狀態轉移矩陣計算解讀

A的特征值互異(3/4)--例3-7 例3-7 試求如下系統矩陣的矩陣指數函數 解 由于矩陣A的3個特征值互異,并分別為-1,-2和-3,因此解方程組(3-52)可得 A的特征值互異(4/4) 則系統的狀態轉移矩陣為 A有重特征值(1/4) (2) A有重特征值 由于矩陣A與它的約旦矩陣 具有相同的最小多項式?(?),因此由前面的推導過程可知,約旦矩陣 也滿足 設A與 的特征值?i的代數重數為mi,則由上式很容易證明?i(t)滿足 求解上述方程,則可求得待定函數?i(t)。 A有重特征值(2/4) 為清楚說明問題,設A和 有如下6個特征值:?1,?1,?1,?2,?2,?3。 則相應的矩陣指數函數計算式(3-49)中的待定函數?i(t)(i=0, 1,…,5)的計算式為 A有重特征值(3/4)—例3-8 值得指出的是,上述塞爾維斯特內插法不僅對矩陣A的最小多項式成立,而且對所有矩陣A的零化多項式也成立。 因此,在難以求解最小多項式時,上述方法中的最小多項式可用矩陣A的特征多項式代替,所得結果一致,僅計算量稍大。 例3-8 試求如下系統矩陣的矩陣指數函數 A有重特征值(4/4)—例3-8 解 解矩陣A的特征方程, 得特征值為1,1和2。 由于特征值2為二重特征值,下面按基于 最小多項式和 特征多項式 兩種多項式用塞爾維斯特插值法計算矩陣指數函數。 A有重特征值(5/4)—例3-8 (1) 基于最小多項式計算 先計算伴隨矩陣 因此,伴隨矩陣adj(?I-A)各元素的最高公約式為(?-2),故最小多項式?(?)為 A有重特征值(6/4)—例3-8 由于最小多項式的階次為2,則根據塞爾維斯特插值法,矩陣指數函數可以表示為 因此,待定函數?i(t)(i=0, 1)計算如下 則系統的矩陣指數函數為 A有重特征值(7/4)—例3-8 (2) 基于特征多項式計算 由于特征多項式的階次為3,則根據塞爾維斯特插值法,矩陣指數函數可以表示為 因此,待定函數?i(t)(i=0, 1,2)計算如下 A有重特征值(8/4)—例3-8 則系統的矩陣指數函數為 Ch.3 線性系統的時域分析 目錄(1/1) 目 錄 概述 3.1 線性定常連續系統狀態方程的解 3.2 狀態轉移矩陣及其計算 3.3 線性時變連續系統狀態方程的解 3.4 線性定常連續系統的離散化 3.5 線性定常離散系統狀態方程的解 3.6 Matlab問題 本章小結 狀態轉移矩陣計算(1/1) 3.2 狀態轉移矩陣計算 在狀態方程求解中,關鍵是狀態轉移矩陣?(t)的計算。 對于線性定常連續系統,該問題又歸結為矩陣指數函數eAt的計算。 上一節已經介紹了基于拉氏反變換技術的矩陣指數函數eAt的計算方法,下面講述計算矩陣指數函數的下述其他3種常用方法。 級數求和法 約旦規范形法 化eAt為A的有限多項式矩陣函數法 重點推薦 級數求和法(1/3) 3.2.1 級數求和法 由上一節對矩陣指數函數的定義過程中可知: 矩陣指數函數eAt的計算可由上述定義式直接計算。 由于上述定義式是一個無窮級數,故在用此方法計算eAt時必須考慮級數收斂性條件和計算收斂速度問題。 類似于標量指數函數eat, 對所有有限的常數矩陣A和有限的時間t來說,矩陣指數函數eAt這個無窮級數表示收斂。 級數求和法(2/3) 顯然,用此方法計算eAt一般不能寫成封閉的、簡潔的解析形式,只能得到數值計算的近似計算結果。 其計算精度取決于矩陣級數的收斂性與計算時所取的項數的多少。 如果級數收斂較慢,則需計算的級數項數多,人工計算是非常麻煩的,一般只適用于計算機計算。 因此,該方法的缺點: 計算量大 精度低 非解析方法,難以得到計算結果的簡潔的解析表達式 。 級數求和法(3/3)—例3-4 例3-4 用直接計算法求下述矩陣的矩陣指數函數: 解 按矩陣指數函數的展開式計算如下: 約旦規范形法 (1/8) 3.2.2 約旦規范形法 上節給出了對角線矩陣、塊對角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣的矩陣指數函數。 由于任何矩陣都可經線性變換成為對角線矩陣或約旦矩陣,因此 可通過線性變換將一般形式的矩陣變換成對角線矩陣或約旦矩陣, 再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數函數來快速計算矩陣矩陣指數函數。 下面討論之。 約旦規范形法(2/8) 下面首先討論矩陣指數函數的一條性質: 對矩陣A,經變換矩陣P作線性變換后,有 則相應地有如下矩陣指數函數的變換關系 約旦規范形法(3/8) 該結論可簡單證明如下: 根據上述性質,對任何矩陣A, 可先(1)通過線性變換方法得到對角線矩陣或約旦矩陣, 然后(2)利用該類特殊矩陣的矩陣指數函數,由矩陣指

總結

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