上回書說到，預測模型中的插值與擬合已經講述完畢。現在我們研究的是時間序列模型。

分類
與普通的數值擬合不同，時間序列的擬合需要考慮多種因素，本質上是一種高級的擬和方式。同時也是一種黑箱模型，

小結一下：多參數對多/單結果：神經網絡模型
單/復參數-單結果：線性回歸模型
參數極度短缺：灰色模型。

定義
可以簡單理解為自變量為時間的數據擬合模型。

底層邏輯
承認事物發展的延續性，運用過去的時間序列數據進行統計分析，推測出事物的發展趨勢；另一方面充分考慮到由于偶然因素影響而產生的隨機性，為了消除隨機波動產生的影響，利用歷史數據進行統計分析，并對數據進行適當處理，進行趨勢預測。即認真考慮時間流逝的規律性。

分析方法
與普通黑箱模型不同，時間序列要考慮的有:
1.長期趨勢（這也是所有黑箱模型考慮的）
2,季節變動
3.循環變動（根據某些規律產生）
4。不規則變動（如某些特殊節假日、特殊事件等）、

建模中一般用加法模型和懲罰模型，或者綜合兩者，底層邏輯就是將這些變動/趨勢量化后疊加、

解決方法
1.kalman filter
可以參見上一講的鏈接，了解卡爾曼濾波法。

2.時間序列平均水平法
比較簡單的算法，通過每年熟知的平均值預測；改進方法為通過每年的增長量加權平均。說句實話意義不是很大，只是列出。也可以改為微分方程預測。

3.指數平滑法
相比于方法2，指數平滑法進一步加強了觀察期近期觀察值對預測值的作用，對不同時間的觀察值所賦予的權數不等，從而加大了近期觀察值的權數，使預測值能夠迅速反映市場實際的變化。模型中參數a越大，那么近期所占的權重就越大。
S(t)=aY+(1-a)S(t-1).因此該模型需要自己設初始值S(0)和a.

可以用excel等軟件直接實現，平滑預測基于的更像是人口模型等的底層邏輯。當一次指數平滑后曲線有線性特征時，考慮二次（當平滑成直線）、三次平滑（當平滑成拋物線）加強穩定性。在一般的數據中勉強夠用了。

改進方法：當數據有一個明顯上升/下降趨勢時，可以加一個趨勢補償函數，由此來彌補原本預測帶來的滯后效應。X補償=bX原+（1-b）（\delta Y）。就是根據最近的趨勢以及原本的函數分權相加。如果已經進行過二、三階平滑，可以考慮留下最近5組數據作為實驗組來裁定是否有滯后，

前面三種基本還是線性回歸/神經網絡/微分方程的思路，對于時間導致的周期性的考慮不大。

4.ARIMA模型
在實際中遇到的時間序列往往有趨勢性、季節性等， 本節主要采用差分方法，有時還要用時間序列的變換方法，消除其趨勢性、季節性，使得變換后的序列是平穩序列，并用ARMA 序列的方法去研究。

ARMA分為AR和MA
AR(p階)：X(t)=其余X(n)的加權和+白噪聲
MA(q階)：X(t)=其余X(n)的移動量加權和—+白噪聲
差分方法可消除正相關但同時引入負相關
AR項可消除正相關，MA項消除負相關
AR項和MA項作用會相互抵消，通常包含兩種要素時可嘗試減少某項，避免過擬合。

（1）差分法去掉周期性、趨勢性以及隨機性

（2）取參數ARIMA(p,d,q)

（3）帶入數據求解。

mat代碼如下：

clc,clear a = text read( ’hua .txt’) ; %把原始數據按照原來的排列格式存放在純文本文件 hua txt a = non zeros ( ’）%按照原來數據的順序去掉零元素 r11 = autocorr( a) %計算自相關函數 r12 = parcorr( a) %計算偏相關函數 da = diff( a) ; %計算一階差分 r21 = autocorr( da) %計算自相關函數 r22 =parcorr(da) %計算偏相關函數 n = length( da); %計算差分后的數據個數 k =0 ; %初始化試探模型的個數 for i = 0:3 for j = 0:3 if i==0&j==0 continue elseif i ==0 ToEstMd = arima （’MALags ’，1:j, Constant ’，0 ）；%指定模型的結構else if j = =0 ToEstMd = ar im ARLags ’， 1:i ，’ Constant ’， ）； %指定模型 的結構 else ToEstMd = arima （’ ARLags ’， 1:i，’ MALags ’， 1:j , ’Constant' ,0); %指定模型的 結構end k = k + 1 ; R( k) = i; M( k) = j ; [ EstMd， EstParamCov,logL， info] = estimate(ToEstMd ，da）%模型擬合 numPar ams = sum(any(EstParamCov ）） %計算擬合參數的個數 %compte Aka i ke and Bayesian Information Criteria [ aic(k)， bic(k)] =aicbic(logL,numParams,n) ; end end fprintf ('M, AIC,BIC 的對應值 ’）； %顯示計算結果 chec k= [ R’,M’, aic’,bic’ ] r = input （’輸入階數R= ’） ;m = input ’輸入階數M＝’） ToEstMd = arima （’ ARLags ’， 1:r ，’ 且，ag ’， 1:m ，’ Constant ’，0 ）； %指定模型的結構 [ EstMd , EstParamCov , logL, info] = estimate( ToEstMd, da ）；%模型擬合 dx_Forecast = forecast ( EstMd， 10 ，’ Y0’， da) %計算 10 步預報值 x _Forecast = a( end) + cumsum( dx_Forecast) %計算原始數據的 10 步預測值`

5.提取時間序列的周期性特征進行預測. https://www.jianshu.com/p/31e20f00c26fspm=5176.12282029.0.0.36241491UUhnZE

計算base
預測=base*factors

6.利用時間特征做線性回歸
提取時間的周期性特點做為特征，此時訓練集每條樣本為"時間特征->目標值"，時間序列的依賴關系被剔除，不需要嚴格依賴滑窗截取訓練樣本。常見是將時間用0-1啞變量表達，有以下若干種特征：

將星期轉化為了0-1變量，從周一至周天，獨熱編碼共7個變量

將節假日轉化為0-1變量，視具體節假日數目，可簡單分為兩類，“有假日”-“無假日”，獨熱編碼共2個變量；或賦予不同編碼值，如區分國慶、春節、勞動節等使用1、2、3表示

將月初轉化為0-1變量，簡單分兩類表示為"是月初"-“非月初”，共2個特征
類似的月中、月初可以轉化為0-1變量

控制時間粒度，區分是weekday or weekend
觀察序列，當序列存在周期性時，線性回歸也可做為baseline

7.時間序列分解，使用加法模型或乘法模型將原始序列拆分為4部分。

拆分為4部分：長期趨勢變動T、季節變動S(顯式周期，固定幅度、長度的周期波動)、循環變動C(隱式周期，周期長不具嚴格規則的波動)和不規則變動I。參考：
https://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%BA%8F%E5%88%97%E5%88%86%E8%A7%A3%E6%B3%95

https://www.jianshu.com/p/e6d286132690

乘法模型中SCI均為比例，加法模型中SCI與T有相同量綱。
循環變動C較為復雜，短期不體現或歸入趨勢變化中。

平滑方法：
以滑動平均作為平滑方法提取趨勢的seasonal_decompose樸素分解。
https://www.statsmodels.org/dev/generated/statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose.html#statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose
以魯棒局部加權回歸作為平滑方法的STL分解。
https://www.statsmodels.org/dev/generated/statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose.html#statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose

季節性分析。數據中有季節性因素，與整體趨勢相比顯得比較弱。
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1NjQ0Mzc1Mw==&mid=2247497103&idx=3&sn=ee1ab5cbf466a538f94ee4c971e027b1&source=41#wechat_redirect

應用實例：https://www.cnblogs.com/zhizhan/p/4868411.html

8.Facebook-prophet，類似于STL分解思路，在控制程度和可解釋性上比傳統時序模型更有優勢，也是一個一招鮮吃遍天的招數
https://zhuanlan.zhihu.com/p/52330017

推薦后幾種方法求解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模系列-预测模型（四）---时间序列模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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