?二維高斯核，Rank秩等于一的矩陣

? ? ? 之前，我在學習圖像處理的時候，會經常用到Gaussian blur，也就是二維高斯低通濾波。當時用的都是Matlab中，現成的圖像處理庫。只需要輸入sigma和kernel size這些參數就行了，完全不需要考慮高斯核中的每個點長啥樣。雖然教科書里面也會有一些配圖，例如：

? ? ? ? 直到后來，我學習高斯圖像金字塔的時候發現，在別人的代碼里面，他在生成二維高斯核的時候，并不是直接寫出來的。而是，不論什么尺寸的2D高斯核，都是先生成一個對應長度的一維高斯核。然后再用這個一維的高斯核（列向量），乘以他自己的轉置（行向量），生成我們期望的2D高斯核。就像這樣：

????????當時我就覺得驚為天人，居然還有這種操作。再后來，我就把他這種做法，當作一種技巧來用，但一直都非常好奇，為什么可以這樣？為什么別的二維濾波器不能這樣合成？為什么只有二維高斯核可以這樣合成？除了二維高斯核以外，還有沒有別的二維濾波器可以用這種方法來實現？在后來的工作當中，我也因為這個問題咨詢過許多高人，有人試圖回答過，但都沒有一個讓我滿意的答案，直到。。。后來，我學習了線性代數，線性代數的課本回答了我這個長久以來的疑惑。

因為：2D高斯核的秩rank為1！

????????

? ? ? ? 所以，他可以表達成一個列向量乘以一個行向量的形式。也就是說，任何一個秩等于1的矩陣都可以表示成如下形式(其中，u，v都是列向量，又因為u,v的維數可以不同，所以，A不一定是方陣)：

?

例如：u,v維數相同的情形，得到的是一個3x3的方陣。

?

u,v維數不相同的情形，得到的是一個3x2的長方形矩陣

?

????????同時，我們還應該看到，一個列向量與一個行向量的乘積，既可以看成是以列向量為權重對行向量進行操作，也可以看成是以行向量為權重對列向量進行操作。只要一維向量是左右對稱的，那么他與他的轉置所生成的二維矩陣也是上下左右都對稱的。

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下面是我自己的一些筆記：

?（全文完）

作者 --- 松下J27

古詩詞賞析：

《木蘭詩》---南北朝樂府詩集

　　唧唧復唧唧，木蘭當戶織。不聞機杼聲，唯聞女嘆息。(唯 一作：惟)

　　問女何所思，問女何所憶。女亦無所思，女亦無所憶。昨夜見軍帖，可汗大點兵，軍書十二卷，卷卷有爺名。阿爺無大兒，木蘭無長兄，愿為市鞍馬，從此替爺征。

　　東市買駿馬，西市買鞍韉，南市買轡頭，北市買長鞭。旦辭爺娘去，暮宿黃河邊，不聞爺娘喚女聲，但聞黃河流水鳴濺濺。旦辭黃河去，暮至黑山頭，不聞爺娘喚女聲，但聞燕山胡騎鳴啾啾。

　　萬里赴戎機，關山度若飛。朔氣傳金柝，寒光照鐵衣。將軍百戰死，壯士十年歸。

　　歸來見天子，天子坐明堂。策勛十二轉，賞賜百千強。可汗問所欲，木蘭不用尚書郎，愿馳千里足，送兒還故鄉。

　　爺娘聞女來，出郭相扶將；阿姊聞妹來，當戶理紅妝；小弟聞姊來，磨刀霍霍向豬羊。開我東閣門，坐我西閣床。脫我戰時袍，著我舊時裳。當窗理云鬢，對鏡帖花黃。出門看火伴，火伴皆驚忙：同行十二年，不知木蘭是女郎。

　　雄兔腳撲朔，雌兔眼迷離；雙兔傍地走，安能辨我是雄雌？

鳴謝（參考文獻）：

1，線性代數及其應用，侯自新，南開大學出版社，1990.

?（配圖與本文無關）

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数在图像处理中的应用 --- 纳尼? 2D的高斯核可以通过1D的高斯核直接生成？（秩为1的矩阵）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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