一、實(shí)體-薄結(jié)構(gòu)連接多物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)

在對(duì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)力學(xué)工程問題進(jìn)行有限元分析時(shí)，往往需要混合使用薄結(jié)構(gòu)模型（例如殼模型以及膜模型）與實(shí)體模型（例如固體力學(xué)模型及多體動(dòng)力學(xué)模型）對(duì)分析對(duì)象的復(fù)雜幾何進(jìn)行簡(jiǎn)化，以求降低計(jì)算代價(jià)。
對(duì)于ANSYS、ABAQUS等專長(zhǎng)于結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元的軟件來說，這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)依賴于在薄結(jié)構(gòu)幾何與實(shí)體結(jié)構(gòu)幾何連接處添加特定的“連接單元”。
而在COMSOL軟件中，我們則無從在例如固體力學(xué)物理場(chǎng)的某一個(gè)子節(jié)點(diǎn)或者網(wǎng)格劃分的某一個(gè)節(jié)點(diǎn)中去尋找這樣的單元。這一原因在于，COMSOL的開發(fā)初衷是為搭建一套面向多物理場(chǎng)問題有限元分析的通用平臺(tái)；因此，為構(gòu)造一套可應(yīng)用于不同物理場(chǎng)問題的有限元求解范式，COMSOL從偏微分方程組數(shù)值求解這一底層邏輯出發(fā)，把有限元分析問題分解為了“幾何>>材料>>物理場(chǎng)>>網(wǎng)格>>求解器>>結(jié)果后處理 ”這樣一套模型樹構(gòu)建邏輯。如圖1所示，COMSOL軟件界面模型樹內(nèi)的不同部分實(shí)際對(duì)應(yīng)著偏微分方程求解的不同步驟：從幾何構(gòu)建到網(wǎng)格劃分在內(nèi)的多個(gè)步驟，對(duì)應(yīng)偏微分方程組的構(gòu)建；研究步驟則對(duì)應(yīng)偏微分方程組的求解……

圖 1 COMSOL模型樹構(gòu)建邏輯

回到我們所說的薄結(jié)構(gòu)與實(shí)體結(jié)構(gòu)之間的連接問題，在上面這樣一套模型樹構(gòu)建流程中，幾何節(jié)點(diǎn)僅僅用于確定分析對(duì)象的CAD構(gòu)型，薄結(jié)構(gòu)與實(shí)體結(jié)構(gòu)的建模又對(duì)應(yīng)不同的物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)，而網(wǎng)格劃分節(jié)點(diǎn)則并不涉及定義網(wǎng)格單元的具體形式與階次。因此，薄結(jié)構(gòu)-固體結(jié)構(gòu)連接問題似乎并沒有辦法直接歸置于幾何建模問題或是網(wǎng)格劃分問題之下。

為解決薄結(jié)構(gòu)與固體結(jié)構(gòu)之間的連接問題，COMSOL提供了一個(gè)多物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)實(shí)體-薄結(jié)構(gòu)連接多物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)(Solid-Thin Structure Connection multiphysics node)予以功能實(shí)現(xiàn)。

實(shí)體-薄結(jié)構(gòu)連接多物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)能夠在使用固體力學(xué)物理場(chǎng)(Solid Mechanics)或多體動(dòng)力學(xué)物理場(chǎng)(Multibody Dynamics)建模的域幾何體和殼物理場(chǎng)(Shell)或膜物理場(chǎng)(Membrane)建模的邊界幾何體之間創(chuàng)建過渡連接。

具體到軟件操作層面而言，當(dāng)我們的模型樹中同時(shí)擁有描述薄結(jié)構(gòu)的物理場(chǎng)（例如殼物理場(chǎng)或膜物理場(chǎng)）以及描述實(shí)體結(jié)構(gòu)的物理場(chǎng)（例如固體力學(xué)物理場(chǎng)或多體動(dòng)力學(xué)物理場(chǎng)）時(shí)，即可右鍵單擊多物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)添加實(shí)體-薄結(jié)構(gòu)連接節(jié)點(diǎn)，如圖2所示：

圖 2 添加實(shí)體-薄結(jié)構(gòu)連接節(jié)點(diǎn)

接下來，我們就以殼物理場(chǎng)與固體力學(xué)物理場(chǎng)之間的連接為例，展示實(shí)體-薄結(jié)構(gòu)連接多物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)的功能與使用方法。

二、殼模型與固體力學(xué)模型連接的三種方式

在有限元分析理論中，殼模型與固體力學(xué)模型間存在三種基本的連接方式。第一種連接方式下，殼幾何與固體幾何的一個(gè)薄區(qū)域上相連接，兩個(gè)區(qū)域間的厚度保持一致，如圖3所示；這樣一種情況下，從理論分析的角度講，殼理論在連接處兩側(cè)均可保持一致。 但從應(yīng)用的角度講，在具體的案例中手動(dòng)構(gòu)造這樣一種連接方式的難度是比較大的。

圖 3 殼模型與固體力學(xué)模型的連接方式1

第二種情況則較為常見，也即薄結(jié)構(gòu)幾何的切平面垂直于它所正對(duì)的大厚度實(shí)體幾何表面，如圖4所示，在這種情況下，連接的物理特性需要用一種近似手段描述。實(shí)際上，我們可以將這樣這樣一種連接方式轉(zhuǎn)換為第一種連接情況處理，因此，上述兩種情況具有近似的物理實(shí)質(zhì)，在有限元建模中可被當(dāng)成同一種問題處理。

圖 4 殼模型與固體力學(xué)模型的連接方式2

最后一種情況，則是殼幾何包裹在固體幾何表面，或者說，殼幾何切平面與大厚度固體幾何表面相平行的情況，如圖5所示。

圖 5 殼模型與固體力學(xué)模型的連接方式3

需要注意的是，在具體的有限元分析過程中，無論上述那種情況，為確保殼模型基本假設(shè)成立，殼幾何與固體幾何邊界的距離都應(yīng)當(dāng)小于殼模型的定義厚度。
對(duì)應(yīng)上述三種理論連接方式，實(shí)體-薄結(jié)構(gòu)連接多物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)也提供了三種連接建模方式：①實(shí)體邊界到殼邊 (Solid boundaries to shell edges)，②共享邊界(Shared boundaries)，③平行邊界(Parallel boundaries)。然而，COMSOL內(nèi)的三種連接建模方式與三種理論連接方式卻并非一一對(duì)應(yīng)。故在本篇博客與接下來的博客中，我們會(huì)使用數(shù)個(gè)案例，對(duì)比演示這三種連接方式。

三、連接方式1：實(shí)體邊界到殼邊

如前所述，圖3及圖4所描述的兩種理論連接方式可當(dāng)作同一種連接模式處理，也即殼平面與相連實(shí)體表面相垂直的情況，在COMSOL中，對(duì)應(yīng)這一連接模式的選項(xiàng)則為實(shí)體邊界到殼邊選項(xiàng)。接下來，我們就以圖4所示的案例對(duì)實(shí)體邊界到殼邊連接方式的特點(diǎn)進(jìn)行分析。

3.1 案例的幾何構(gòu)建

為描述該類問題，我們首先需要在COMSOL中構(gòu)建對(duì)應(yīng)的模型幾何，并指定模型幾何對(duì)應(yīng)的物理場(chǎng)。
首先，我們構(gòu)造一個(gè)正方體以及與正方體$+X$面相連并垂直的矩形平面，模型的整體幾何如圖6所示。具體的，正方體邊長(zhǎng)50cm，矩形平面邊長(zhǎng)相同，并位于正方體對(duì)稱面上，設(shè)置如圖7所示。

圖 6 案例的模型幾何

圖 7 模型幾何的設(shè)置方法

3.2 物理場(chǎng)與材料的指定

隨后，需要添加固體力學(xué)物理場(chǎng)與殼物理場(chǎng)，并指定對(duì)應(yīng)的作用域及邊界條件。
固體力學(xué)物理場(chǎng)作用域僅包含我們前期定義的正方體，而無法包括邊界幾何層面的矩形面,如圖8所示。為進(jìn)一步展示“實(shí)體邊界到殼邊”這一連接方式的連接效果，我們?cè)谡襟w的$?X$面上定義如圖9所示的固定約束，并隨后在薄板的$+X$邊上定義載荷。

圖 8 固體力學(xué)物理場(chǎng)的作用域

圖 9 固定約束邊界條件的設(shè)置

殼物理場(chǎng)的作用域僅能指定邊界層面上的面幾何體，本案例中，我們僅需選擇單獨(dú)繪制的矩形平面，以確保其它邊界層不會(huì)納入殼模型的建模與計(jì)算中，如圖10所示。由于殼模型在幾何層面上并未描述厚度，我們需要在厚度與偏移子節(jié)點(diǎn)定義該薄板的厚度，此處厚度定義為5mm，如圖11所示。進(jìn)一步的，我們?cè)?strong>殼物理場(chǎng)中定義矩形薄板的+x邊處總力，總力包含面內(nèi)、面外兩個(gè)分量，面內(nèi)分量沿$+Y$向，大小500N，面外分量沿$+Z$向，大小100N，如圖12所示。

圖 10 殼物理場(chǎng)的作用域

圖 11 殼厚度的設(shè)置

圖 12 設(shè)置邊載荷

模型的材料方面，由于為示例分析，添加任何一種各項(xiàng)同性本構(gòu)的材料模型即可，本例中使用了COMSOL自帶的“Steel AISI 4340”。此時(shí)需要注意，由于固體力學(xué)物理場(chǎng)與殼物理場(chǎng)指定的幾何層次不同，對(duì)應(yīng)在材料節(jié)點(diǎn)上，我們也需要從域和邊界兩個(gè)不同的幾何層次上去對(duì)材料屬性進(jìn)行定義。

3.3 設(shè)置實(shí)體-薄結(jié)構(gòu)連接節(jié)點(diǎn)

隨后，我們即可以添加實(shí)體-薄結(jié)構(gòu)連接多物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)并設(shè)置薄結(jié)構(gòu)與實(shí)體結(jié)構(gòu)間的連接。
在添加完該節(jié)點(diǎn)后，首先需要檢查耦合接口分欄，我們所討論的這一案例中，軟件會(huì)自動(dòng)選擇模型樹下已有的兩個(gè)物理場(chǎng)，也即我們所定義的固體力學(xué)物理場(chǎng)與殼物理場(chǎng)。
此后，我們需要在連接設(shè)置分欄中定義薄結(jié)構(gòu)與實(shí)體結(jié)構(gòu)間的連接方式。當(dāng)我們?cè)?strong>薄結(jié)構(gòu)選擇列表中選擇殼選項(xiàng)時(shí)，連接類型選擇列表共可選擇3類選項(xiàng)：①實(shí)體邊界到殼邊 (Solid boundaries to shell edges)，②共享邊界(Shared boundaries)，③平行邊界(Parallel boundaries)。

圖 13 實(shí)體-薄結(jié)構(gòu)連接多物理場(chǎng)節(jié)點(diǎn)的設(shè)置

與殼平面與相連實(shí)體表面相垂直這一情況對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)，是實(shí)體邊界到殼邊選項(xiàng)。選擇該選項(xiàng)后，軟件會(huì)自動(dòng)選擇相鄰的幾何體（也即相連的殼模型邊與固體模型邊界）。但如果我們想要改動(dòng)這些選項(xiàng)，則可勾選手動(dòng)控制選擇復(fù)選框(Manual control of selections check box)，并回到設(shè)置頁面最上端的邊界選擇，實(shí)體分欄以及邊界選擇，殼分欄選擇自己所需的固體物理場(chǎng)邊界及殼物理場(chǎng)邊。此后，如果我們?cè)俅稳∠催x該復(fù)選框的勾選，則手動(dòng)選擇對(duì)象將被自動(dòng)選擇對(duì)象所替代。
在隨后的連接區(qū)域定義方式選擇列表(Connected area defined by)中，共有3個(gè)選項(xiàng)：①殼厚度 (Shell thickness)，②選定的實(shí)體邊界(Selected solid boundaries)，③到殼中面的距離(Distance from shell midsurface)。這一參數(shù)定義了連接在殼幾何上的選定固體邊界的面積。默認(rèn)情況下，該選項(xiàng)會(huì)置于殼厚度選項(xiàng)上，此時(shí)在垂直于殼模型幾何的上下兩個(gè)方向上，將分別以殼厚度的一半作為固體邊界連接區(qū)域的寬度。如果選擇選定的實(shí)體邊界選項(xiàng)，則COMSOL會(huì)將所選固體邊界。整體連接至殼模型上。如果選擇到殼中面的距離選項(xiàng)，則還需輸入距離$d$，用以替代殼厚度的一半這一數(shù)值來定義殼與固體邊界間的連接距離。
這之后的方法選擇列表(Method)則定義了實(shí)體邊界與殼邊間的耦合方式，如果選擇剛性選項(xiàng)，耦合僅僅會(huì)在實(shí)體邊界部分添加約束，此時(shí)由于連接厚度始終不變，將會(huì)使得應(yīng)力場(chǎng)產(chǎn)生一定的誤差與擾動(dòng)。如果選擇柔性選項(xiàng)，殼邊上則會(huì)添加三個(gè)額外的自由度，這會(huì)使連接處的描述更為精確。本案例中，我們選擇剛性選項(xiàng)。
需要格外注意的是：上述兩個(gè)選擇列表的設(shè)置將會(huì)決定固體邊界連接區(qū)域的應(yīng)力分布及局部變形；如若網(wǎng)格劃分不當(dāng)，則會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致模型不收斂。

3.4 網(wǎng)格劃分

殼-實(shí)體混合模型中 連接邊界處的連接定義方式及網(wǎng)格劃分共同影響著模型的收斂性，簡(jiǎn)言之，我們?cè)诰W(wǎng)格劃分中需要遵循的一條原則既是，固體邊界連接位置上網(wǎng)格單元的大小需要小于或與殼模型所定義的厚度基本一致。 本案例中，薄板的厚度定義為5mm，連接區(qū)域定義方式選擇為“殼厚度”，也即5mm。因此，我們?cè)趧澐肿杂伤拿骟w網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，添加一個(gè)分布子節(jié)點(diǎn)以確保連接位置處的網(wǎng)格單元大小與薄板厚度基本一致。

圖 14 網(wǎng)格的劃分及加密

3.5 有限元計(jì)算結(jié)果

完成上述設(shè)置，我們即可在“研究步驟”中求解模型的穩(wěn)態(tài)解。以下即展示了案例的穩(wěn)態(tài)解位移場(chǎng)。可以看到薄板的一端雖然固支在正方體上，結(jié)構(gòu)整體卻產(chǎn)生了面內(nèi)及面外的變形。

圖 15 結(jié)構(gòu)的整體位移場(chǎng)-視角1

圖 16 結(jié)構(gòu)的整體位移場(chǎng)-視角2

3.6 問題收斂性的討論

在前文中，我們多次強(qiáng)調(diào)，對(duì)于“實(shí)體邊界到殼邊”這一連接方式，網(wǎng)格劃分及連接方式設(shè)置對(duì)模型收斂性的影響。尤其在薄板結(jié)構(gòu)受到面外載荷時(shí)，這一影響格外明顯；網(wǎng)格劃分與連接方式不匹配，即會(huì)出現(xiàn)如下的錯(cuò)誤，導(dǎo)致求解器不收斂。

對(duì)于我們所分析的這一案例，影響收斂性的參數(shù)主要包括①連接區(qū)域定義方式，②連接邊界處的單元數(shù)量，③殼模型的厚度。下表即展示了本案例中上述參數(shù)取不同設(shè)置下模型的收斂性情況。

序號(hào)殼厚度模型連接區(qū)域定義方式邊界處網(wǎng)格數(shù)量模型收斂性

1	5 [mm]	殼厚度	30	不收斂
2	10 [mm]	殼厚度	30	收斂
3	5 [mm]	選定的實(shí)體邊界	30	收斂
4	5 [mm]	殼厚度	60	收斂
5	5 [mm]	殼厚度	100	收斂

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的COMSOL有限元仿真深度指南：连接薄结构与实体结构（I）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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