【数学建模】数模day13-灰色系统理论I-灰色关联与GM(1,1)预测
接下來學(xué)習(xí)灰色系統(tǒng)理論。
0.
什么是灰色系統(tǒng)？
部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，我們稱之為灰色系統(tǒng)。相應(yīng)的，知道全部信息的叫白色系統(tǒng)，完全未知的叫黑色系統(tǒng)。
為什么采用灰色系統(tǒng)理論？
在給定信息不多，并且無法建立客觀的物理原型，其作用原理亦不明確，內(nèi)部因素難以辨識或之間關(guān)系隱蔽，人們很難準(zhǔn)確了解這類系統(tǒng)的行為特征，因此對其定量描述難度較大。這時就采用“灰色系統(tǒng)理論”。
比如說，社會、經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)、生態(tài)問題的系統(tǒng)中，噪聲普遍存在，一般受隨機(jī)侵蝕的系統(tǒng)理論立足于【概率統(tǒng)計(jì)】，比如回歸分析、方差分析、主成分分析等等。但是這些在小樣本（數(shù)據(jù)不足）、樣本沒有較好的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律、難以量化等問題下，都不能夠很好的勝任。尤其是，涉及到預(yù)測問題時，直接回歸方程代入數(shù)得”預(yù)測“明顯不符合客觀規(guī)律，而使用灰色預(yù)測（通常使用GM(1,1)）更可靠。
1.
關(guān)聯(lián)分析
這個方法解決的是：因素之間關(guān)聯(lián)性如何，關(guān)聯(lián)程度如何量化的問題。
討論因素之間關(guān)聯(lián)性如何，之前我們采用【回歸分析】，即因變量對自變量求回歸方程，這是基于更多樣本的量化討論。為了做【整體系統(tǒng)分析】，得到一個好的【直觀過程】，以及為了【定性描述】，可以考慮采用【關(guān)聯(lián)分析】。
實(shí)際上，實(shí)際應(yīng)用中，我們可以【關(guān)聯(lián)分析】+【回歸分析】一起做。
關(guān)聯(lián)分析實(shí)際上是動態(tài)過程發(fā)展態(tài)勢的量化比較分析。
簡而言之，關(guān)聯(lián)分析是從整體態(tài)勢上把握兩（多）變量（每個變量的不同樣本構(gòu)成數(shù)列）之間的相關(guān)程度，并且從整體上分析減少了異常點(diǎn)的影響。
所謂發(fā)展態(tài)勢比較，也就是系統(tǒng)各時期有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的幾何關(guān)系的比較。
1) 做關(guān)聯(lián)分析首先討論數(shù)據(jù)變換技術(shù)。
通過數(shù)據(jù)變換消除【量綱】，使其具有【可比性】。
2) 做關(guān)聯(lián)分析：
3) 關(guān)聯(lián)分析案例：
分析求解：
依照問題的要求，我們自然選取鉛球運(yùn)動員專項(xiàng)成績作為參考數(shù)列，將其余的各個數(shù)列的初始化數(shù)列代入計(jì)算關(guān)聯(lián)度公式，易算出各數(shù)列的關(guān)聯(lián)度如下表：
關(guān)聯(lián)度表：
matlab程序如下：
數(shù)據(jù)：x.txt
程序：
matlab結(jié)果：
依次打印關(guān)聯(lián)度：
r =
? 1 至 6 列
??? 0.5881??? 0.6627??? 0.8536??? 0.7763??? 0.8549??? 0.5022
? 7 至 12 列
??? 0.6592??? 0.5820??? 0.6831??? 0.6958??? 0.8955??? 0.7047
? 13 至 16 列
??? 0.9334??? 0.8467??? 0.7454??? 0.7261
排序后：
rs =
? 1 至 6 列
??? 0.9334??? 0.8955??? 0.8549??? 0.8536??? 0.8467??? 0.7763
? 7 至 12 列
??? 0.7454??? 0.7261??? 0.7047??? 0.6958??? 0.6831??? 0.6627
? 13 至 16 列
??? 0.6592??? 0.5881??? 0.5820??? 0.5022
rind =
? 1 至 10 列
??? 13??? 11???? 5???? 3??? 14???? 4??? 15??? 16??? 12??? 10
? 11 至 16 列
???? 9???? 2???? 7???? 1???? 8???? 6
2.
優(yōu)勢分析：
一個例子：假如有關(guān)聯(lián)度矩陣如下：
分析：
3.
生成數(shù)：
我們主要使用【累加生成】，其理論如下：
應(yīng)用中，最常用的是 1 次累加生成。
一般地，經(jīng)濟(jì)數(shù)列等實(shí)際問題的數(shù)列皆是非負(fù)數(shù)列，累加生成可使非負(fù)的擺動與非擺動的數(shù)列或任意無規(guī)律性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為非減的數(shù)列。
有些實(shí)際問題的數(shù)列中有負(fù)數(shù)（例如溫度等），累加時略微復(fù)雜。有時，由于出現(xiàn)正負(fù)抵消這種信息損失的現(xiàn)象，數(shù)列經(jīng)過累加生成后規(guī)律性非但沒得到加強(qiáng)，甚至可能被削弱。對于這種情形，我們可以先進(jìn)行【移軸】，然后再做【累加生成】。
4.
灰色GM(1,1)模型
GM是Grey Model的簡寫。
1）GM(1,1)定義：
2）GM(1,1)的白化型：
應(yīng)當(dāng)注意,GM(1,1)表示模型師一階方程并且只有一個變量；推廣之，加入有m個方程，n個變量則為G(m,n)。pdf討論了G(1,N)/G(2,N)等，用到再說，對于這里，我們首先詳細(xì)使用G(1,1)。
5.
灰色預(yù)測
灰色預(yù)測是指利用 GM 模型對系統(tǒng)行為特征的發(fā)展變化規(guī)律進(jìn)行估計(jì)【預(yù)測】，同時也可以對行為特征的異常情況發(fā)生的時刻進(jìn)行估計(jì)計(jì)算(把異常時間作為數(shù)列)，以及對在特定時區(qū)內(nèi)發(fā)生事件的未來時間分布情況做出研究等等。這些工作實(shí)質(zhì)上是將“隨機(jī)過程”當(dāng)作“灰色過程”，“隨機(jī)變量”當(dāng)作“灰變量”，并主要以灰色系統(tǒng)理論中的 【GM(1,1)模型】來進(jìn)行處理。
1) 灰色預(yù)測的方法
2) 灰色預(yù)測處理的步驟(使用)
1. 數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)和處理
2. 建立模型
參考上述GM(1,1)方法，建立GM(1,1)模型，并求解該微分方程，得到預(yù)測值：
3. 檢驗(yàn)預(yù)測值
4. 預(yù)測預(yù)報(bào)
由模型 GM(1,1)所得到的指定時區(qū)內(nèi)的預(yù)測值，根據(jù)實(shí)際問題的需要，給出相應(yīng)的
預(yù)測預(yù)報(bào)。
另一個應(yīng)用--災(zāi)變預(yù)測
一個案例：
假定小于320為異常。預(yù)測下一次異常出現(xiàn)的時間(旱災(zāi))。
6.
灰色預(yù)測計(jì)算實(shí)例：如何使用、求解以及分析
灰色G(1,1)預(yù)測步驟：
| 步驟： 第一步：級比檢驗(yàn) (1)求級比，列出級比向量。 (2)級比判斷：若所有級比都落在可容覆蓋內(nèi)，則通過，說明原始數(shù)據(jù)適合使用GM(1,1) ? 第二步：GM(1,1)建模 （1）原始數(shù)據(jù)做一次累加 （2）列出GM(1,1)模型 第三步：求解模型 （1）最小二乘法求解GM(1,1) （2）求生成數(shù)列預(yù)測值以及模型還原值 （3）相應(yīng)可以得到預(yù)測值-真實(shí)值比較表格 第四步：模型檢驗(yàn) （1）原始值-模型值-殘差-相對誤差0級比偏差表格 （2）根據(jù)表格作出說明 |
一個實(shí)例：
北方某城市 1986～1992 年道路交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)如下：
????????????????????????????????????| 序號 | 年份 | Leq |
| 1 | 1986 | 71.1 |
| 2 | 1987 | 72.4 |
| 3 | 1988 | 72.4 |
| 4 | 1989 | 72.1 |
| 5 | 1990 | 71.4 |
| 6 | 1991 | 72.0 |
| 7 | 1992 | 71.6 |
求解分析：
求解MATLAB程序如下：
%此程序原著pdf上程序是有bug的，以下已經(jīng)調(diào)通
求解結(jié)果如下：
級比：
lamda =
??? 0.9820
???? 1.0000
???? 1.0042
???? 1.0098
???? 0.9917
???? 1.0056
級比范圍：
range =
??? 0.9820??? 1.0098
模型參數(shù)：
u =
??? 0.0023
??? 72.6573
求解模型得方程：
y = 31000.0 - 30928.9*exp(-0.00234379*t)
?
模型值：
yuce =
? 1 至 6 列
?? 71.1000?? 72.4057?? 72.2362?? 72.0671?? 71.8984?? 71.7301
? 7 列
?? 71.5622
殘差：
epsilon =
? 1 至 6 列
???????? 0?? -0.0057??? 0.1638??? 0.0329?? -0.4984??? 0.2699
? 7 列
??? 0.0378
相對誤差：
delta =
? 1 至 6 列
???????? 0??? 0.0001??? 0.0023??? 0.0005??? 0.0070??? 0.0037
? 7 列
??? 0.0005
級比偏差：
rho =
??? 0.0203??? 0.0023?? -0.0018?? -0.0074??? 0.0107?? -0.0032
轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/duye/p/9400503.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的【数学建模】数模day13-灰色系统理论I-灰色关联与GM(1,1)预测的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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