讓我們暫時先放下上節筆記中循環群美麗的性質，來專心看看置換群吧。

　　不得不說，置換群只是群的表現形式之一，本身不具有特殊的性質。但是，由于置換群所含內容的廣泛性，它可以和其余所有的群（只能是有限群）形成同構關系（即Cayley定理），因此，我們希望通過找到在這種類型的群的研究方法，從而使更多的群可以被研究。而這，便是我們研究置換群的目的所在。

　　好吧，讓我們現在開始吧。

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一、置換相關概念及表示

　　在討論置換群之前，我們顯然有必要先明確什么是置換。

1、定義

　　有限集S到自身的一一映射稱為置換，一般用

表示。若 ，我們稱這樣的置換為 次置換。

　　顯然，在

元集合 中，共有 個置換。

2、表示

　　對于

元集合 ，為簡便，我們將其看作 。那么，置換 可以表示為 。注意到，在上述的表示中， 的位置對于置換本身來說是無關緊要的，因此我們也可以將置換 表示為 ，其中 。

　　注意到，置換

的本質是一個函數，那么我們可以將兩個置換 復合，記作 ，或 。

3、循環置換

　　我們稱如下形式的置換為循環置換（輪換）：

簡記為 ，并稱其循環長度為 。 時，我們稱之為對換。

　　單位置換（恒等映射）也視為循環置換，并記為

或 。

　　如果兩個循環置換

滿足 ，那么我們稱這兩個循環置換不相交。同時，我們認為單位置換和任何循環置換不相交。顯然，不相交的兩循環置換滿足交換律。（但不是所有滿足交換律的置換都不相交）

4、性質

(1)任一置換都可以被唯一分解為不相交的循環置換的乘積。

可以采用歸納法，依次找出這些循環置換。

(2)任一置換都可以被分解為對換的乘積。

只需證明任一循環置換都可以被分解為對換的乘積。

5、奇置換和偶置換

　　如果一個置換等于偶數個對換的乘積，則我們稱之為偶置換。否則我們稱之為奇置換。顯然，偶置換的逆序數為偶數，奇置換的逆序數為奇數。

二、置換群

1、對稱群和交錯群

　　對于

元有限集 ，其元素總可以用 抽象表示。因此，我們在研究置換群時，通常假設 。 上的所有置換構成群，稱為 級對稱群，記作 。同時， 中所有偶置換在映射乘法下同樣組成一個群，稱為 級交錯群，記為 。

　　顯然，我們有

（我們就不考慮 的離譜情況了）

2、置換群

　　我們稱

的子群為 次置換群。

3、凱萊(Cayley)定理

　　任意

階群必同構于一個 次置換群。證明：
　　設 為一個 階群， 為 上所有置換構成的 次對稱群。
　　對 ，定義 為 。則易于驗證 是 上的一個置換。記 ，那么 。
　　下證 ，即證 是一個群。 ， ， 。所以 對復合運算封閉。 為一代數系統。又 ，則 中存在單位元。又 ，故 中存在逆元。于是 是一個群。
　　最后，我們證明 。
　　構造映射 滿足 。則 為滿射。又若 ，則 。于是 為單射，從而 為雙射。又顯然 ，即 保持運算。那么 為一同構映射，也即 。
　　證畢。

4、最小階數的非交換群：三次對稱群

　　三次對稱群

是階數最小的非交換群。其元素和運算表如下：

三次對稱群的元素

三次對稱群的運算表

　　我們以后關于非交換群的例子，很多需要借助

。

　　這一講暫時先這么多吧。其實置換群的內容還幾乎沒有發掘，但最基本的概念已經覆蓋完全了。關于置換群的內容，我可能在以后陸續補充。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的置换怎么表示成轮换_§2.3 置换群的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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