前言

今天寫的這一篇文章離寫第一篇文章的時間可能有幾天了，并且在這段時間里也有人向我提出了我錯誤的地方，現(xiàn)已做出更改
今天，我們又做到了一道題目，也是不平等博弈的，聽了講題，我對不平等博弈有了更深的理解

Past感想（現(xiàn)在對前兩篇博客已經(jīng)做修改）

首先，不平等博弈，或者說是一個游戲，一直以來我覺得都可以用超實數(shù)來做，但今天我發(fā)現(xiàn)，其實超實數(shù)其實是一種數(shù)，這種游戲的狀態(tài)不等價于超實數(shù)，就比如$?$符號，這個就不是超實數(shù)，所以這些東西都是超實數(shù)的擴充
還有呢，在超實數(shù)的運算$\{X|Y\}$的定義中有“這兩個集合中的元素也為超實數(shù)，且右集合中不存在一個元素$x$使得左集合中存在一個元素$y$滿足 $x\le y$”。
但事實上在博弈上很容易出現(xiàn)比如說$\{1|0\}$的情況，這個時候在博弈中仍然是合法的，但是卻不能按一般的運算方法來做了，需要用一些特技來算了

正文

超實數(shù)的定義中一定要左小右大
但在實際博弈中不一定滿足
就比如一道題，有兩個人，一個人每次能拿a個石子，一個人每次能拿b個石子，求多堆的時候的情況
這道題有一個規(guī)律，如果有一堆石子有x個，那么它的狀態(tài)等價于x%(a+b)個，可能不會證明，但是能通過打幾個表來找到規(guī)律，其中就有{l|r}(l>r)的運算
下面枚舉a=2,b=3的情況

• f(0)=0
  0顆石子，先手必敗
• f(1)=0
  1顆石子，同樣兩個人都不能取，先手必敗
• f(2)=1
  第一個人能取，f(2)= { f(0) | $\Phi$ }={ 0 | inf }=1
• f(3)=$?$
  一個人拿了另一個人就不能拿，所以就是先手必勝，先手必勝有3種情況：$?+\uparrow$ 、$?+\downarrow$ 、$?$ ，要怎么判斷是三個中的哪個呢，由于$\uparrow +\uparrow$是一個第一個人必勝態(tài)，$\downarrow +\downarrow$是第一個人必敗態(tài)，所以只要把這個石子復(fù)制成2堆，若是第一個人必勝，那么就是$?+\uparrow$，若是第二個人必勝，那么就是$?+\downarrow$，若是先手必敗，那么就是$?$，兩堆3個的石子，那么顯然是先手必敗，所以f(3)=$?$，其實很顯然，f(3)={f(1)|f(0)}={0|0}=$?$
• f(4)=$?+\uparrow$
  同f(3)的做法，兩個4堆的石子，是第一個人必勝，所以f(4)=$?+\uparrow$，同時發(fā)現(xiàn)，解決了f(4)={f(2)|f(1)}={1|0}的問題，{1|0}=$?+\uparrow$
• f(5)=0
  這個顯然先手必敗，所以是0，同時f(5)={f(3)|f(2)}={$?$|1},它竟然等于0
• f(6)=0
  這個分析一下就知道，若第一個玩家先取，那么第二個玩家贏，若第二個玩家先取，那么第一個玩家贏，所以f(6)=0，得出f(6)={f(4)|f(3)}={$?+\uparrow$|$?$}=0
• f(7)=1
• f(7)={f(5)|f(4)}={0|$?+\uparrow$}，分析一下，這是一個先手必勝的狀態(tài)，但是它等于幾呢？一臉迷茫，猜一波結(jié)論，f(7)=1?證明呢，很簡單，證明f(7)+(-1)=0就好了，也就是第二個人多一步，你可以自己分析一下步數(shù)，那就可以發(fā)現(xiàn)確實是先手必敗
  …其實已經(jīng)有點循環(huán)了，后面的證明同理，不再說明
  說重點，講一講超實數(shù)的加法吧

我們發(fā)現(xiàn)，對于這些奇奇怪怪的狀態(tài)，還是帶入實際問題用博弈的方式解決比較好，找不到比較好的定義

加法運算（用于超實數(shù)狀態(tài)的多堆情況）

對于超實數(shù) x= { $X_L$ | $X_R$ } 和 y = { $Y_L$ | $Y_R$ } ，它們的加法運算被定義為：
x+y={ $X_L$ | $X_R$ }+{ $Y_L$ | $Y_R$ }={$X_L$+y,x+$Y_L$|$X_R$+y,x+$Y_R$},
對于某個集合X和超實數(shù)y，X + y = { x + y : x $\in$ X }
終止條件為$\Phi$ + n = $\Phi$

相反數(shù)運算

對于超實數(shù) x= { $X_L$ | $X_R$ } ，x的相反數(shù)為：- x = -{ $X_L$ | $X_R$ } = { -$X_R$ | -$X_L$ }，對于集合X，-X={ -x : x $\in$ X }
終止條件為-0=-{ | }={ | }=0

其它定義

還有的定義是x-y=x+(-y)
根據(jù)上面三個官方的定義，還可以得到兩個超實數(shù)之和還是超實數(shù)，并且加法滿足交換律、結(jié)合律

證明上面的$\uparrow$ + $\uparrow$是先手必勝態(tài)
證明：$\uparrow$ + $\uparrow$ = { 0 | $?$ } + { 0 | $?$ } = { 0 + $\uparrow$ , $\uparrow$ + 0| $?$ + $\uparrow$ , $\uparrow$ + $?$ } = { $\uparrow$ | $?$ + $\uparrow$ }，所以是先手必勝

可能就這些了吧，這些東西差不多可以讓超實數(shù)在博弈中得到擴展，之后不平等博弈問題會在需要的時候繼續(xù)更新新的篇目，記錄（三）到這里就結(jié)束了

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的不平等博弈问题学习记录（三）（对于超实数在博弈下左大右小以及多堆情况的扩充）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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