測量數據進行擬合
[2] BASF Thermoplastic Polyurethane Elastomers Elastollan – Material Properties
[3] COMSOL博客：模擬線彈性材料能有多難？

以上就是本期博客的全部分享內容，歡迎關注我的專欄《COMSOL有限元仿真深度指南》，了解并一起討論關于COMSO有限元仿真的相關問題~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的COMSOL有限元仿真深度指南：如何设置材料的各向异性属性？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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