動態型試題一般是指以幾何知識和圖形為背景，滲透運動變化觀點的一類試題，常見的運動對象有點動、線動、圖動；其運動形式有平動、旋轉、翻折、滾動等．動態型試題其特點是集幾何、代數知識于一體，數形結合，有較強的綜合性．題目靈活多變，動中有靜，動靜結合．能夠在運動變化中發展同學們的空間想象能力，是近幾年中考命題的熱點題型，常考常新，很多題目好似曾相識燕歸來，舊瓶新酒，一般是以選擇填空或解答題壓軸題的形式出現．

【例1】．(2018?錦州中考題)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，動點P從點A出發，以√2cm/s的速度沿AB方向運動到點B，動點Q同時從點A出發，以1cm/s的速度沿折線AC→CB方向運動到點B．設△APQ的面積為y(cm2)，運動時間為x(s)，則下列圖象能反映y與x之間關系的是( )

【分析】作QD⊥AB，分點Q在AC、CB上運動這兩種情況，由直角三角形的性質表示出QD的長，利用三角形面積公式得出函數解析式即可判斷．

【解答】(1)過點Q作QD⊥AB于點D，

①如圖1，當點Q在AC上運動時，即0≤x≤3，

由題意知AQ＝x、AP＝√2 x，

∵∠A＝45°，∴QD＝√2/2 AQ＝√2x/2，則y＝1/2 ?√2x?√2/2x＝1/2x2；

②如圖2，當點Q在CB上運動時，即3＜x≤6，此時點P與點B重合，

由題意知BQ＝6﹣x、AP＝AB＝3√2，

∵∠B＝45°，∴QD＝√2/2BQ＝√2/2 (6﹣x)，

則y＝1/2×3√2×√2/2(6﹣x)＝﹣3/2x+9；故選：D．

【點評】本題主要考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是根據題意弄清兩點的運動路線，據此分類討論并得出函數解析式．

【例1的變式2】．(2018?河北區二模)如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M是CD的中點動點E從點B出發，沿BC運動，到點C時停止運動，速度為每秒1個長度單位；動點F從點M出發，沿M→D→A遠動，速度也為每秒1個長度單位：動點G從點D出發，沿DA運動，速度為每秒2個長度單位，到點A后沿AD返回，返回時速度為每秒1個長度單位，三個點的運動同時開始，同時結束．設點E的運動時間為x，△EFG的面積為y，下列能表示y與x的函數關系的圖象是( )

【分析】(1)當x≤2時，各點位置與原圖所示，則y＝S△EFG＝S正方形ABCD﹣S梯形ABGE﹣S△EFC﹣S△EFD；(2)當x≤2時，y＝S△EFG直接計算即可．

【解答】(1)當x≤2時，各點位置與原圖所示，此時，BE＝x，MF＝x，GD＝2x，

則y＝S△EFG＝S正方形ABCD﹣S梯形ABGE﹣S△EFC﹣S△GFD，

將有關數據代入整理得：y＝S△EFG＝1.5x2﹣x+4，對應圖象是二次函數；

(2)當x＞2時，各點位置與下圖所示，

此時y＝S△EFG＝1/2?GF?AB＝﹣4t+16，對應圖象是直線，故選：A．

【點評】本題考查的是動點問題圖象，此類問題主要是分清楚x時刻點所處的位置，把求解圖象面積用分割組合的方式確定出來即可求解．

【例1的變式2】．(2018?長豐縣一模)如圖1，△ABC中，∠A＝30°，點P從點A出發以2m/s的速度沿折線A→C→B運動，點Q從點A出發以a(cm/s)的速度沿AB運動，P，Q兩點同時出發，當某一點運動到點B時，兩點同時停止運動．設運動時間為x(s)，△APQ的面積為y(cm2)，y關于x的函數圖象由C1，C2兩段組成，如圖2所示，下列結論中，錯誤的是( )

【解答】根據圖象確定點Q的速度，AB長，再由銳角三角函數用∠B的正弦值和x表示y將(4，4/3)代入問題可解．

當點P在AC上運動時，y＝1/2AP·AQ·sin∠A=1/2×2x·ax·1/2=1/2 ax2

當x＝1，y＝1/2時，a＝1

由圖象可知，PQ同時到達B，則AB＝5，AC+CB＝10

當P在BC上時y＝1/2·x·(10-2x) sin∠B，

當x＝4，y＝4/3時，代入解得sin∠B＝1/3,

∴y＝1/2·x·(10-2x) ·1/3＝﹣1/3x2+5/3x

當x＝﹣b/2a=5/2時，y最大＝25/12,故選：C．

【點評】本題時動點問題的函數圖象探究題，考查了分段表示函數關系式，應用了銳角三角函數，解答關鍵是理解圖象反映出來的數學關系．

【解題策略】　解答此類問題的策略可以歸納為三步："看""寫" "選"．(1)"看"就是認真觀察幾何圖形，徹底弄清楚動點從何點開始出發，運動到何點停止，整個運動過程分為不同的幾段，何點(時刻)是特殊點(時刻)，這是準確解答的前提和關鍵；(2)"寫"就是計算、寫出動點在不同路段的函數解析式，注意一定要注明自變量的取值范圍，求出在特殊點的函數數值和自變量的值；(3)"選"就是根據解析式選擇準確的函數圖象或答案，多用排除法。首先，排除不符合函數類形的圖象選項，其次，對于相同函數類型的函數圖象選項，再用自變量的取值范圍或函數數值的最大和最小值進行排除，選出準確答案．

【例2】．(2018秋?包河區校級月考)已知如圖在邊長為2√2的正方形OABC中，直線m始終沿著與OB垂直的方向從點O平移到點B停止，速度是1，記直線m在正方形中掃過的區域面積為y，直線運動的時間為x，下列正確的反映y與x函數關系的圖象是( )

【分析】根據題意可以求得AC的長，從而可以求得各段對應的函數解析式，進而得到相應的函數圖象，本題得以解決．

【解答】∵正方形OABC的邊長為2√2，∴對角線AC的長為4，

【點評】本題考查動點問題的函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．

【例2的變式】．(2018?萊蕪中考題)如圖，邊長為2的正△ABC的邊BC在直線l上，兩條距離為1的平行直線a和b垂直于直線l，a和b同時向右移動(a的起始位置在B點)，速度均為每秒1個單位，運動時間為t(秒)，直到b到達C點停止，在a和b向右移動的過程中，記△ABC夾在a和b之間的部分的面積為s，則s關于t的函數圖象大致為( )

【分析】依據a和b同時向右移動，分三種情況討論，求得函數解析式，進而得到當0≤t＜1時，函數圖象為開口向上的拋物線的一部分，當1≤t＜2時，函數圖象為開口向下的拋物線的一部分，當2≤t≤3時，函數圖象為開口向上的拋物線的一部分．

【解答】如圖①，當0≤t＜1時，BE＝t，DE＝√3t，

∴s＝S△BDE＝1/2×t×√3t＝√3/2 t2；

如圖②，當1≤t＜2時，CE＝2﹣t，BG＝t﹣1，

∴DE＝√3(2﹣t)，FG＝√3(t﹣1)，

∴s＝S五邊形AFGED＝S△ABC﹣S△BGF﹣S△CDE＝1/2×2×√3﹣1/2×(t﹣1)×√3(t﹣1)﹣1/2×(2﹣t)×√3(2﹣t)＝﹣√3 t2+3√3t﹣3√3/2；

如圖③，當2≤t≤3時，CG＝3﹣t，GF＝√3(3﹣t)，

∴s＝S△CFG＝1/2×(3﹣t)×√3(3﹣t)＝√3/2 t2﹣3√3t+9√3/2，

綜上所述，當0≤t＜1時，函數圖象為開口向上的拋物線的一部分；當1≤t＜2時，函數圖象為開口向下的拋物線的一部分；當2≤t≤3時，函數圖象為開口向上的拋物線的一部分，故選B．

【點評】本題主要考查了動點問題的函數圖象，函數圖象是典型的數形結合，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．

【解題策略】　解答此類題先要畫出各個關鍵時刻的圖形，再由"動"變"靜"設法分別求解．用分類思想畫圖的方法在解動態幾何題中非常有效，它可幫助我們理清思路，突破難點。

例3．(2018秋?石景山區期末)如圖，等邊三角形和正方形的邊長均為a，點B，C，D，E在同一直線上，點C與點D重合．△ABC以每秒1個單位長度的速度沿BE向右勻速運動．當點C與點E重合時停止運動．設△ABC的運動時間為t秒，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為S，則下列圖象中，能表示S與t的函數關系的圖象大致是( )

【分析】分t≤1/2a、t＞1/2a兩種情況，分別列出S與t的函數關系即可求解．

【解答】如圖所示，設△ABC平移中與DG交于點H，

當t≤1/2a時，S＝S△HCD＝1/2CD?HD＝1/2t?t?tan60°＝√3/2t2，

該函數為開口向上的拋物線；

當t＞1/2a時，

該函數為開口向下的拋物線；故選：C．

【點評】本題是運動型綜合題，考查了動點問題的函數圖象、解直角三角形、圖形面積等知識點．解題關鍵是深刻理解動點的函數圖象，了解圖象中關鍵點所代表的實際意義，理解動點的完整運動過程．

【例4】．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．

(1)觀察猜想

圖1中，線段PM與PN的數量關系是______，∠MPN的度數是______　；

(2)探究證明

把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸

把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝8，請直接寫出△PMN面積的取值范圍．

【分析】(1)利用三角形的中位線得出PM＝1/2CE，PN＝1/2BD，進而判斷出BD＝CE，即可得出結論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出結論；

(2)先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同(1)的方法得出PM＝1/2BD，PN＝1/2BD，即可得出PM＝PN，同(1)的方法即可得出結論；

(3)先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD＝12，再判斷出BD最小時，△PMN最小，即可得出結論．

【解答】(1)∵點P，N是BC，CD的中點，∴PN∥BD，PN＝1/2BD，

∵點P，M是CD，DE的中點，∴PM∥CE，PM＝1/2CE，

∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，

∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，

∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，

∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，

故答案為：PM＝PN，PM⊥PN；

(2)△PMN是等腰直角三角形．

由旋轉知，∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，

利用三角形的中位線得，PN＝1/2BD，PM＝1/2CE，

∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，

同(1)的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，

同(1)的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，

∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC

＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC

＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形；

(3)由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝1/2BD，

∴PM最大時，△PMN面積最大，PM最小時，△PMN面積最小

∴點D在BA的延長線上，△PMN的面積最大，

∴BD＝AB+AD＝12，∴PM＝6，

∴S△PMN最大＝1/2PM2＝1/2×62＝18，

當點D在線段AB上時，△PMN的面積最小，

∴BD＝AB﹣AD＝4，∴PM＝2，

S△PMN最小＝1/2PM2＝1/2×22＝2，∴2≤S△PMN≤18．

【點評】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判斷和性質，直角三角形的性質的綜合運用；解(1)的關鍵是判斷出PM＝1/2CE，PN＝1/2BD，解(2)的關鍵是判斷出△ABD≌△ACE，解(3)的關鍵是點D在線段AB和BA的延長線上時，△PMN的面積最小和最大．

牛刀小試：

1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝√3，點P和點Q分別從點B和點C以相同速度出發，點Q沿射線BC方向運動，點P沿路徑B﹣C﹣D運動，點P運動到D點時，P、Q兩點同時停止運動．過點Q作QH⊥直線BD，垂足為H，連接PH，設點P運動的路程為x，△BPH的面積為S，則能反映S與x之間的函數關系的圖象大致為( )

2．(2018?安徽中考題)如圖，直線l1，l2都與直線l垂直，垂足分別為M，N，MN＝1．正方形ABCD的邊長為√2，對角線AC在直線l上，且點C位于點M處．將正方形ABCD沿l向右平移，直到點A與點N重合為止．記點C平移的距離為x，正方形ABCD的邊位于l1，l2之間部分的長度和為y，則y關于x的函數圖象大致為( )

3．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點．

(1)觀察猜想：如圖1中，△PMN是______ 三角形；

(2)探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE．判斷△PMN的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸：將△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝10，請求出△PMN面積的取值范圍．

【練習答案及提示】1.B． 提示：本題為動點問題的函數圖象問題，根據題意找到臨界點，畫出滿足條件的一般圖形是解題關鍵、

2.A 提示：當0≤x≤1時，y＝2√2x，當1＜x≤2時，y＝2√2，當2＜x≤3時，y＝﹣2√2x+6√2

，由此即可判斷；

3. 9/2≤S△PMN≤49/2

提示：本題考查了幾何變換綜合題，等腰直角三角形性質和判定，三角形中位線定理，熟練運用等腰直角三角形的性質是本題的關鍵．

(1)由題意可得BD＝CE，根據三角形中位線定理，可證MP＝PN，根據角的數量關系可求∠MPN＝90°，即可證△PMN是等腰直角三角形；

(2)由題意可證△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，根據三角形中位線定理，可證MP＝PN，根據角的數量關系可求∠MPN＝90°，即可證△PMN是等腰直角三角形；

(3)由題意可得S△PMN＝1/2PN2＝1/2×(1/2BD)2＝1/8BD2，當點D在線段AB上時，BD最短；當點D在線段BA的延長線上時，BD最長，即可求△PMN面積的取值范圍．

總之，解答動態型試題策略是：(1)動中求靜，即在運動變化中探索問題中的不變性；(2)動靜互化，抓住"靜"的瞬間，找出導致圖形或變化規律發生改變的特殊時刻；同時在運動變化的過程中尋找不變性及變化規律．

總結

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