從傅里葉(Fourier)變換到伽柏(Gabor)變換再到小波(Wavelet)變換

本文是邊學習邊總結和摘抄各參考文獻內容而成的，是一篇綜述性入門文檔，重點在于梳理傅里葉變換到伽柏變換再到小波變換的前因后果，對于一些概念但求多而全，所以可能會有些理解的不準確，后續計劃分別再展開學習研究。通過本文可以了解到：

1）傅里葉變換的缺點；2）Gabor變換的概念及優缺點；3）什么是小波；4）小波變換的概念及優點。

一、前言

? ? ? ??首先，我必須說一下，在此之前，雖然我聽說過小波變換（具體是前幾年聽一位博士畢業答辯里提到了小波降噪）但就再也沒什么了，雖然近一年來零零散散地在接觸語音信號處理過程中用過短時傅里葉變換(Short Time FourierTransform, STFT)，但也就如此了，之于Gabor變換聽都沒有聽過。這些天看稀疏基，其實也就是看各種變換了，前面看了離散余弦變換(Discrete CosineTransform, DCT)、離散正弦變換(Discrete Sine Transform, DST)、離散W變換(DiscreteW Transform, DWT)、離散哈特萊變換(Discrete Hartley Transform, DHT)，總體來說理解個表皮還是比較容易的，于是打算繼續學習，隨便挑了一個Curvelet基打算學習一下，搜了一下資料才發現不能從這個開始學習，必須Gabor、Wavelet、Ridgelet、Curvelet、Wedgelet、Bandelet、Beamlet、Contourlet等慢慢開始學起，我知道我又陷入了一片沼澤，但或許是一片幸福的沼澤，一個做信號處理的人對這些是應該有一個基本的概念級了解的。這讓我回憶起了幾年前，我對移動通信一樣，作為一名電子信息專業的大學生，居然不知道什么是TD-SCDMA，居然分不清GPS和GPRS，這一直是讓我感覺很恥辱的一件事情，于是我開始看書、上網查資料，經過一段時間的努力，終于把基本的概念搞明白了，比如GSM、GPRS、EDGE、CDMA1x、CDMA2000、TD-SCDMA、WCDMA、HSPA、LTE、WiMax、wifi、Bluetooth、Zigbee、802.11、802.15.4、802.16、WLAN、WPAN、WMAN等等，感覺自己雖非身處移動通信行業，但畢竟學的這個專業，終于算是對各概念混個臉熟了。當然，對于那個冷笑話，就是GPS和GPRS的區別也就自然清楚了。而現今，當面臨Gabor、Wavelet、Ridgelet、Curvelet、Wedgelet、Bandelet、Beamlet、Contourlet這么多概念時，當年的那種感覺又來了，我想我必須把這些東西的基本概念搞定，否則如何混跡于信號處理領域？！

二、傅里葉變換(Fourier Transform)

? ? ? ??幾乎從1822年Fourier發表他的“熱傳導理論”以來，傅氏分析便成為最完美的數學分析工具與最廣泛、最有效地應用著的信號分析方法之一。傅里葉變換是大家最熟悉的變換了，所以在此也就不多描述了，它的優點就省略了，這里就只說它的缺點吧。

? ? ? ??從傅里葉變換公式中我們知道，要從一個信號來得到其傅里葉變換(頻譜)，必須取無限長的時間量（－∞，+∞），即必須要獲得時域中的全部信息，反之要利用頻譜來描述信號時，無論這個信號的時間多么短，都需要用整個頻域來描述。在某一時間段[t1,t2]對應的頻譜信息傅里葉變換無法給出，而這種局部信息又常常是我們十分感興趣的。如對音樂信號，我們常常關心的是什么時候發出什么頻率的音符，對地震信號我們關心的是什么空間位置出現什么頻率的波等等，這些信號都是非平穩信號，它們的頻域特性隨時間變化，所以信號在任一時刻的頻域特征都很重要，不能將時頻兩域完全分離。

? ? ? ??即Fourier變換不具有局部性。它只適用于確定性信號及平穩信號，由于缺乏時間的局部信息，對時變信號、非平穩信號，Fourier頻率分析存在嚴重不足，它無法告知某些頻率成分發生在哪些時間內，無法表示某個時刻信號頻譜的分布情況。信號在某時刻的一個小的鄰域內發生變化，那么信號的整個頻譜都要受到影響，而頻譜的變化從根本上來說無法標定發生變化的時間位置和發生變化的劇烈程度。傅里葉變換的時域和頻域是完全分割開來的。

? ? ? ??其實根本原因是傅里葉變換的三角基是全域性的，其局部化性質不好，因而只能得到信號的整個頻譜，難以在任何有限頻段上確定任意小范圍內信號的局部特征。

? ? ? ??注：針對不同種類的信號共有四種基本傅里葉變換，分別是：針對連續周期信號的連續傅里葉級數(Continuous Fourier Series, CFS，一般直接簡稱為FS)、針對連續非周期信號的連續時間傅里葉變換(Continuous Time Fourier Transform, CTFT，一般直接簡稱為FT)、針對離散周期信號的離散傅里葉級數(Discrete Fourier Series, DFS)、針對離散非周期信號的離散時間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)，這四種基本傅里葉變換都不適合計算機處理（要求時域和變換域均為離散的、有限長的），因此把DFS進行變形，取其時域和頻域的主值區間定義出了離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)，直接按照DFT公式計算的話計算量太大，于是就又有了各種快速計算方法，統稱為快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)。上面說的是CTFT。

? ? ? ? 為了解決這種局部性的問題，1946年，DennisGabor提出了“窗口Fourier變換”的概念，即Gabor變換。

三、Gabor變換

? ? ? ??Gabor，一般音譯為伽(gā)柏(bó)。簡單了解一下Dennis Gabor這個人吧：

? ? ? ??了解了Gabor其人，又知道了前面敘述的Fourier變換的諸多不足，于是：

? ? ? ??窗口傅里葉變換或短時傅里葉變換(Short Time FourierTransform, STFT)（以下統一簡稱為STFT）能夠完成局部分析的關鍵是“窗口”，窗口的尺度是局部性程度的表征。當窗函數取為高斯窗時一般稱為Gabor變換。選高斯窗的原因在于：1）高斯函數的Fourier變換仍是高斯函數，這使得Fourier逆變換也用窗函數局部化了，同時體現了頻率域的局部化；2）根據Heisenberg測不準原理，高斯函數窗口面積已達到測不準原理下界，是時域窗口面積達到最小的函數，即Gabor變換是最優的STFT。

? ? ? ??注意STFT的公式輸出有兩個自變量，時間t和頻率ω，即它是一種時頻分析！但由于一旦窗口函數選定后，時頻窗口的形狀便保持不變，割斷了頻率與窗口寬度的內在聯系，Gabor變換實質是具有單一分辨率的分析。

? ? ? ??Gabor變換可以達到時頻局部化的目的：它能夠在整體上提供信號的全部信息而又能提供在任一局部時間內信號變化劇烈程度的信息。簡言之，可以同時提供時域和頻域局部化的信息。

? ? ? ??這里提一下“緊支集”的概念，因為會經常見到這個術語，對于STFT的窗函數就要求是一個緊支集函數，百度知道里對“緊支集”有一個很通俗的解釋：對于函數f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值為0。那么這個函數f(x)就是緊支撐函數，而這個0附近的取值范圍就叫做緊支撐集。

四、Gabor變換的缺點

? ? ? ??Gabor變換在一定程度上解決了局部分析的問題，但對于突變信號和非平穩信號仍難以得到滿意的結果，即Gabor變換仍存在著較嚴重的缺陷。1）Gabor變換的時頻窗口大小、形狀不變，只有位置變化，而實際應用中常常希望時頻窗口的大小、形狀要隨頻率的變化而變化，因為信號的頻率與周期成反比，對高頻部分希望能給出相對較窄的時間窗口，以提高分辨率，在低頻部分則希望能給出相對較寬的時間窗口，以保證信息的完整性，總之是希望能給出能夠調節的時頻窗；2）Gabor變換基函數不能成為正交系，因此為了不丟失信息，在信號分析或數值計算時必須采用非正交的冗余基，這就增加了不必要的計算量和存儲量。

? ? ? ??Gabor變換的時間-頻率窗如下圖所示：

? ? ? ??即無論研究低頻成分還是研究高頻成分，Gabor變換所采用的時間-頻率窗口的寬度和高度都不變，這對研究較高頻率或者較低頻率都不利。

? ? ? ??我們更希望時間-頻率窗如下圖所示：

? ? ? ??為了解決這些問題，小波(Wavelet)變換誕生了……

五、什么是小波(Wavelet)

? ? ? ??小波，英文單詞為Wavelet，這里的后綴-let即為“小”的意思，比如booklet（小冊子），所以前面圖中的Gaboret旁邊我用紅色字注了一下“應該是Gaborlet吧？”，因為有時也把Gabor變換歸為小波變換之一（小波系列變換中所有單詞一般均加后綴-let，如Ridgelet、Curvelet、Wedgelet、Bandelet、Beamlet、Contourlet等等），實際上我感覺它只能算是傅里葉變換與小波變換之間的一個過渡品。

? ? ? ??什么是小波呢？所謂小波就是小的波形，“小”即具有衰減性，“波”是指具有波動性。

? ? ? ??在說“小波(wavelet)”之前得先說“波(wave)”：

? ? ? ??傅里葉變換就是基于這些“波”（正弦和余弦），它從負無窮到正無窮都存在，而小波變換則是基于以下的這種“小波”：

? ? ? ??這是一個小波母函數，比較它和前面的“波”也就可以知道為什么稱它為小波（只存在于一段時間內為非零值）。小波母函數經過尺度變換、時移等，可得到一系列小波函數，簡稱小波（前三個圖是尺度變換的，后三個圖是時移變換的）：

? ? ? ??下面把“波”與“小波”作一個對比：

? ? ? ??從數學上來說，小波是函數空間L²(R)中滿足“容許性”條件（簡單理論就是上面的wavelet的幾個特點吧，詳細請看參考文獻）的一個函數或信號ψ(x)。對于任意實數對(a,b)，其中參數a必須為非零實數，稱如下形式的函數：

為由小波母函數ψ(x)生成的依賴于參數(a,b)的連續小波函數，簡稱小波。小波母函數ψ(x)只有在原點的附近才會有明顯偏離水平軸的波動，在遠離原點的地方函數值將迅速衰減為零（從前面的小波母函數圖中也可以看出來）。所以對于任意參數(a,b)，小波函數ψ_a,b(x)在x=b附近存在明顯的波動，遠離x=b的地方迅速衰減到零（因為b是時移量，母小波是以原點為中心，時移就以b為中心了，如果有尺度變換的話再考慮進去就可以了）。

六、小波(Wavelet)變換

? ? ? ??“小波”的概念是由法國地質學家J.Morlet在上個世紀八十年代(1984年)在研究地下巖石油層分布時提出的，并成功應用于地質數據處理中；其后數學家Meyer創造性地構造了第一個具有一定衰減性質的光滑小波；1987年，Matllat提出了多尺度分析思想和Mallat算法（Mallat算法在離散小波變換中的地位相當于FFT在Fourier變換中的地位），成功地統一了在此之前提出的各種具體小波函數的構造。小波變換繼承和發展了Gabor變換的局部化思想，同時克服了傅里葉變換和Gabor變換的一些缺陷。最重要的是小波變換給出了一個可以調節的時頻窗口，窗口的寬度隨頻率變化，頻率增高時時間窗口的寬度自動變窄，以提高分辨率，“采用小波分析，就像使用一架可變焦距鏡頭的照相機一樣，可以轉向任一細節部分”。

? ? ? ??設信號f(t)∈L²(R)，其連續小波變換(Continuous WaveletTransform, CWT)定義為

可見，信號f(t)的小波變換是一個二元函數。從形式上也可以看出，信號f(t)的小波變換本質上是原來的f(t)在t=b附近按ψ_a,b(t)進行加權平均，體現的是以ψ_a,b(t)為標準f(t)的快慢變化情況。這樣，參數b表示分析的時間中心或時間點，而參數a體現的是以t=b為中心的附近范圍的大小。所以，一般稱參數a為尺度參數（即伽柏變換中的ω），而參數b為時間中心參數（即枷柏變換中的t）。因此小波變換也是時頻分析（這似乎是廢話，它比Gabor變換還牛，前者都已經是時頻分析了，它能不是么？）

? ? ? ??小波變換相比于STFT，優點是明顯的：1）由于小波母函數ψ_a,b(t)相當于窗函數，但其窗寬是可變的，較好地解決了時間分辨率和頻率分辨率的矛盾，其變化規律使得小波變換具有優良的局部化特性，對分析突變信號和奇異信號非常有效，充分體現了常相對帶寬頻率分析和自適應分析的思想；2）小波變換能將各種交織在一起的由不同頻率組成的混合信號分解成不同頻率的信號，并對頻率大小不同的信號采用相應粗細的時空域取樣步長，從而能夠不斷聚焦到對象的任意微小細節，對時變信號的頻譜分析意義重大。3）并不要求小波變換基底是正交的，其時寬頻寬乘積較小，因而展開系數的能量較為集中【8】。

? ? ? ??比較一下小波變換、伽柏變換、傅里葉變換可以發現：傅里葉變換不具有局部性；伽柏變換有局部性，但有一些缺點（如前所述）；而小波變換不但具有局部性，而且尺度參數a可以改變頻譜結構和窗口的形狀，起到“變焦”的作用，因此小波分析可能達到多分辨率分析的效果（小變波換被譽為數學顯微鏡）。從信號分析方法的理論發展過程可能看出：傅里葉分析特別適合分析長時間內較穩定的信號；STFT也有其一定的應用場合，但其效果取決于適當地選取窗函數；小波分析特別適合分析突變信號和奇異信號。

? ? ? ??學習小波變換時會發現有一大堆形形色色的小波變換，這是因為小波變換與小波母函數ψ(x)有關，不同的小波母函數ψ(x)則對應著不同種類的小波變換了，比如Haar小波、Shannon小波、墨西哥草帽狀小波等等。可以證明，ψ_a,b(x)的時頻窗口面積與參數a和b無關，僅于ψ?(x)的選取有關，所以不能通過選擇參數a和b使時域和頻域窗口的半徑同時縮小，時域和頻域上的分辨率相互牽制，要想使兩者的分辨率同時提高，就必須選擇適當的小波母函數ψ(x)，小波母函數趨向于零的速度是衡量小波母函數性質好壞的一個重要標志。

? ? ? ??經常見到正交小波、半正交小波、雙正交小波的概念，文獻【6】中有解釋如下：

? ? ? ??一般說來，常見的小波基有：Haar小波基、db系列小波基(Daubechies小波)、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系、Coiflet(coifN)小波系、SymletsA(symN)小波系、Molet(morl)小波、MexicanHat (mexh)小波、Meyer小波、DOG(Differenceof gaussian)小波。

參考文獻：

【1】李麗容. 小波分析的產生、發展及應用[J]. 中國水運，2007，5(3)：94-96.

【2】金連文.Gabor濾波器及其應用[PPT]，百度文庫

【3】微雪.matlab學習：圖像頻域分析之Gabor濾波.博客園

【4】wcrzq，microwest.緊支集是什么意思，求詳細解釋，謝謝.百度知道

【5】鄭治真，沈萍，謝永.從Gabor變換到小波分析[J].中國地震，1996，12(3)：237-242.

【6】董新洲，賀家李，葛耀中.小波變換：第2講離散小波變換[J].1999，27(2)：57-60.

【7】liuchunranshao，qianxun881119.小波的基函數有哪些？.百度知道

【8】余小勇. 信號分析從傅氏變換到小波變換[J]. 西安郵電學院學報，2001，6(1)：64-66.

【9】賈朱值，董立文，董勃，謝元旦.Fourier變換和Gabor變換與小波變換的比較研究[J].鞍科技大學學報，2005，28(1)：12-16，21.

【10】李建華，李萬社. 小波理論發展及其應用（綜述）[J]. 河西學院學報，2006，22(2)：27-31.

總結

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