本節書摘來自華章出版社《數論概論（原書第4版）》一書中的第2章，作者 布朗大學，更多章節內容可以訪問云棲社區“華章計算機”公眾號查看

第2章 勾 股 數 組

畢達哥拉斯定理（即勾股定理）是中學生“喜愛”的公式,它表明任一個直角三角形(如圖21所示)的兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方．用公式表示就是

因為對數論(即自然數理論)感興趣,所以我們會問是否存在畢達哥拉斯三角形,它的所有邊長都是自然數．有許多這樣的三角形，最著名的例子是邊長為3,4,5的三角形（即中國古代數學家發現的“勾廣三，股修四、徑隅五”）．下面是前幾個例子:

對這些畢達哥拉斯三元組（下稱勾股數組）的研究在畢達哥拉斯時代以前很久就開始了．包含這種三元組的巴比倫表格中甚至有很大的三元組,這表明巴比倫人可能擁有得到這種三元組的系統方法．更令人驚訝的是，

13巴比倫人似乎使用他們的勾股數組表作為原始的三角形表．古埃及人也使用勾股數組．例如,產生直角的粗略方法是取一根繩子,將其分成12等份,系成一個圈再繃成一個3-4-5三角的形狀,如圖22所示．這為標記地界或建造金字塔等提供了一種廉價的直角工具．

巴比倫人與古埃及人擁有研究勾股數組的實際理由．這種實際理由仍存在嗎?對于這種特殊問題,答案是“未必”．然而研究勾股數組至少有一種好的理由,與值得研究倫布蘭特藝術和貝多芬音樂的理由相同．數之間相互影響方式的美正如油畫或交響樂創作的美．為欣賞這種美,人們不得不花費大量精力．但是這種努力是值得的．本書的目的是理解并欣賞真正優美的數學,學會如何發現與證明這種數學,甚至做出我們自己原創性的貢獻．

你無疑會認為這有點胡說，讓我們看些實例．第一個純樸的問題是，是否存在無窮多個勾股數組,即滿足方程a2+b2=c2的自然數三元組(a,b,c)．答案是“肯定的”．如果取勾股數組(a,b,c),用整數d乘它,則得到新的勾股數組(da,db,dc)．這是成立的，因為

顯然,這些新的勾股數組并不令人感興趣．所以我們轉而關注沒有（大于1）公因數的三元組．我們甚至給它們起個名字:14

本原勾股數組(簡寫為PPT)是一個三元組(a,b,c)，其中a,b,c沒有公因數
數d是a,b，c的公因數指的是a,b，c都是d的倍數．例如,3是30,42，105的公因數,因為30=3?10,42=3?14，105=3?35,事實上3是它們的最大公因數．另一方面,數10,12，15沒有(除1外的)公因數．因為本章的目的是不拘泥于嚴謹體系來研究有趣而美妙的數論,所以,我們非正式地使用公因數與整除性并相信自己的直覺．在第5章我們將回到這些問題,更仔細地發展整除性理論．

,且滿足

回顧一下第1章提到的研究步驟．第一步是積累數據．使用計算機代入具體的a,b值并檢查a2+b2是否為平方數．下面是得到的一些本原勾股數組:

由這個短表容易得到一些結論．例如,似乎a與b奇偶性不同且c總是奇數．

不難證明這些猜想是正確的．首先,如果a與b都是偶數,則c也是偶數．這意味著a,b,c有公因數2,所以三元組不是本原的．其次,假設a,b都是奇數,那么c必是偶數．于是存在整數x,y,z使得

將其代入方程a2+b2=c2得

最后一個等式說的是一個奇數等于一個偶數，這是不可能的,所以a與b不能都是奇數．因為我們已證明它們不可能都是偶數,也不可能都是奇數,15故它們的奇偶性不同．

再由方程a2+b2=c2可得c是奇數．

考慮到a,b的對稱性,我們的問題化為求解方程
a2+b2=c2,a是奇數, b是偶數, a,b,c沒有公因數
的所有自然數解．我們使用的工具是因數分解和整除性．

我們的第一個觀察如下：如果(a,b,c)是本原勾股數組,則可進行因數分解
a2=c2-b2=(c-b)(c+b)．
下面是來自前面列表的例子,注意我們總是取a是奇數且b是偶數:

似乎c-b與c+b本身總是平方數．我們用另外兩個例子驗證這個觀察:

怎樣證明c-b與c+b都是平方數呢?由前面的列表,另一個觀察是c-b與c+b似乎沒有公因數．我們可如下證明這個斷言：假設正整數d是c-b與c+b的公因數，即d整除c-b與c+b．則d也整除

因此d整除2b與2c．但是b與c沒有公因數,這是因為我們假設了(a,b,c)是本原勾股數組．從而d必等于1或2．但d也整除(c-b)(c+b)=a2且a是奇數,故d必等于1．換句話說,16整除c-b與c+b的數只能是1,所以c-b與c+b沒有公因數．

現在我們知道c-b與c+b沒有公因數而且由于(c-b)(c+b)=a2，所以c-b與c+b的積是平方數．這種情況只有在c-b與c+b自身都是平方數時才出現如果考慮將c-b與c+b分解成素數乘積，就會發現從直觀上看這是顯而易見的,因為c-b分解式中的素數與c+b分解式中的素數不同．然而,素數分解的存在性與唯一性并不顯然．在第7章我們將進一步討論．
．記

為什么說是“接近”完成了證明呢？我們已經證明如果(a,b,c)是一個PPT，a為奇數，那么存在沒有公因數的奇數s>t≥1使得a,b,c可用上述公式表示．我們還需要驗證這些公式給出的總是一個PPT．先通過代數運算來說明公式給出的是勾股數組：

還需說明st,s2-t22和s2+t22沒有公因數．利用素數的重要性質是最容易證明這個結論的，因此我們把證明推遲到第7章，17由讀者來完成（習題73）．

例如,如果取t=1,則得三元組s,s2-12,s2+12,它的b與c值僅相差1．這就解釋了上面列出的許多例子．下表列出了s≤9時所有可能的三元組．

關于記號的插曲

數學家創造了標準記號作為各種量的速記符號．我們應盡量少用這種記號,但有些通用符號是非常有用的，值得花時間在此介紹一下．它們是

另外,數學家常常使用R表示實數集合,C表示復數集合,但是我們不需要這些．為什么選取這些字母呢?選取N,R,C無需解釋．表示整數集合的字母Z源自德文單詞“Zahlen”,其意思是數．類似地,Q源自德文單詞“Quotient”(與英文單詞相同，意為商)．我們也使用標準的數學符號∈來表示“屬于某個集合”．例如,a∈N表示a為自然數,x∈Q表示x為有理數．

習題

21(a)我們證明了在任何本原勾股數組(a,b,c)中,a或b是偶數．用相同的論證方法證明a或b必是3的倍數．18

(b)通過考察前面的本原勾股數組表,給出當a,b或c是5的倍數時的猜測．試證明你的猜測是正確的．

22非零整數d整除m是指對某個整數k滿足m=dk．證明：若d整除m與n，則d也整除m-n與m+n．

23對下述每個問題,從搜集數據開始，進而分析數據,形成猜想;最后設法證明你的猜測是正確的．(別擔心你不能解決問題的每一部分，有些部分相當難．)

(a)哪些奇數a可出現在本原勾股數組(a,b,c)中?

(b)哪些偶數b可出現在本原勾股數組(a,b,c)中?

(c)哪些整數c可出現在本原勾股數組(a,b,c)中?

24下面是兩個本原勾股數組的例子：
332+562=652與162+632=652．
再至少找出一個新例子,使得兩個本原勾股數組有相同的c值．你能找出有相同c值的三個本原勾股數組嗎?你能找出多于三個且有相同c值的本原勾股數組嗎？

25在第1章中我們看到第n個三角數Tn由公式
Tn=1+2+3+…+n=n(n+1)2．
給出．前四個三角數是1,3,6,10．在我們的勾股數組（a,b,c）列表中有些b值是三角數的4倍，例如，(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)．

(a)求出b=4T5，4T6，4T7的本原勾股數組(a,b,c)．

(b)你認為對每個三角數Tn都存在b=4Tn的本原勾股數組(a,b,c)嗎?如果你確信這成立,則證明它,否則,找出使其不成立的三角數．

26如果觀察本章的本原勾股數組表,你會發現多個三元組（a,b,c）滿足c比a大2．例如,三元組(3,4,5),(15,8,17),(35,12,37),(63,16,65)都具有這種性質．

(a)再求兩個本原勾股數組(a,b,c)使得c=a+2．

(b)求本原勾股數組(a,b,c)使得c=a+2且c>1000．

(c)試求滿足c=a+2的本原勾股數組(a,b,c)的通用公式．

27對本章列表中的每個本原勾股數組(a,b,c)，計算2c-2a．這些值呈現某種特殊形式嗎?試證明你的觀察對所有本原勾股數組成立．

28設m,n為相差2的正整數，將1m+1n寫成最簡分數．例如，12+14=34,13+15=815．
19

（a）計算接下去的三個例子．

（b）考察 (a) 中分數的分子和分母，與上一頁上的勾股數組表對照，提出關于這些分數的一個猜想．

（c）證明你的猜想是正確的．

29(a)閱讀關于巴比倫數系的材料并寫出簡短說明,要包括1~10以及20,30,40,50的記號．

(b)了解被稱為Plimpton 322號的巴比倫泥石板并寫出簡要說明,要涉及它的形成年代．

（c）Plimpton 322號的第二和第三列給出了一些整數對(a,c)，它們滿足c2-a2是完全平方數．將其中的一些數對從巴比倫數轉化為十進制數，并計算b的值使得(a,b,c)為勾股數組．20

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《数论概论（原书第4版）》一第2章 勾 股 数 组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。