此文轉自：http://www.cnblogs.com/ider/archive/2012/04/01/binary_search.html

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在學習算法的過程中，我們除了要了解某個算法的基本原理、實現方式，更重要的一個環節是利用big-O理論來分析算法的復雜度。在時間復雜度和空間復雜度之間，我們又會更注重時間復雜度。

時間復雜度按優劣排差不多集中在：

O(1), O(log n), O(n), O(n log n), O(n²), O(n^k), O(2ⁿ)

到目前位置，似乎我學到的算法中，時間復雜度是O(log n),好像就數二分查找法，其他的諸如排序算法都是 O(n log n)或者O(n²)。但是也正是因為有二分的 O(log n), 才讓很多 O(n²)縮減到只要O(n log n)。

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關于二分查找法

二分查找法主要是解決在“一堆數中找出指定的數”這類問題。

而想要應用二分查找法，這“一堆數”必須有一下特征：

• 存儲在數組中
• 有序排列

所以如果是用鏈表存儲的，就無法在其上應用二分查找法了。（曽在面試被問二分查找法可以什么數據結構上使用：數組？鏈表？）

至于是順序遞增排列還是遞減排列，數組中是否存在相同的元素都不要緊。不過一般情況，我們還是希望并假設數組是遞增排列，數組中的元素互不相同。

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二分查找法的基本實現

二分查找法在算法家族大類中屬于“分治法”，分治法基本都可以用遞歸來實現的，二分查找法的遞歸實現如下：

View Code 1 int bsearch(int array[], int low, int high, int target) 2 { 3 if (low > high) return -1; 4 5 int mid = (low + high)/2; 6 if (array[mid]> target) 7 return binarysearch(array, low, mid -1, target); 8 if (array[mid]< target) 9 return binarysearch(array, mid+1, high, target); 10 11 //if (midValue == target) 12 return mid; 13 }

?不過所有的遞歸都可以自行定義stack來解遞歸，所以二分查找法也可以不用遞歸實現，而且它的非遞歸實現甚至可以不用棧，因為二分的遞歸其實是尾遞歸，它不關心遞歸前的所有信息。

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View Code 1 int bsearchWithoutRecursion(int array[], int low, int high, int target) 2 { 3 while(low <= high) 4 { 5 int mid = (low + high)/2; 6 if (array[mid] > target) 7 high = mid - 1; 8 else if (array[mid] < target) 9 low = mid + 1; 10 else //find the target 11 return mid; 12 } 13 //the array does not contain the target 14 return -1; 15 }

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只用小于比較（<）實現二分查找法

在前面的二分查找實現中，我們既用到了小于比較（<）也用到了大于比較（>），也可能還需要相等比較（==）。

而實際上我們只需要一個小于比較（<）就可以。因為錯邏輯上講a>b和b<a應該是有相當的邏輯值；而a==b則是等價于 !((a<b)||(b<a))，也就是說a既不小于b，也不大于b。

當然在程序的世界里， 這種關系邏輯其實并不是完全正確。另外，C++還允許對對象進行運算符的重載，因此開發人員完全可以隨意設計和實現這些關系運算符的邏輯值。

不過在整型數據面前，這些關系運算符之間的邏輯關系還是成立的，而且在開發過程中，我們還是會遵循這些邏輯等價關系來重載關系運算符。

干嘛要搞得那么羞澀，只用一個關系運算符呢？因為這樣可以為二分查找法寫一個template，又能減少對目標對象的要求。模板會是這樣的：

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View Code 1 template <typename T, typename V> 2 inline int BSearch(T& array, int low, int high, V& target) 3 { 4 while(!(high < low)) 5 { 6 int mid = (low + high)/2; 7 if (target < array[mid]) 8 high = mid - 1; 9 else if (array[mid] < target) 10 low = mid + 1; 11 else //find the target 12 return mid; 13 } 14 //the array does not contain the target 15 return -1; 16 }

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我們只需要求target的類型V有重載小于運算符就可以。而對于V的集合類型T，則需要有[]運算符的重載。當然其內部實現必須是O(1)的復雜度，否則也就失去了二分查找的效率。

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用二分查找法找尋邊界值

之前的都是在數組中找到一個數要與目標相等，如果不存在則返回-1。我們也可以用二分查找法找尋邊界值，也就是說在有序數組中找到“正好大于（小于）目標數”的那個數。

用數學的表述方式就是：

???? 在集合中找到一個大于（小于）目標數t的數x，使得集合中的任意數要么大于（小于）等于x，要么小于（大于）等于t。

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舉例來說：

給予數組和目標數

1 int array = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}; 2 int target = 7;

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那么上界值應該是11，因為它“剛剛好”大于7；下屆值則是5，因為它“剛剛好”小于7。

用二分查找尋找上界：

View Code 1 //Find the fisrt element, whose value is larger than target, in a sorted array 2 int BSearchUpperBound(int array[], int low, int high, int target) 3 { 4 //Array is empty or target is larger than any every element in array 5 if(low > high || target >= array[high]) return -1; 6 7 int mid = (low + high) / 2; 8 while (high > low) 9 { 10 if (array[mid] > target) 11 high = mid; 12 else 13 low = mid + 1; 14 15 mid = (low + high) / 2; 16 } 17 18 return mid; 19 }

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與精確查找不同之處在于，精確查找分成三類：大于，小于，等于（目標數）。而界限查找則分成了兩類：大于和不大于。

如果當前找到的數大于目標數時，它可能就是我們要找的數，所以需要保留這個索引，也因此if (array[mid] > target)時 high=mid; 而沒有減1。

用二分查找法找尋下界：

View Code 1 //Find the last element, whose value is less than target, in a sorted array 2 int BSearchLowerBound(int array[], int low, int high, int target) 3 { 4 //Array is empty or target is less than any every element in array 5 if(high < low || target <= array[low]) return -1; 6 7 int mid = (low + high + 1) / 2; //make mid lean to large side 8 while (low < high) 9 { 10 if (array[mid] < target) 11 low = mid; 12 else 13 high = mid - 1; 14 15 mid = (low + high + 1) / 2; 16 } 17 18 return mid; 19 }

下屆尋找基本與上屆相同，需要注意的是在取中間索引時，使用了向上取整。若同之前一樣使用向下取整，那么當low == high-1，而array[low] 又小于 target時就會形成死循環。因為low無法往上爬超過high。

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這兩個實現都是找嚴格界限，也就是要大于或者小于。如果要找松散界限，也就是找到大于等于或者小于等于的值（即包含自身），只要對代碼稍作修改就好了：

去掉判斷數組邊界的等號：

target >= array[high]改為 target > array[high]

在與中間值的比較中加上等號：

array[mid] > target改為array[mid] >= target

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用二分查找法找尋區域

之前我們使用二分查找法時，都是基于數組中的元素各不相同。假如存在重復數據，而數組依然有序，那么我們還是可以用二分查找法判別目標數是否存在。不過，返回的index就只能是隨機的重復數據中的某一個。

此時，我們會希望知道有多少個目標數存在。或者說我們希望數組的區域。

結合前面的界限查找，我們只要找到目標數的嚴格上屆和嚴格下屆，那么界限之間（不包括界限）的數據就是目標數的區域了。

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View Code 1 //return type: pair<int, int> 2 //the fisrt value indicate the begining of range, 3 //the second value indicate the end of range. 4 //If target is not find, (-1,-1) will be returned 5 pair<int, int> SearchRange(int A[], int n, int target) 6 { 7 pair<int, int> r(-1, -1); 8 if (n <= 0) return r; 9 10 int lower = BSearchLowerBound(A, 0, n-1, target); 11 lower = lower + 1; //move to next element 12 13 if(A[lower] == target) 14 r.first = lower; 15 else //target is not in the array 16 return r; 17 18 int upper = BSearchUpperBound(A, 0, n-1, target); 19 upper = upper < 0? (n-1):(upper - 1); //move to previous element 20 21 //since in previous search we had check whether the target is 22 //in the array or not, we do not need to check it here again 23 r.second = upper; 24 25 return r; 26 }

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它的時間復雜度是兩次二分查找所用時間的和，也就是O(log n) + O(log n)，最后還是O(log n)。

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在輪轉后的有序數組上應用二分查找法

之前我們說過二分法是要應用在有序的數組上，如果是無序的，那么比較和二分就沒有意義了。

不過還有一種特殊的數組上也同樣可以應用，那就是“輪轉后的有序數組（Rotated Sorted Array）”。它是有序數組，取期中某一個數為軸，將其之前的所有數都輪轉到數組的末尾所得。比如{7, 11, 13, 17, 2, 3, 5}就是一個輪轉后的有序數組。非嚴格意義上講，有序數組也屬于輪轉后的有序數組——我們取首元素作為軸進行輪轉。

下邊就是二分查找法在輪轉后的有序數組上的實現（假設數組中不存在相同的元素）

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View Code 1 int SearchInRotatedSortedArray(int array[], int low, int high, int target) 2 { 3 while(low <= high) 4 { 5 int mid = (low + high) / 2; 6 if (target < array[mid]) 7 if (array[mid] < array[high])//the higher part is sorted 8 high = mid - 1; //the target would only be in lower part 9 else //the lower part is sorted 10 if(target < array[low])//the target is less than all elements in low part 11 low = mid + 1; 12 else 13 high = mid - 1; 14 15 else if(array[mid] < target) 16 if (array[low] < array[mid])// the lower part is sorted 17 low = mid + 1; //the target would only be in higher part 18 else //the higher part is sorted 19 if (array[high] < target)//the target is larger than all elements in higher part 20 high = mid - 1; 21 else 22 low = mid + 1; 23 else //if(array[mid] == target) 24 return mid; 25 } 26 27 return -1; 28 }

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對比普通的二分查找法，為了確定目標數會落在二分后的那個部分，我們需要更多的判定條件。但是我們還是實現了O(log n)的目標。

二分查找法的缺陷

二分查找法的O(log n)讓它成為十分高效的算法。不過它的缺陷卻也是那么明顯的。就在它的限定之上：

必須有序，我們很難保證我們的數組都是有序的。當然可以在構建數組的時候進行排序，可是又落到了第二個瓶頸上：它必須是數組。

數組讀取效率是O(1)，可是它的插入和刪除某個元素的效率卻是O(n)。因而導致構建有序數組變成低效的事情。

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解決這些缺陷問題更好的方法應該是使用二叉查找樹了，最好自然是自平衡二叉查找樹了，自能高效的（O(n log n)）構建有序元素集合，又能如同二分查找法一樣快速（O(log n)）的搜尋目標數。

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轉載于:https://www.cnblogs.com/acmer-roney/archive/2012/09/07/2675309.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二分查找法的实现和应用汇总的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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