很久沒(méi)有寫過(guò)與自己專業(yè)相關(guān)的文章了，于是計(jì)劃穿插進(jìn)幾篇有關(guān)電磁波的深度科普的文章。計(jì)劃分為幾個(gè)部分：
1. 真空中的 方程組
2. 材料中的 方程組和電磁場(chǎng)的邊值條件
3. 無(wú)激勵(lì)下的真空中的 方程組的解---電磁波（本文章）
4. 穩(wěn)定狀態(tài)下的邊值條件及其結(jié)論
相信大家看完這個(gè)系列的文章之后會(huì)對(duì)電磁波有一定的認(rèn)識(shí)。zdr0：深度科普---電磁波（一）：真空中的Maxwell方程組?zhuanlan.zhihu.comzdr0：深度科普---電磁波（二）：材料中的 Maxwell方程組和電磁場(chǎng)的邊值條件?zhuanlan.zhihu.com

通過(guò)前兩篇文章的介紹，相信大家對(duì)

方程組有了比較深刻認(rèn)識(shí)，這篇文章中，我們主要想討論一下在沒(méi)有外界激勵(lì)的情況的下 方程組具有何種形式的解。

首先，什么叫做無(wú)激勵(lì)呢？這里的無(wú)激勵(lì)指的是在真空中的

方程組中，空間電荷密度 和電流密度 等于零。這兩個(gè)物理量之所以稱為激勵(lì)是應(yīng)為電磁波由它們產(chǎn)生。那為何在兩者等于零的情況下 方程組還會(huì)有解呢？原因是在激勵(lì)為零的情況下所解出的解并不是產(chǎn)生的電磁波，而是已經(jīng)存在的，傳播的電磁波---平面波。

現(xiàn)給出真空的無(wú)激勵(lì)的

方程組：

這是一個(gè)偏微分方程租，直接求解的話估計(jì)做不到。所以為了將這四個(gè)方程聯(lián)系起來(lái)我們需要用到旋度算符的一個(gè)性質(zhì)：

對(duì)任意矢量場(chǎng)

都有：

我們就利用旋度算符的這個(gè)性質(zhì)將

方程組中的方程聯(lián)系起來(lái)，最終會(huì)得到結(jié)果：

, ：
且：
即：

算符是標(biāo)量算符，但是在上面我們可以看到，它是作用于矢量場(chǎng)的。所以，每個(gè)方程都是由三個(gè)標(biāo)量方程組成的，比如對(duì)于 ：

方程

和 屬于波動(dòng)方程類別，一般的一維波動(dòng)方程為：

其中

是波速。

對(duì)于這個(gè)形式的波動(dòng)方程，有一種叫做

行波解的表達(dá)方式：

這個(gè)解的表達(dá)方式并非空穴來(lái)風(fēng)，比如由一下初值確定的解：

：
設(shè)：現(xiàn)有一維線性波動(dòng)方程
以及給定的初值條件：
我們利用 變換法進(jìn)行求解，首先，現(xiàn)將所給定的初值進(jìn)行 變換：
其中： 為 方向上的 變換，而 為 方向的 變換。
之后在對(duì)整個(gè)方程進(jìn)行 變換：
其中：
于是我們得到了一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次常微分方程，從而特征方程和特征根為：
進(jìn)而得到該常微分方程的通解：
則：
代入變換之后的初值條件：
從而得到在此初值條件下的該常微分方程的特解：
利用 變換的卷積性質(zhì)：
得到：
即：
這里只是其中一種初值問(wèn)題的通解，對(duì)于 解應(yīng)該是其他形式的初值問(wèn)題或者邊值問(wèn)題的通解。

那么該如何去理解這個(gè)

行波解呢？

為了方便解釋，我們?cè)俅螌?

行波解寫在下面：

• 對(duì)于第一式，可以看做是兩個(gè)傳送波的疊加，這兩個(gè)傳送波分別是向左傳播的 和向右傳播的 ，且在該式中，參數(shù)應(yīng)是時(shí)間 ，因?yàn)? 的量綱與時(shí)間 的量綱一致。比如，若現(xiàn)在在兩個(gè)確定的時(shí)間 和 觀察該傳送波， 相當(dāng)于在這段距離上傳播了 的距離。
• 對(duì)于第二式，可以看做是兩個(gè)傳送波的疊加，這兩個(gè)傳送波分別是向左傳播的 和向右傳播的 ，且在該式中，參數(shù)應(yīng)是位移 ，因?yàn)? 的量綱與位移 的量綱一致。比如，若現(xiàn)在在兩個(gè)確定的位移 和 觀察該傳送波， 相當(dāng)于在這段距離上傳播了 的時(shí)間。

我們現(xiàn)在比較感興趣的是

和 之間有什么關(guān)系？答案是 和 之間是正交的。 ：首先，我們?cè)O(shè)：
值得一說(shuō)的是雖然上面的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都為零，但這并不意味著 都是常數(shù)，比如 可以是： 這樣 必然等于零。
之后由 我們可以知道： ，也就是說(shuō) 。也就是說(shuō) 在波的傳播過(guò)程中沒(méi)有貢獻(xiàn)，只有所謂的“傳播分量” 還存在。
這樣的話 就是波的傳播方向，且 （這是當(dāng)然，因?yàn)? 兩個(gè)方向本來(lái)就是垂直的）。而對(duì)于 來(lái)講，前面已經(jīng)假設(shè)了 ，這就意味著 ，同理 ,可以得到的是四個(gè)波動(dòng)方程，比如：
其中： 。 是波速，特別的，在真空中：
現(xiàn)在我們拿到 電磁感應(yīng)定律： ，代入 有：
由之前的假設(shè)我們知道，由于 所以其在任意方向上的偏導(dǎo)數(shù)都為 ，而且 且對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)也為零。這樣，我們就得到了：
即：
這樣就說(shuō)明了 是相互垂直的，且 三者構(gòu)成右手系。

當(dāng)

的傳播面確定之后就不會(huì)在隨時(shí)間變化了，人們稱這種情況為線性偏振波，且規(guī)定：

和 所構(gòu)成的平面稱為偏振面，一般定義 場(chǎng)的豎直偏振方向是垂直于地面的方向，而其水平偏振方向是平行于地面的方向。對(duì)于一個(gè)任意的一個(gè)波的傳播方向 有：

• 在傳播方向 上傳播的電磁波 的相與傳播方向有關(guān)，且與 垂直的平面稱為傳播面，在空間中是不變的。
• 對(duì)于行進(jìn)波： 構(gòu)成右手系。當(dāng)然，不是說(shuō)這三個(gè)量隨便排就可以，下一篇文章中會(huì)具體討論。

紅色的軸可以看做是x軸（傳播方向）。紫色里的黑色矢量為E，橙色里的黑色矢量為B，圖片來(lái)源：自己畫的。

對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的，單色光的解是一個(gè)正弦或余弦型函數(shù)。這樣的穩(wěn)態(tài)解可以利用下面的復(fù)函數(shù)的形式進(jìn)行表示：

上式是一維的情況。上式中的

可以是 或 。我們來(lái)看看這個(gè)穩(wěn)態(tài)解都告訴了我我們什么：

• 振幅
• 角頻率
• 波矢量 和傳播方向

也就是說(shuō)上面的這個(gè)穩(wěn)態(tài)解其實(shí)只對(duì)應(yīng)于一維的情況，當(dāng)然你也許發(fā)現(xiàn)了，上面的波矢量

并不是一個(gè)矢量，所以，對(duì)于三維的情況而言，應(yīng)當(dāng)把 變成 ，即：

從上面可以看出： 的方向就是 的方向，也就是傳播方向。這對(duì)于一維的情況也是通用的，即： 。

而

。對(duì)于 的確定，我們只需要將上式帶入到 的波動(dòng)方程中便可得到：

其中：

為波矢量的模， 為波速， 為角頻率， 為頻率， 為波長(zhǎng)。且對(duì)對(duì)于波長(zhǎng)：

在介質(zhì)中有：

其中：

為真空中光速， 為真空中的波矢量的模， 稱為折射率。

在材料中，折射率一般是復(fù)數(shù)，即：

，那這個(gè)復(fù)數(shù)的折射率有何意義呢？結(jié)論是復(fù)折射率的復(fù)數(shù)部分會(huì)使振幅衰減，即能量會(huì)有損矢。 ：
假設(shè)平面波沿 方向傳播，則有：
從而定義：
即有：
顯然，虛數(shù)部分在衰減因子 中。即振幅 按指數(shù)規(guī)律衰減。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二阶偏微分方程组 龙格库塔法_深度科普---电磁波（三）：无激励下的真空中的Maxwell方程组的解...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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