本學期將繼續進行高等代數每周一題的活動。計劃從第一教學周開始，到第十六教學周為止（根據法定節假日安排，中間個別周會適當地停止），每周的周末將公布1道思考題（共16道），供大家思考和解答。每周一題通過“謝啟鴻高等代數官方博客（以博文的形式）”和“高等代數在線課程17級課群（以課群話題的形式）”這兩個渠道同時發布，并通過17級高等代數微信群及時通知大家。有興趣的同學可以將每周一題的解答寫在紙上，并拍成圖片上傳到該每周一題對應的課群話題中。謝啟鴻老師或研究生助教會對每周一題的解答進行批改和評價，并將優秀解答標記出來推薦給全班同學。

[問題2018S01]? (1) 設 $A(x_1,x_2,\cdots,x_m)=(a_{ij}(x_1,x_2,\cdots,x_m))$ 為 $n$ 階方陣, 其所有元素 $a_{ij}(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 都是關于未定元 $x_1,x_2,\cdots,x_m$ 的多項式. 設 $h_i(x_1,x_2,\cdots,x_m)\neq 0\,(1\leq i\leq k)$, $g(x_1,x_2,\cdots,x_m)$?都是關于未定元 $x_1,x_2,\cdots,x_m$ 的多項式, 使得當數?$a_1,a_2,\cdots,a_m$ 滿足?$h_i(a_1,a_2,\cdots,a_m)\neq 0\,(\forall\,1\leq i\leq k)$ 時, $|A(a_1,a_2,\cdots,a_m)|=g(a_1,a_2,\cdots,a_m)$ 成立. 證明: $|A|=g(x_1,x_2,\cdots,x_m)$ 恒成立.

(2) 利用 (1) 給出復旦高等代數教材第 37 頁習題 1.5.5 的簡單解法.

(3) 利用多元多項式環的整性給出復旦高等代數教材第 91 頁例 2.5.2 的嚴格證明.

[問題2018S02]? 設 $M_n(K)$ 是數域 $K$ 上 $n$ 階方陣全體構成的線性空間, $P=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$, $M_n(K)$ 上的線性變換 $\eta$ 定義為 $\eta(X)=PX'P$. 試求 $\eta$ 的全體特征值及其特征向量.

[問題2018S03]? 有限維線性空間上的線性變換至多只有有限個特征值. 試構造無限維線性空間 $V$ 上的線性變換 $\varphi$, 使得 $\varphi$ 有無限個特征值.

[問題2018S04]? 設 $A$ 為 $n$ 階復矩陣, $\alpha,\beta$ 為 $n$ 維復列向量, $B=A\alpha\beta'$. 試求矩陣 $B$ 可對角化的充要條件.

[問題2018S05]? 設 $C$ 為 數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣, 證明:

(1) $C$ 是冪零陣當且僅當 $C$ 的特征值全為零;

(2) 若 $r(C)=1$, 則 $C$ 是冪零陣當且僅當 $\mathrm{tr}(C)=0$;

(3) 若 $\mathrm{tr}(C)=0$ 且存在數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣 $A$, 使得 $A$ 的特征多項式是 $K$ 上的不可約多項式,? 以及 $\mathrm{tr}(CA^i)=0\,(\forall\,1\leq i\leq n-1)$ 成立, 則必有 $r(C)\neq 1$.

[問題2018S06]? 請僅用復旦高代教材第六章的方法和技巧證明以下問題:

(1) 設數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣?$A$ 滿足 $A^m=I_n$, 其中 $m$ 是正整數, 證明: $A$ 在復數域上可對角化;

(2) 設 $V$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi^m=I_V$, 其中 $m$ 是正整數. 設 $W=\{v\in V\mid \varphi(v)=v\}$ 為 $V$ 的子空間, 線性變換 $\psi=\dfrac{1}{m}\sum\limits_{i=0}^{m-1}\varphi^i$, 證明: $\mathrm{tr}\psi=\dim W$.

[問題2018S07]? 設 $A$ 為 $n$ 階復矩陣, 請僅用復旦高代教材第六章的方法和技巧證明以下問題:

(1) $A$ 可對角化當且僅當 $A$ 的極小多項式無重根;

(2) 若 $A$ 滿足 $A\overline{A}'=\overline{A}'A$, 則 $A$ 可對角化.

注? (1) 包含在復旦高代教材的推論 7.6.1 中, (2) 包含在復旦高代教材的定理 9.6.3 中.

提示? 請參考 16 級高代 II 思考題 6 及其解答博文《實對稱陣可對角化的幾種證明》.

[問題2018S08]? 設 $V$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, $f(\lambda),m(\lambda)$ 分別是 $\varphi$ 的特征多項式和極小多項式. 如果存在 $V$ 的 $\varphi-$不變子空間 $V_1,V_2$, 使得 $$V=V_1\oplus V_2,\,\,\,\,\dim V_1<\dim V,\,\,\,\,\dim V_2<\dim V,$$ 則稱 $V$ 是 $\varphi-$可分解的, 否則稱 $V$ 是 $\varphi-$不可分解的. 證明: $V$ 是 $\varphi-$不可分解的充分必要條件是 $f(\lambda)=m(\lambda)=p(\lambda)^k$, 其中 $p(\lambda)$ 是 $K$ 上的首一不可約多項式, $k\geq 1$.

[問題2018S09]? 設 $V$ 是復數域上的?$n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, $U$ 是 $V$ 的非零 $\varphi-$不變子空間. 設 $\lambda_0$ 是限制變換 $\varphi|_U$ 的一個特征值, 證明: $\varphi|_U$ 的屬于特征值 $\lambda_0$ 的 Jordan 塊的個數不超過 $\varphi$ 的屬于特征值 $\lambda_0$ 的 Jordan 塊的個數. 特別地, 若 $\varphi$ 的屬于特征值 $\lambda_0$ 的 Jordan 塊只有 1 個, 那么 $\varphi|_U$ 的屬于特征值 $\lambda_0$ 的 Jordan 塊也只有 1 個.

注? 本題是 16 級高代 II 期中考試第六大題的推廣. 請參考 17 級高代 I 每周一題第 10 題.

[問題2018S10]? 設 $A$ 是復循環矩陣, $f(z)$ 是收斂半徑為 $+\infty$ 的復冪級數, 證明: $f(A)$ 也是循環矩陣.

[問題2018S11]? 求下列實二次型的規范標準型: $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i,j=1}^n|i-j|x_ix_j$.

[問題2018S12]? 設 $\alpha,\beta$ 為 $n$ 維非零實列向量,

(1) 證明: $\alpha'\beta>0$ 成立的充要條件是存在 $n$ 階正定實對稱陣 $A$, 使得 $\alpha=A\beta$;

(2) 判斷下列結論是否正確, 并說明理由: $\alpha'\beta\geq 0$ 成立的充要條件是存在 $n$ 階半正定實對稱陣 $A$, 使得 $\alpha=A\beta$.

[問題2018S13]??設 $V$ 是實 (復) 線性空間, 若存在 $V$ 上的實值函數 $\|\,\cdot\,\|:V\to\mathbb{R}$, 使得對任意的 $\alpha,\beta\in V$, $c\in\mathbb{R}\,(\mathbb{C})$, 滿足:

(i) 非負性: $\|\alpha\|\geq 0$, 等號成立當且僅當 $\alpha=0$;

(ii) 齊次性: $\|c\alpha\|=|c|\cdot\|\alpha\|$;

(iii) 三角不等式: $\|\alpha+\beta\|\leq \|\alpha\|+\|\beta\|$,

則稱 $\|\,\cdot\,\|$ 是 $V$ 上的一個范數. 給定范數的實 (復) 線性空間稱為賦范線性空間. 例如在內積空間 $V$ 中, 由內積 $(-,-)$ 誘導的范數為 $\|\alpha\|=(\alpha,\alpha)^{\frac{1}{2}}$, 因此內積空間必為賦范線性空間. 現設 $(V, \|\,\cdot\,\|)$ 為賦范線性空間, 并且范數滿足平行四邊形法則, 即對任意的 $\alpha,\beta\in V$, 滿足$$\|\alpha+\beta\|^2+\|\alpha-\beta\|^2=2\|\alpha\|^2+2\|\beta\|^2,$$ 證明: 存在 $V$ 上的一個內積 $(-,-)$, 使得其誘導的范數即為 $\|\,\cdot\,\|$.

[問題2018S14]??設 $V$ 為 $n$ 維歐氏空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的非異線性變換. 證明: $\varphi$ 保持向量的夾角不變 (即對任意的非零向量 $\alpha,\beta$, 它們之間的夾角等于 $\varphi(\alpha),\varphi(\beta)$ 之間的夾角) 當且僅當 $\varphi$ 保持向量的正交性不變 (即對任意正交的向量 $\alpha,\beta$, 它們的像 $\varphi(\alpha),\varphi(\beta)$ 也正交).

[問題2018S15]??設?$A,B$ 是乘法可交換的 $n$ 階實對稱陣, 且 $A,B,A+B$ 都可逆,?證明: $$(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}.$$

[問題2018S16]??設?$A=(a_{ij})$ 為 $n$ 階實對稱陣, 滿足 $a_{ij}\geq 0\,(1\leq i,j\leq n)$.?設 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 為 $A$ 的全體特征值, 證明: 存在某個特征值 $\lambda_j=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|$.

注 ?本題的結論對一般的非負矩陣都成立 (即可把對稱條件去掉). 具體地, 若 $A$ 是非負矩陣?(即所有元素都大于等于零), 則譜半徑 $\rho(A)=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|$ 是 $A$ 的特征值, 并且可取到非負向量?(即所有元素都大于等于零) 作為對應的特征向量 (參考: Horn & Johnson, Matrix Analysis, 2nd ed., Theorem 8.3.1).

總結

以上是生活随笔為你收集整理的复旦高等代数 II（17级）每周一题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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