三人決斗問題（槍手博弈）

題目是這樣的：

A、B、C三人進行決斗。A 的射擊命中率是三分之一，也就是說如果他努力的話，他平均每三槍可以擊中一次；B 的射擊命中率是二分之一；C 的射擊命中率是一（也就是百分之百）。由于 A 的命中率最低，為公平起見，他們讓 A 先射，然后是 B（如果他還活著的話），然后是 C（如果他還活著的話）。再然后是 A，B，C，如此循環(huán)下去，直到只有一人活著。每次射擊時只能開一槍，但可以選擇朝哪里開，也可以選擇放空槍。我們的問題是：如果ABC三人都按照最佳選擇行事，也就是說盡可能的提高自己地存活率，誰活下來的可能性最大？準確一點，每個人活下來的概率是多少？

根據(jù)題意，在第一輪射擊過程中，我們可以有三個比較明顯的推斷：

1) 由于 C 的命中率為100%，A、B 第一輪如果互相攻擊則無異于找死；
2) C 在 A 與 B 中，會優(yōu)先射 B，因為 B 的命中率 1/2 大于 A 的命中率 1/3，不可養(yǎng)虎為患；
3) B 會射 C，B 先于 C 開槍，若其推斷出 C 會優(yōu)先射擊自己，則一定會先射 C，因為投降則必死，不如一博。

接下來，我們可以先把問題簡化一下，先考慮只有兩個人的情形。注意到 C 的命中率有100%，因此無論只有 A 與 C 還是只有 B 與 C，情況都比較簡單，如果輪到 C 開槍則 C 獲勝。

比如，如果現(xiàn)在只有 A 與 C 決斗，則如果 A 先開槍，A 的存活率為 1/3 （他一槍命中的情況），如果 C 先開槍，則 A 必死。

現(xiàn)在考慮如果只有 A 和 B 決斗，情況會怎么樣，顯然，在只有兩個人的情況下，如果雙方都想盡可能地提高自己的存活率，則不會有人放空槍。假設(shè)此時輪到 A 開槍，則：

1) A 開槍，有 1/3 的機會擊中 B 獲勝，2/3 的機會未擊中，進入下一輪；
2) B 開槍，有 1/2 的機會擊中 A 獲勝，1/2 的機會未擊中，進入下一輪；
3) 重復(fù)以上步驟，直到有一人獲勝。

如下圖所示：

當只有 A、B 決斗時，如 A 先開槍，則 A、B 的存活概率 P(A1)、P(B1) 分別為：

P(A1)
= 1/3 + 1/3 * (1/3 + 1/3 * …)
= 1/3 * (1 + 1/3 + (1/3) ^ 2 + …)
= 1/3 * (1/(1 – 1/3))
= 1/2

對應(yīng)地有 P(B1) = 1 – P(A1) = 1 – 1/2 = 1/2 。

如 B 先開槍，則 A、B 的存活概率 P(A2)、P(B2) 分別為：

P(A2) = P(A1) * 1/2 = 1/4 （相當于 B 先開一次槍后再進行上面 A 先開槍的步驟。）

對應(yīng)地有 P(B2) = 1 – P(A2) = 1 – 1/4 = 3/4 。

顯然，在 B 與 C 之間，A 更不希望與 C 決斗。上面的 P(A1)、P(B2) 下面還會用到。

如果 A 第一槍射 B ，則他有 1/3 的概率直接射中 B，然后被 C 打死，2/3 的概率進入下一輪決斗，即 A 有 1/3 的概率在第一輪就掛掉。下一輪中他有 1/2 的概率與 B 決斗，1/2 的概率與 C 決斗，情況看起來不是很妙。

如果 A 與 B 同仇敵愾，第一槍先一起射 C 呢？他將有 1/3 的概率射中 C，然后被 B 以 1/2 的概率射中，即如果他先射 C，則有 1/3 * 1/2 = 1/6 的概率在第一輪就掛掉。

那如果 A 第一輪放空槍呢？這時，B 顯然會射 C，如果射中（1/2 概率），則進入 A、B 決斗的情況，并且是 A 先開槍，A 有 1/2 的概率存活；如 B 未射中 C（1/2 概率），則輪到 C 開槍時 C 顯然會把 B 干掉，進入 A、C 決斗的情況，A 先開槍，此時 A 有 1/3 的存活概率。

顯然，A 第一輪放空槍是一種更好的策略。此時，A、B、C 三人決斗可能的流程如下圖所示：

其中 A、B、C 三人存活的概率分別為：

P(A) = 1/2 * 1/3 + 1/2 * P(A1) = 1/6 + 1/3= 5/12

P(B) = 1/2 * P(B2) = 1/4

P(C)=(1 – 1/2) * (1 – 1/3) = 1/3

其中 P(A1)、P(B2) 即是上面只有 A、B 兩人決斗時計算得到的中間變量。

可以看到，P(A) > P(C) > P(B)，A 的存活概率最大（接近于 1/2），C 的存活概率次之，B 的存活概率最小。

分析方法值得學(xué)習，由簡入深，依次遞推。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/lovemo1314/archive/2013/03/21/2972421.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的博弈-三个枪手决斗的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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