V.I. Arnold 論數(shù)學(xué)教育?
地點(diǎn)： Palais de Découverte in Paris
時(shí)間 1997年3月7日.

數(shù)學(xué)是物理的一部分。物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)，它是自然科學(xué)的一部分。而數(shù)學(xué)是
物理學(xué)中只需要花費(fèi)較少的代價(jià)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保證三角
形三條高交于一點(diǎn)）就是一個(gè)實(shí)驗(yàn)事實(shí)，正如同地球是圓的（即同胚于球體）這樣的事
實(shí)一樣。但是發(fā)現(xiàn)前者卻要比發(fā)現(xiàn)后者需要較少的代價(jià)。

在20世紀(jì)中葉，人們試圖嚴(yán)格地區(qū)分物理與數(shù)學(xué)。其造成地后果是災(zāi)難性的。整整一
代的數(shù)學(xué)家在對他們所從事的科學(xué)的另一半及其無知的情況下成長，當(dāng)然，對其他的科
學(xué)就更無知了。這些人又開始把他們的丑陋的學(xué)院式的偽數(shù)學(xué)教給他們的學(xué)生，接著這
些丑陋的偽數(shù)學(xué)又被交給中小學(xué)校里的孩子們（他們完全忘記了Hardy的警告：丑陋的數(shù)
學(xué)在陽光下不可能總有藏身之處）。

既然那些從物理學(xué)中人為挖出來的學(xué)院式的數(shù)學(xué)既無益于教學(xué)，又對其他的科學(xué)毫無用
處，結(jié)果可以想見，全世界的人都討厭數(shù)學(xué)家（甚至包括那些被他們教出來的可憐的學(xué)校
里的孩子們以及那些運(yùn)用這些丑陋數(shù)學(xué)的人）。這些先天不足的數(shù)學(xué)家被他們所患的低能
癥候群折騰的筋疲力盡，他們無能對物理學(xué)有個(gè)起碼的了解。令人們記憶猶新的由他們建
造的一個(gè)丑陋建筑物就是“奇數(shù)的嚴(yán)格公理化理論”。

很顯然，完全可能創(chuàng)造這樣一種理論，使得幼稚的小學(xué)生們敬畏它的完美及其內(nèi)部構(gòu)造
的和諧（例如，這種理論定義了奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的和以及任意個(gè)因子的乘積）。從這種偏執(zhí)狹隘
的觀點(diǎn)來看，偶數(shù)或者被認(rèn)為是一類“異端”，或者隨著時(shí)間流逝，被用來作為該理論中
幾個(gè)“理想”對象的補(bǔ)充（為了遵從物理與真實(shí)世界的需要）。很不幸的是，這種理論只
是數(shù)學(xué)中一個(gè)丑陋而變態(tài)的構(gòu)造，但卻統(tǒng)治了我們的數(shù)學(xué)教育數(shù)十年。它首先源自于法國
，這股歪風(fēng)很快傳播到對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教學(xué)里，先是毒害大學(xué)生，接著中小學(xué)生也難免此災(zāi)
（而災(zāi)區(qū)最先是法國，接著是其他國家，包括俄羅斯）。

如果你問一個(gè)法國的小學(xué)生：“2＋3等于幾？”，他（她）會這樣回答：“等于
3＋2，因?yàn)榧臃ㄟ\(yùn)算是可交換的”。他（她）根本不知道這個(gè)和等于幾，甚至根本不
能理解你在問他（她）什么！

還有的法國小學(xué)生會這樣定義數(shù)學(xué)（至少我認(rèn)為很有可能）：“存在一個(gè)正方形
，但還沒有被證明”。

據(jù)我在法國教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，大學(xué)里的學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識與這些小學(xué)生也差不多（甚
至包括那些在'高等師范學(xué)校'（ENS）里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生－－我為這些顯然很聰明但卻
被毒害頗深的孩子們感到極度的惋惜）。

例如，這些學(xué)生從未見過一個(gè)拋物面，而且一個(gè)這樣的問題：描述由方程xy=z^2所
給出的曲面的形狀，就能使那些在ENS中研究的數(shù)學(xué)家們發(fā)呆半天；而如下問題：畫出
平面上由參數(shù)方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）給出的曲線，對學(xué)生來說是
不可能完成的（甚至對大多數(shù)法國的數(shù)學(xué)教授也一樣）。從微積分的入門教科書直到
Goursat寫的課本，解這些問題的能力都被認(rèn)為是每個(gè)數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的基本技能。

那些喜歡挑戰(zhàn)大腦的所謂“抽象數(shù)學(xué)”的狂熱者們，把所有在數(shù)學(xué)中能與物理和現(xiàn)實(shí)
經(jīng)常發(fā)生聯(lián)系的幾何統(tǒng)統(tǒng)排除在教學(xué)之外。由Goursat, Hermite, Picard等人寫的微積分
教程被認(rèn)為是有害的，最近差點(diǎn)被巴黎第6和第7大學(xué)的圖書館當(dāng)垃圾丟掉，只是在我的干
預(yù)下才得以保存。

ENS的聽完所有微分幾何與代數(shù)幾何課程的學(xué)生（分別被不同的數(shù)學(xué)家教的），卻既不
熟悉由橢圓曲線 y^2 = x^3 + ax + b 決定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓?fù)浞诸?#xff08;更別
提第一類橢圓積分和橢圓曲線的群性質(zhì)了，即 Euler-Abel 加法定理）。他們僅僅學(xué)到了
Hodge 構(gòu)造以及 Jacobi 簇！

這樣的現(xiàn)象竟然會在法國出現(xiàn)！這個(gè)國家可是為整個(gè)世界貢獻(xiàn)了諸如 Lagrange ，
Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 還有 Thom 這些頂級的偉大人物啊！對我而言，一個(gè)合理的解釋來自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教導(dǎo)過我:
真正的數(shù)學(xué)家決不會拉幫結(jié)派，只有弱者為了生存才會加入幫派。他們可以聯(lián)結(jié)很多的
方面（可能會是超級的抽象，反猶太主義或者“應(yīng)用的和工業(yè)上的”問題），但其本質(zhì)
總是為了解決社會生存問題。

我在此向大家順便提一下 L. Pasteur 的忠告：從來沒有也決不會有任何所謂的“
應(yīng)用科學(xué)”，而僅僅有的是科學(xué)的應(yīng)用（十分有用的東東啊！）

長久以來我一直對 Petrovskii 的話心存疑慮，但是現(xiàn)今我越來越肯定他說的一點(diǎn)
沒錯(cuò)。那些超級抽象活動的相當(dāng)大的部分正在墮落到以工業(yè)化的模式無恥的掠奪那些發(fā)
現(xiàn)者的成果，然后再加以系統(tǒng)地組織設(shè)計(jì)使自己成為萬能的推廣者。就彷佛美麗堅(jiān)所在
的新大陸不以哥倫布命名一樣，數(shù)學(xué)結(jié)果也幾乎從未以它們真正的發(fā)現(xiàn)者來命名。

為避免被認(rèn)為我在胡說八道，我不得不在此聲明我自己的一些成果由于莫名其妙的原
因就被以上述方式無償征用，其實(shí)這樣的事情經(jīng)常在我的老師（Kolmogorov, Petrovskii
, Pontryagin, Rokhlin）和學(xué)生身上發(fā)生。

M. Berry 教授曾經(jīng)提出過如下兩個(gè)原理：

Arnold 原理：如果某個(gè)理念中出現(xiàn)了某個(gè)人名，則這個(gè)人名必非發(fā)現(xiàn)此理念者的名
字。
Berry 原理：Arnold 原理適用于自身。

不過，我們還是說回法國的數(shù)學(xué)教育上來。當(dāng)我還是莫斯科大學(xué)數(shù)力系的一年級新生
時(shí)，集合論的拓?fù)鋵W(xué)家 L.A. Tumarkin 教我們微積分，他在課堂上很謹(jǐn)慎地一遍又一遍
地講述古老而經(jīng)典的Goursat 版的法語微積分教程。他告訴我們有理函數(shù)沿著一條代數(shù)曲
線的積分可以求出來如果該代數(shù)曲線對應(yīng)的黎曼面時(shí)一個(gè)球面。而一般來說，如果該曲面
的虧格更高這樣的積分將不可求，不過對球面而言，只要在一個(gè)給定度數(shù)的曲線上有充分
多的double points 就足夠了（即要求該曲線是unicursal ：即可以將其實(shí)點(diǎn)在射影平面上
一筆畫出來）。

這些事實(shí)給我們造成多么深刻的印象啊（即使沒有給出證明），它們給了我們非常優(yōu)
美而正確的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，比那些長篇累牘的Bourbaki學(xué)派的論著不知道好到哪里去了
。說真的，我們在這里看到了那些表面上完全不同的事物之間存在著令人驚奇的聯(lián)系：一
方面，對于相應(yīng)的黎曼面上的積分與拓?fù)浯嬖谥@式的表達(dá)式，而另一方面，在 double p
oints 的個(gè)數(shù)與相應(yīng)的黎曼面的虧格之間也有重要的聯(lián)系。

這樣的例子并不鮮見，作為數(shù)學(xué)中最迷人的性質(zhì)之一，Jacobi曾指出：用同一個(gè)函數(shù)
就既可以理解能表示為4個(gè)數(shù)平方和的整數(shù)的性質(zhì)，又可以描述一個(gè)單擺的運(yùn)動。

這些不同種類的數(shù)學(xué)對象之間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，就好比在物理學(xué)中電與磁之間聯(lián)系的發(fā)
現(xiàn)，也類同于地質(zhì)學(xué)上對美洲大陸的東海岸與非洲大陸的西海岸之間相似性的發(fā)現(xiàn)。

這些發(fā)現(xiàn)對于教學(xué)所具有的令人激動的非凡意義是無法估量的。正是它們指引著我
們?nèi)パ芯亢桶l(fā)現(xiàn)宇宙中和諧而精彩的現(xiàn)象。

然而，數(shù)學(xué)教育的非幾何化以及與物理學(xué)的分離卻割斷了這種聯(lián)系。例如，不僅僅
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生而且絕大部分的代數(shù)幾何學(xué)家都對以下提及的Jacobi 事實(shí)一無所知：一
個(gè)第一類型的橢圓積分表示了相應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)中沿某個(gè)橢圓相曲線的運(yùn)動所走的時(shí)間。

我們知道一個(gè) hypocycloid 就如同多項(xiàng)式環(huán)中的理想一樣是無窮無盡的。但是如果
要把理想這個(gè)概念教給一個(gè)從未見過任何 hypocycloid 的學(xué)生，就好比把分?jǐn)?shù)的加法教
給一個(gè)從來沒有把蛋糕或蘋果等分切割過（至少在腦子里切過）的學(xué)生。毫無疑問孩子
們將會傾向于同時(shí)分子加分子分母加分母。

從我的法國朋友那里我聽說這種超級抽象的一般化正是他們國家的傳統(tǒng)特色。如果
說這可能是一個(gè)世襲的缺陷，我倒不會不贊成，不過我還是愿意強(qiáng)調(diào)那個(gè)從Poincaré
那兒借來的“蛋糕與蘋果”的事實(shí)。

構(gòu)造數(shù)學(xué)理論的方式與其它的自然科學(xué)并沒有什么不同。首先，我們要考慮一些對象
并對一些特殊的事例進(jìn)行觀察。接著我們試圖要找到一些我們所觀察到的結(jié)果在應(yīng)用上的
限制，即尋找那些防止我們不正確地把我們所觀察的結(jié)果擴(kuò)展到更廣泛領(lǐng)域的反例。作為
一個(gè)結(jié)果我們盡可能地明確提出那由經(jīng)驗(yàn)得來的發(fā)現(xiàn)（如費(fèi)馬猜想和龐加萊猜想）。這之
后將是檢驗(yàn)我們的結(jié)論到底有多可靠的困難的階段。

就這一點(diǎn)來說，數(shù)學(xué)界已經(jīng)發(fā)展出了一套特別的技術(shù)。這種技術(shù)，當(dāng)被運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)世
界時(shí)，有時(shí)候很有用，但有時(shí)候也會導(dǎo)致自欺欺人。這樣的技術(shù)被稱為“建模”。當(dāng)構(gòu)造
一個(gè)模型時(shí)，要進(jìn)行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精確性了解的事實(shí)，往
往被認(rèn)為是“絕對”正確的并被當(dāng)作“公理”來接受。這種“絕對性”的意義恰恰是，在
把所有我們可以借助這些事實(shí)得出的結(jié)論稱為定理的過程中，我們允許自己依據(jù)形式邏輯
的規(guī)則來運(yùn)用這些“事實(shí)”。

顯然在任何現(xiàn)實(shí)的日常生活中，我們的活動要完全依賴于這樣的化減是不可能的。
原因至少在于所研究的現(xiàn)象的參數(shù)決不可能被絕對準(zhǔn)確的知曉，并且參數(shù)的微小變化（
例如一個(gè)過程初始條件的微小改變）就會完全地改變結(jié)果。由于這個(gè)原因我們可以說任
何長期的天氣預(yù)報(bào)都是不可能的，無論我們把計(jì)算機(jī)造的有多高級或是記錄初始條件地
儀器有多靈敏，這永遠(yuǎn)也辦不到。

與此完全一樣的是，公理（那些我們不能完全確定的）的一個(gè)小小的改變雖是容許
的，一般來說，由那些被接受的公理推出的定理卻將導(dǎo)出完全不同的結(jié)論。推導(dǎo)的鏈（
即所謂的“證明”）越長越復(fù)雜，最后得到的結(jié)論可靠性越低。復(fù)雜的模型幾乎毫無用
處（除了對那些無聊的專寫論文的人）。

數(shù)學(xué)建模的技術(shù)對這種麻煩一無所知，并且還不斷地吹噓他們得到的模型，似乎它
們真的就與現(xiàn)實(shí)世界吻合。事實(shí)上，從自然科學(xué)的觀點(diǎn)看, 這種途徑是顯然不正確的，
但卻經(jīng)常導(dǎo)致很多物理上有用的被稱為“有不可思議的有效性的數(shù)學(xué)”結(jié)果（或叫做
“Wigner原理”）。

我在此再提一下蓋爾方德先生的一句話：還有另一類現(xiàn)象與以上Wigner所指的物理中
的數(shù)學(xué)具有相仿的不可思議的有效性，即生物學(xué)中用到的數(shù)學(xué)也是同樣令人難以置信的有
效。

對一個(gè)物理學(xué)家而言，“數(shù)學(xué)教育所致的不易察覺的毒害作用”（F.Klein 原話）恰
恰體現(xiàn)在由現(xiàn)實(shí)世界抽離出的被絕對化了的模型，并且它與現(xiàn)實(shí)已不再相符。這兒是一個(gè)
簡單的例子：數(shù)學(xué)知識告訴我們 Malthus 方程 dx/dt = x 的解是由初始條件唯一決定的
（也即相應(yīng)的位于（t-x）－平面上積分曲線彼此不交）。這個(gè)數(shù)學(xué)模型的結(jié)論顯得與現(xiàn)實(shí)
世界毫不相關(guān)。而計(jì)算機(jī)模擬卻顯示所有這些積分曲線在t的負(fù)半軸上有公共點(diǎn)。事實(shí)上，
具有初始條件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲線在t=-100 相交，其實(shí)在t=-100 時(shí)，你壓根就
不可能在兩條曲線之間再插入一個(gè)原子。歐式幾何對這種空間在微小距離下的性質(zhì)沒有任
何的描述。在這種情況下來應(yīng)用唯一性定理顯然已經(jīng)超出了模型所能容許的精確程度。在
對模型的實(shí)際運(yùn)用中，這種情形必須要加以注意，否則可能會導(dǎo)致嚴(yán)重的麻煩。

我還想說的是，相同的唯一性定理也可解釋為何在船只停泊碼頭前的靠岸階段必須得
依靠人工操作：否則的話，如果行進(jìn)的速度是距離的光滑（線性）函數(shù)，則整個(gè)靠岸的過
程將會耗費(fèi)無窮長的時(shí)間。而另外可行的方法則是與碼頭相撞（當(dāng)然船與碼頭之間要有非
理想彈性物體以造成緩沖）。順便說一下，我們必須非常重視這類問題，例如，登陸月球
和火星以及空間站的對接－此時(shí)唯一性問題都會讓我們頭痛。

不幸的是，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教科書里，即使是較好的一類課本里，對這種令人崇拜的定
理所隱藏的危險(xiǎn)的事例或探討都只字沒有。我甚至已經(jīng)形成了這樣的印象，那些學(xué)院派的
數(shù)學(xué)家（對物理知識都一竅不通）都對公理化形式的數(shù)學(xué)與建模的主要差異習(xí)以為常，而
且他們覺得在自然科學(xué)中這是很普遍的，只是需要用后期的實(shí)驗(yàn)來控制理論推演。

我想用不著去提什么初始公理的相對特征，人們也都不會忘記在冗長的論述里犯邏輯
錯(cuò)誤是在所難免的（彷佛宇宙射線或量子振動所引發(fā)的計(jì)算崩潰）。每一個(gè)還在工作的數(shù)
學(xué)家都知道，如果不對自己有所控制（最好是用事例），那么在10頁論述之后所有公式中
的記號有半數(shù)都會出問題。

與這樣的謬誤相抗的技術(shù)也同樣存在于任何實(shí)驗(yàn)科學(xué)里，而且應(yīng)該教給每一個(gè)大學(xué)低年
級的學(xué)生。

試圖創(chuàng)造所謂的純粹推導(dǎo)式的公理化數(shù)學(xué)的做法，使得我們不再運(yùn)用物理學(xué)中的研究
方法（觀察-建模－模型的研究－得出結(jié)論－用更多的觀察檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?#xff09;取而代之的是這樣的
方法：定義－定理－證明。人們根本不可能理解一個(gè)毫無動機(jī)的定義，但我們卻無法阻止
這些有罪的“代數(shù)－公理學(xué)家”。例如，他們總是想用長乘規(guī)則的手段來定義自然數(shù)的乘
積。但用這種方法乘法的交換性卻難以證明，不過從一堆的公理中仍有可能推導(dǎo)出這樣的
定理。而且完全可能逼著那些可憐的學(xué)生們來學(xué)習(xí)這個(gè)定理以及它的證明（其目的不外乎
是提升這門學(xué)科以及教授它的人的社會地位）。顯然，這種定義和這樣的證明對教學(xué)和實(shí)
際工作有百害而無一益。

理解乘法交換性的唯一可能的方式，打個(gè)比方就是分別按行序和列序來數(shù)一個(gè)方陣?yán)?
士兵的人數(shù)，或者說用兩種方式來計(jì)算長方形的面積。任何試圖只做不與物理和現(xiàn)實(shí)世界
打交道的數(shù)學(xué)都屬于宗派主義和孤立主義，這必將損毀在所有敏感的人們眼中把數(shù)學(xué)創(chuàng)造
視為一項(xiàng)有用的人類活動的美好印象。

我將再揭示幾個(gè)這樣的秘密（可憐的學(xué)生們對此很有興趣）。

一個(gè)矩陣的行列式就是一個(gè)平行多面體的（定向的）體積，這個(gè)多面體的每條邊就對
應(yīng)矩陣的列。如果學(xué)生們得知了這個(gè)秘密（在純粹的代數(shù)式的教育中，這個(gè)秘密被仔細(xì)地
隱藏了起來），那么行列式的整個(gè)理論都將成為多線性形式理論的一部分。如果用別的方
式來定義行列式，則任何敏感的人都將會永遠(yuǎn)恨死了諸如行列式，Jacobi式，以及隱函數(shù)
定理這些鬼東西。

一個(gè)群又是什么東東呢？代數(shù)學(xué)家們會這樣來教學(xué)：這是一個(gè)假設(shè)的集合，具有兩種
運(yùn)算，它們滿足一組容易讓人忘記的公理。這個(gè)定義很容易激起一個(gè)自然的抗議：任何一
個(gè)敏感的人為何會需要這一對運(yùn)算？“哦，這種數(shù)學(xué)去死吧”－－這就是學(xué)生的反應(yīng)（他
很可能將來就成為了科學(xué)強(qiáng)人）。

如果我們的出發(fā)點(diǎn)不是群而是變換的概念（一個(gè)集合到自身的1－1映射），則我們絕
對將得到不同的局面，這也才更像歷史的發(fā)展。所有變換的集合被稱為一個(gè)群，其中任何
兩個(gè)變換的復(fù)合仍在此集合內(nèi)并且每個(gè)變換的逆變換也如此。

這就是定義的關(guān)鍵所在。那所謂的“公理”事實(shí)上不過是變換群所具有的顯然的性質(zhì)
。公理化的倡導(dǎo)者所稱的“抽象群”不過是在允許相差同構(gòu)（保持運(yùn)算的1－1映射）意義
下的不同集合的變換群。正如 Cayley證明的，在這個(gè)世界上根本就沒有“更抽象的”群。
那么為什么那些代數(shù)學(xué)家仍要用抽象的定義來折磨這些飽受痛苦的學(xué)生們呢？

順便提一句，在上世紀(jì)60年代我曾給莫斯科的中小學(xué)生們講授群論。我回避了任何的
公理，盡可能的讓內(nèi)容貼近物理，在半年內(nèi)我就教給了他們關(guān)于一般的五次方程不可解性
的Abel 定理（以同樣的方式，我還教給了小學(xué)生們復(fù)數(shù)，黎曼曲面，基本群以及代數(shù)函數(shù)
的monodromy 群）。這門課程的內(nèi)容后來由我的一個(gè)聽眾 V. Alekseev 組織出版了，名為
The Abel theorem in problems.

一個(gè)光滑流形又是什么東東呢？最近我從一本美國人的書中得知龐加萊對此概念并
不精通（盡管是由他引入的），而所謂“現(xiàn)代的”定義直到上世紀(jì)20年代才由Veblen給
出：一個(gè)流形是一個(gè)拓?fù)淇臻g滿足一長串的公理。

學(xué)生們到底犯了什么罪過必須經(jīng)受這些扭曲和變形的公理的折磨來理解這個(gè)概念？
事實(shí)上，在龐加萊的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一個(gè)光滑流形的絕對
清晰的定義，它要比這種抽象的玩意兒有用的多。

一個(gè)歐式空間R^N 中的k-維光滑子流形是一個(gè)這樣的子集，其每一點(diǎn)的一個(gè)鄰域是
一個(gè)從R^k到R^(N-k)的光滑映射的圖象（其中R^k 和 R^(N - k) 是坐標(biāo)子空間 ）。這
樣的定義是對平面上大多數(shù)通常的光滑曲線（如 圓環(huán) x^2 + y^2 = 1）或三維空間中
曲線和曲面的直接的推廣。

光滑流形之間的光滑映射則是自然定義的。所謂微分同胚則是光滑的映射且其逆也
光滑。

而所謂“抽象的”光滑流形就是歐式空間的允許相差一個(gè)微分同胚意義下的光滑子
流形。世界上根本不存在所謂“更抽象的”有限維的光滑流形（Whitney 定理）。為什
么我們總是要用抽象的定義來折磨學(xué)生們呢？把閉二維流形（曲面）的分類定理證給學(xué)
生們看不是更好嗎？恰恰是這樣的精彩定理（即任何緊的連通的可定向的曲面都是一個(gè)
球面外加若干個(gè)環(huán)柄似的把手）使我們對現(xiàn)代數(shù)學(xué)是什么有了一個(gè)正確的印象，相反的
是，那些對歐式空間的簡單的子流形所做的超級抽象的推廣，事實(shí)上壓根沒有給出任何
新的東東，不過是用來展示一下那些公理化學(xué)者們成就的蹩腳貨。

對曲面的分類定理是頂級的數(shù)學(xué)成就，堪與美洲大陸或X 射線的發(fā)現(xiàn)媲美。這是數(shù)
學(xué)科學(xué)里一個(gè)真正的發(fā)現(xiàn)，我們甚至難以說清到底所發(fā)現(xiàn)的這個(gè)事實(shí)本身對物理學(xué)和數(shù)
學(xué)哪一個(gè)的貢獻(xiàn)更大。它對應(yīng)用以及對發(fā)展正確的世界觀的非凡意義目前已超越了數(shù)學(xué)
中的其他的“成就”，諸如對費(fèi)馬大定理的證明，以及對任何充分大的整數(shù)都能表示成
三個(gè)素?cái)?shù)和這類事實(shí)的證明。為了出風(fēng)頭，當(dāng)代的數(shù)學(xué)家有時(shí)候總要展示一些“運(yùn)動會
式的”成就，并聲稱那就是他們的學(xué)科里最后的難題。可想而知，這樣的做法不僅無助
于社會對數(shù)學(xué)的欣賞，而且恰恰相反，會使人們產(chǎn)生懷疑：對于這樣的毫無用處的跳脫
衣舞般的問題，有必要耗費(fèi)能量來做這些（彷佛攀巖似的）練習(xí)嗎？

曲面的分類定理應(yīng)該被包含在高中數(shù)學(xué)的課程里（可以不用證明），但不知為什么
就連大學(xué)數(shù)學(xué)的課程里也找不到（順便一下，在法國近幾十年來說有的幾何課程都被禁
止）。

在各個(gè)層次上，數(shù)學(xué)教育由學(xué)院的特征轉(zhuǎn)回到表述自然科學(xué)的重要性的特征，對法國
而言是一個(gè)及其熱點(diǎn)的問題。使我感到很震驚的是那些最好的也是最重要的條理清晰的
數(shù)學(xué)書，在這兒幾乎都不為學(xué)生們所知（而依我看它們還沒有被譯成法語）。這些書中
有Rademacher 和 T?寫的 《Numbers and figures》；Hilbert 和 Cohn-Vossen
寫的《plitz, Geometry and the imagination》；Courant 和Robbins 寫的《What is
mathematics?》；Polya 寫的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible
reasoning 》； F. Klein 寫的《Development of mathematics in the 19th century
》。

我清晰地記得在學(xué)校時(shí)，Hermite 寫的微積分教程（有俄語譯本）給我留下了多么
強(qiáng)烈的印象。我記得在其最開始的一篇講義中就出現(xiàn)了黎曼曲面（當(dāng)然所有分析的內(nèi)容
都是針對復(fù)變量的，也本該如此）。而積分漸進(jìn)的內(nèi)容是通過黎曼曲面上道路形變的方
法來研究（如今，我們稱此方法為Picard-Lefschetz 理論;順便提一下，Picard是Herm
ite的女婿－－數(shù)學(xué)能力往往是由女婿來傳承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U
. Frisch 這個(gè)王朝就是巴黎科學(xué)院中另一個(gè)這樣的范例）。

由Hermite 一百多年前所寫的所謂的“過時(shí)的”教程（也許早就被法國大學(xué)的學(xué)生
圖書館當(dāng)垃圾扔掉了）實(shí)際上要比那些如今折磨學(xué)生們的最令人厭煩的微積分課本現(xiàn)代
化的多。

如果數(shù)學(xué)家們再不睡醒，那么那些對現(xiàn)代的（最正面意義上的）數(shù)學(xué)理論仍有需要
，同時(shí)又對那些毫無用處的公理化特征具有免疫力（這是任何敏銳的人所具有的特征）
的消費(fèi)者們會毫不猶豫的將這些學(xué)校里的受教育不足的學(xué)究們掃地出門。

一個(gè)數(shù)學(xué)教師，如果至今還沒有掌握至少幾卷Landau 和 Lifshitz 著的物理學(xué)教
程，他（她）必將成為一個(gè)數(shù)學(xué)界的希罕的殘存者，就好似如今一個(gè)仍不知道開集與閉
集差別的人。

（The end）