摘要

著色模型（shading model）描述的是材質(zhì)表面對(duì)光線的作用，它的輸入是光線、入射角、反射角、材質(zhì)的屬性（例如粗糙度、金屬度等），輸出是材質(zhì)的顏色。前面提到的BRDF模型就是shading model的一種，但是BRDF模型過于簡(jiǎn)單，很多復(fù)雜的物理現(xiàn)象無法描述。本文將接著BRDF繼續(xù)介紹一些更復(fù)雜的shading model，以及UE4和Disney的實(shí)現(xiàn)。

本文主要介紹理論部分，下篇將介紹UE4、Filament以及Disney對(duì)shading model的詳細(xì)實(shí)現(xiàn)。

理論

主要介紹對(duì)各向異性、次表面、清漆和布料幾種物理現(xiàn)象的shading model。

Anisotropy

上圖左：各向同性金屬球；右：各向異性金屬球。圖片來源：Filament文檔。

將各向同性的shading model拓展到各向異性，需要解決兩個(gè)問題，

需要引入哪些新的參數(shù)來描述各向異性？

需要在原有BRDF模型的基礎(chǔ)上修改公式的哪些部分來描述各向異性？

對(duì)于第一個(gè)問題，既然是“各向”異性，必然要分別定義各個(gè)方向上的差異的屬性，這里的屬性一般是粗糙度。方向一般在切平面上選取兩個(gè)軸，即tangent方向和bitagent方向，他們與normal方向共通構(gòu)成一組正交基底（TBN坐標(biāo)系）。對(duì)于需要精細(xì)控制切平面方向的模型，比如頭發(fā)，會(huì)單獨(dú)提供切向貼圖，指明切向方向，類似于法向貼圖。其他情況一般由系統(tǒng)（shader）確定切向方向。所以總結(jié)下來，需要額外增加一個(gè)參數(shù)，將原有的粗糙度替換為tangent和bitangent方向的粗糙度（記為${\alpha }_t,{\alpha }_b$或${\alpha }_x,{\alpha }_y$）。

實(shí)際操作中，一般是增加一個(gè)anisotropy各向異性參數(shù)，然后用粗糙度$\alpha$（$\alpha =roughness?roughness$）和anisotropy計(jì)算tangent/bitangent兩個(gè)方向上的粗糙度，具體的映射方法有很多。

• Neubelt and Pettine

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_x& =\alpha \\ {\alpha }_y& =lerp(0,\alpha ,1?anisotropy)\end{array}$$

• Burley

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_x& =\frac{\alpha }{\sqrt{1?0.9\times anisotropy}}\\ {\alpha }_y& =\alpha \sqrt{1?0.9\times anisotropy}\end{array}$$

• Kulla

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_x& =\alpha \times (1+anisotropy)\\ {\alpha }_y& =\alpha \times (1?anisotropy)\end{array}$$

對(duì)于第二個(gè)問題，BRDF公式取決于三個(gè)部分，法向分布函數(shù)$D$，遮擋項(xiàng)$G$，和表示微觀BRDF的菲涅爾項(xiàng)$F$。其中$F$肯定是不會(huì)變的，因?yàn)楦飨虍愋允呛暧^的現(xiàn)象，不會(huì)影響微觀表面的性質(zhì)。至于$D$和$G$，由于$G$都是從$D$推導(dǎo)出來的，因此我們先看一下$D$需要作出怎樣的修改。

形狀不變性

法向分布函數(shù)$D$的形狀不變性指的是這樣一種特性，改變$D$的粗糙度系數(shù)相當(dāng)于對(duì)微表面進(jìn)行拉伸，而不改變微表面的形狀。

要說明白形狀不變性，我們引入一個(gè)新的函數(shù)$P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})$，描述微表面的法向量$\mathbf{m}$的2D斜率分布。其中，$\mathbf{m}=(x_m,y_m,z_m)$并且

$$\begin{array}{rl}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})& =(?\frac{x_m}{z_m},?\frac{y_m}{z_m})=?\tan {\theta }_m(\cos {?}_m,\sin {?}_m)\\ \mathbf{m}& =\frac{(?x_{\tilde{m}},?y_{\tilde{m}},1)}{\sqrt{x_{\tilde{m}}^2+y_{\tilde{m}}^2+1}}\end{array}$$

$\mathbf{m}$的球坐標(biāo)系坐標(biāo)為$(1,\theta ,?)$，如下圖所示。

既然是分布函數(shù)，$P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})$滿足：

$${\int }_{?\infty }^{\infty }{\int }_{?\infty }^{\infty }{P}^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})d{x}_{\tilde{m}}d{y}_{\tilde{m}}=1$$

并且$P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})$與$D$的關(guān)系為：

$$D(\mathbf{m})=\frac{{\chi }^{+}(\mathbf{n},\mathbf{m})}{{\cos }^4{\theta }_m}{P}^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})=\frac{{\chi }^{+}(\mathbf{n},\mathbf{m})}{(\mathbf{n}?\mathbf{m}{)}^4}{P}^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})$$

考慮到$P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})$同時(shí)也是粗糙度$\alpha$的函數(shù)，因此可以寫為$P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}},\alpha )$。

滿足形狀不變性的法向分布函數(shù)，它的$P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}},\alpha )$符合這種形式：

$$\begin{array}{rl}{P}^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}},\alpha )& =\frac{1}{{\alpha }^2}f\left(\frac{\sqrt{x_{\tilde{m}}^2+y_{\tilde{m}}^2}}{\alpha }\right)=\frac{1}{{\alpha }^2}f\left(\frac{\tan {\theta }_m}{\alpha }\right)\\ & =\frac{1}{{\alpha }^2}f\left(\frac{\sqrt{1?(\mathbf{n}?\mathbf{m}{)}^2}}{\alpha (\mathbf{n}?\mathbf{m})}\right)\\ D(\mathbf{m})& =\frac{{\chi }^{+}(\mathbf{n},\mathbf{m})}{(\mathbf{n}?\mathbf{m}{)}^4}{P}^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})=\frac{{\chi }^{+}(\mathbf{n},\mathbf{m})}{{\alpha }^2(\mathbf{n}?\mathbf{m}{)}^4}f\left(\frac{\tan {\theta }_m}{\alpha }\right)\\ & =\frac{{\chi }^{+}(\mathbf{n},\mathbf{m})}{{\alpha }^2(\mathbf{n}?\mathbf{m}{)}^4}f\left(\frac{\sqrt{1?(\mathbf{n}?\mathbf{m}{)}^2}}{\alpha (\mathbf{n}?\mathbf{m})}\right)\end{array}$$

對(duì)于任意大于零的實(shí)數(shù)$\lambda$，有：

$$P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}},\alpha )=\frac{1}{{\lambda }^2}{P}^{22}(\frac{x_{\tilde{m}}}{\lambda },\frac{y_{\tilde{m}}}{\lambda },\frac{\alpha }{\lambda })$$

也就是說，改變粗糙度僅相當(dāng)于對(duì)$P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}},\alpha )$進(jìn)行拉伸。

前面提到的三種法向分布函數(shù)：Beckmann、BlinnPhong和GGX，只有BlinnPhong不滿足形狀不變性。推廣的GTR公式也同樣不滿足形狀不變性。

各向異性D和G

對(duì)于具有形狀不變性性質(zhì)的法向分布函數(shù)$D$，它的形式變?yōu)?#xff1a;

$$D(\mathbf{m})=\frac{{\chi }^{+}(\mathbf{n},\mathbf{m})}{{\alpha }_x{\alpha }_y(\mathbf{n}?\mathbf{m}{)}^4}f?\frac{\sqrt{\frac{(\mathbf{t}?\mathbf{m}{)}^2}{{\alpha }_x^2}+\frac{(\mathbf{b}?\mathbf{m}{)}^2}{{\alpha }_y^2}}}{(\mathbf{n}?\mathbf{m})}?$$

相應(yīng)的遮擋項(xiàng)$G$，只需要改變$\Lambda (\mathbf{s})$中的變量$c$：

$$c=\frac{\mathbf{n}?\mathbf{s}}{\sqrt{{\alpha }_x^2(\mathbf{t}?\mathbf{s}{)}^2+{\alpha }_y^2(\mathbf{b}?\mathbf{s}{)}^2}}$$

這里的$\mathbf{s}$可以是入射光線$\mathbf{l}$，也可以是出射光線$\mathbf{v}$。

有了一般的推廣形式，我們將其應(yīng)用到具有形狀不變性的Beckmann和GGX模型上，有：

$$\begin{array}{rl}{D}_{Beckmann}(\mathbf{h},{\alpha }_x,{\alpha }_y)& =\frac{{\chi }^{+}(\mathbf{n},\mathbf{h})}{\pi {\alpha }_x{\alpha }_y(\mathbf{n}?\mathbf{h}{)}^4}\exp ??\frac{\frac{(\mathbf{t}?\mathbf{h}{)}^2}{{\alpha }_x^2}+\frac{(\mathbf{b}?\mathbf{h}{)}^2}{{\alpha }_y^2}}{(\mathbf{n}?\mathbf{h}{)}^2}?\\ D_{GGX}(\mathbf{h},{\alpha }_x,{\alpha }_y)& =\frac{{\chi }^{+}(\mathbf{n},\mathbf{h})}{\pi {\alpha }_x{\alpha }_y{\left(\frac{(\mathbf{t}?\mathbf{h}{)}^2}{{\alpha }_x^2}+\frac{(\mathbf{b}?\mathbf{h}{)}^2}{{\alpha }_y^2}+(\mathbf{n}?\mathbf{h}{)}^2\right)}^2}\end{array}$$

Clear Coat

Clear Coat模型是多層材質(zhì)的一種最簡(jiǎn)單的形式。Clear Coat的中文一般翻譯為“清漆”，但是這個(gè)中文詞匯跟英文詞匯一樣讓人摸不著頭腦。簡(jiǎn)單來說，Clear Coat指的是材質(zhì)表面的一層薄薄的透明薄膜，比如木制家具表面刷的漆，汽車的噴漆等等。Clear Coat Layer一般是透明的，光線會(huì)透過Clear Coat Layer照射到Base Layer，為了模擬Clear Coat材質(zhì)，一般將這兩層材質(zhì)按照下圖的方式建模：

Clear Coat Layer會(huì)產(chǎn)生Specular反射，剩余的光線照射到Base Layer產(chǎn)生Specular和Diffuse反射。因此，相比于基礎(chǔ)BRDF模型，Clear Coat模型多一個(gè)由Clear Coat Layer產(chǎn)生的specular項(xiàng)。

$$f=C_{diffuse}?f_d+C_{specular}?f_s+C_{clearcoat}?f_{sc}$$

三個(gè)系數(shù)$C_x$是為了保證能量守恒，不同的引擎會(huì)選取不同的計(jì)算方法。clear coat layer的specular項(xiàng)$f_{sc}$的計(jì)算公式與$f_s$類似，也是DGF三項(xiàng)乘積的形式。

如果要表示一個(gè)Clear Coat模型，需要兩個(gè)額外的參數(shù)，一個(gè)是ClearCoat系數(shù)，另一個(gè)是ClearCoatRoughness，指明Clear Coat Layer的粗糙度。

Subsurface

Subsurface模型也是一種多層材質(zhì)，它可以很復(fù)雜（如用于繪制皮膚的SSSS模型），也可以很簡(jiǎn)單（如Disney在Principled BRDF中的實(shí)現(xiàn)）。

Subsurface模型描述的是名為次表面散射（subsurface scattering）的物理現(xiàn)象。次表面散射現(xiàn)象指的是光線進(jìn)入材質(zhì)內(nèi)部，經(jīng)過多次反射、吸收，最終折射出材質(zhì)表面的現(xiàn)象。這個(gè)物理現(xiàn)象在BRDF模型中我們是用Diffuse分量來描述的，但是無論是Lambert模型還是Burley模型，都無法表現(xiàn)材質(zhì)對(duì)光線的吸收作用，或者說，無法表現(xiàn)出“通透”效果。例如玉或者皮膚在強(qiáng)光照射下呈現(xiàn)的半透現(xiàn)象，或者普通光照下的通透感。下圖[2]展示了采用Subsurface scattering模型的皮膚（右上）和未采用（右下）的對(duì)比。

但是完整實(shí)現(xiàn)subsurface scattering太復(fù)雜了，也沒有必要。因此一般的subsurface模型都是通過添加一層額外的diffuse layer來近似表現(xiàn)次表面散射現(xiàn)象。這一點(diǎn)剛好跟Clear Coat模型相反——Clear Coat模型添加了額外的specular層，而subsurface添加了額外的diffuse層。

$$f=f_d+f_s+C_{subsurface}?f_{sc}$$

Cloth

布料模型和其他幾個(gè)shading model很不一樣，這是因?yàn)椴剂系慕M成形式是纖維相互堆疊，纖維之間還存在空隙，不符合微表面理論。相應(yīng)的，Cloth model的公式也跟基于微表面理論shading model不太一樣。模擬Cloth的BRDF模型大致可以分為三類：

• 基于觀察的empirical models
• 基于微表面理論的模型
• 微圓柱體模型（micro-cylinder model）

第一種基于觀察的模型很大程度上靠藝術(shù)家調(diào)整參數(shù)來模擬布料效果，涉及到的參數(shù)比較多。第三種微圓柱體模型其實(shí)類似于頭發(fā)模型——都是用圓柱體對(duì)材質(zhì)進(jìn)行建模，效果相對(duì)精準(zhǔn)，但是也更繁瑣。這里主要介紹第二種基于微表面理論的模型，它是通過選取合適的法向分布函數(shù)和遮擋函數(shù)來模擬布料效果。

常用的布料模型中的法向分布函數(shù)是Ashikhmin[3]提出的，用逆高斯分布來擬合法向分布，經(jīng)過后續(xù)的補(bǔ)充，最終的形態(tài)為：

$$\begin{array}{rl}{D}_{Ashikhmin}(\mathbf{m})& =\frac{{\chi }^{+}(\mathbf{n}?\mathbf{m})}{\pi (1+k_{amp}{\alpha }^2)}?1+\frac{k_{amp}\exp \left(\frac{(\mathbf{n}?\mathbf{m}{)}^2}{{\alpha }^2\left((\mathbf{n}?\mathbf{m}{)}^2?1\right)}\right)}{{\left(1?(\mathbf{n}?\mathbf{m}{)}^2\right)}^2}?\\ G_{Cloth}(\mathbf{l},\mathbf{v})& =\frac{1}{4(\mathbf{n}?\mathbf{v}+\mathbf{n}?\mathbf{l}?(\mathbf{n}?\mathbf{v})(\mathbf{n}?\mathbf{l}))}\\ f(\mathbf{l},\mathbf{v},\mathbf{h})& =(1?F(\mathbf{h},\mathbf{l}))\frac{{\rho }_{ss}}{\pi }+F(\mathbf{h},\mathbf{l})D(\mathbf{h})G(\mathbf{l},\mathbf{v})\end{array}$$

其中，$\alpha$控制逆高斯函數(shù)的寬度，$k_{amp}$控制幅度。$f(\mathbf{l},\mathbf{v},\mathbf{h})$已經(jīng)包含了diffuse和specular兩部分。

float D_Ashikhmin(float roughness, float NoH) {// Ashikhmin 2007, "Distribution-based BRDFs"float a2 = roughness * roughness;float cos2h = NoH * NoH;float sin2h = max(1.0 - cos2h, 0.0078125); // 2^(-14/2), so sin2h^2 > 0 in fp16float sin4h = sin2h * sin2h;float cot2 = -cos2h / (a2 * sin2h);return 1.0 / (PI * (4.0 * a2 + 1.0) * sin4h) * (4.0 * exp(cot2) + sin4h); }

另一種布料模型是Estevez和Kulla提出的Charlie模型，Charlie模型采用的是正弦函數(shù)的冪來擬合，而不是逆高斯函數(shù)。它的實(shí)現(xiàn)更簡(jiǎn)單、外觀更柔和。

$$D_{Charlie}=\frac{(2+\frac{1}{\alpha }){\sin }^{\frac{1}{\alpha }}\theta }{2\pi }$$

實(shí)現(xiàn)：

float D_Charlie(float roughness, float NoH) {// Estevez and Kulla 2017, "Production Friendly Microfacet Sheen BRDF"float invAlpha = 1.0 / roughness;float cos2h = NoH * NoH;float sin2h = max(1.0 - cos2h, 0.0078125); // 2^(-14/2), so sin2h^2 > 0 in fp16return (2.0 + invAlpha) * pow(sin2h, invAlpha * 0.5) / (2.0 * PI); }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的着色模型简介和实现（上）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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